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수학을 기반으로 해서 비밀 작전을 수행하는 요원처럼, 때로는 영화 촬영장을 방불케 하는 조직적인 움직임으로 의뢰인의 사랑을 이루어 드립니다.
로미오와 줄리엣의 사랑방정식, 러브 어페어
로미오 : 대표님! 여자의 마음은 알다가도 모르겠어요. 저 좋다고 할 때는 언제고 잘해 주니까 실증난대요. 이게 말이나 되냐고요? 사실 줄리엣이 저를 본체만체 하니까 저도 다른 여자에게 눈이 가더라고요. 저와 줄리엣의 사랑, 이대로 괜찮을까요?
대표 : 헉! 첫 번째 의뢰부터 어려운 문제네요. 하지만 사랑에 빠진 남녀 간의 감정변화를 방정식으로 나타내면 해결 방법을 알 수 있을 거예요.
남녀가 연애를 시작하면 그 감정이 영원할 것 같지만, 시간이 지남에 따라 조금 식기도 하고 다시 불타오르는 등 감정변화를 겪게 된다. 이런 남녀 간의 감정변화를 미국의 수학자 스티븐 스트로가츠가 사랑방정식으로 나타냈다. 일명 ‘러브 어페어’ 방정식이다. 셰익스피어의 희곡 <;로미오와 줄리엣>;의 두 주인공을 대상으로 방정식을 만든 것이다. 이 방정식을 만들기 위해서는 먼저 몇 가지 가정을 해야 한다.
① 로미오와 줄리엣은 무도회장에서 처음 만난다. 이때 줄리엣은 로미오를 보고 첫눈에 반한다. 하지만 로미오는 줄리엣에 대해 별 감정을 느끼지 못한다.
② 줄리엣에 대한 로미오의 사랑은 줄리엣의 사랑에 비례해 증가한다.
③ 로미오에 대한 줄리엣의 사랑은 로미오의 사랑에 비례해 감소한다.
이제 매개변수★ t(시간)를 이용해 로미오의 감정과 로미오의 감정변화, 줄리엣의 감정과 줄리엣의 감정변화로 미분방정식을 세워 보자. 여기서 미분방정식이란 연속적으로 변화는 양과 변화율 사이의 관계를 나타낸 방정식으로, 현재 시점에서 변화를 분석하면 앞으로 어떻게 변할지 미래를 예측할 수 있다.
매개변수★ 두 개 이상의 변수 사이에서 함수 관계를 정하기 위해 쓰이는 또 다른 변수다. 예를 들어 직선의 방정식 y=1/2x-3을 매개 변수를 사용한 방정식으로 나타내면 x=t+6, y=t/2이다. 여기서 t가 매개변수다.
시간에 따른 로미오의 감정을 R(t)라고 가정하고, 그 감정변화는 시간 t에 대한 감정 R(t)의 변화율이므로 dR(t)/dt로 표기하자. 여기서 dR(t)/dt는 함수 R(t)의 기울기를 함수로 나타낸 것으로, 일반적으로 미분했다고 한다. 마찬가지로 시간에 따른 줄리엣의 감정을 J(t)라고 하고, 그 감정변화를 dJ(t)/dt라고 하자. 그러면 가정에 의해 다음과 같은 관계가 성립한다.
① dR(t)/dt=αJ(t) ② dJ(t)/dt=-βR(t) 단, R(0)=0, J(0)=L
그런데 이 식만으로는 둘의 감정이 어떻게 변하는지 알 수가 없다. R(t)와 J(t)가 무엇인지 모르기 때문이다. 그렇다면 둘은 어떻게 구할 수 있을까? 로미오의 감정인 R(t)와 줄리엣의 감정인 J(t)를 구하기 위해서는 주어진 공식을 미분한 뒤 정리하면 된다. 그러면 사인 함수와 코사인 함수로 이루어진 함수식을 얻을 수 있다.
위의 그래프에서 나타나듯이, 로미오와 줄리엣은 끝없이 사랑과 미움을 주기적으로 반복한다. 즉 로미오의 사랑은 줄리엣을 감정을 차갑게 만들고, 변한 줄리엣의 행동에 로미오의 사랑도 식는다. 하지만 차가운 로미오의 태도는 오히려 다시 서로 사랑하게 만든다.
고민해결 팍팍 ~!
로미오와 줄리엣의 감정변화를 분석해 본 결과, 안타깝게도 둘이 함께 사랑하고 있는 시간은 한 주기에 14밖에 되지 않아요. 하지만 방법은 있어요. ‘밀고 당기기’를 통해서 사랑하는 기간을 늘리는 거예요. 줄리엣은 무관심한 로미오를 좋아하니까, 일부러 무관심한 척하거나 질투를 유발하는 거죠. 즉 줄리엣을 위해 나쁜 남자도 되었다가, 때로는 로맨틱한 남자도 되었다가 하는 일명 ‘밀당의 고수’가 되면 오랫동안 예쁜 사랑을 할 수 있을 거예요.
몇 번째 사귄 사람과 결혼하는 것이 좋을까?
얼마 전 청혼을 받았어요. 너무 기뻤죠. 그런데 문득 결혼한 뒤에 더 멋진 남자가 나타나면 어쩌지?라는 생각이 드는 거예요. 사실 청혼한 사람은 지금까지 만난 4명보다 저랑 잘 맞고 가장 멋진데도 말이죠. 제 친구는 이 남자와 헤어지고, 지금까지 만난 사람보다 더 나은 사람이 나타나면 결혼하라는데…. 이 방법이 옳은 건가요?
음…. 청혼을 받아들이는 게 좋을지, 친구의 말대로 하는 게 좋을지 수학적으로 한 번 계산해 보죠.
결혼을 앞둔 남녀라면 이 같은 고민을 한 번쯤 하게 된다. 수학자들은 사귄 사람들 중에서 최고의 신랑감(또는 신부감)과 결혼할 확률을 계산했다. 일명 ‘결혼문제’다. 결혼문제를 해결하기 위해서는 몇 가지 가정을 해야 한다.
① 사귄 이성친구들의 순위를 매길 수 있다.
② 사귄 이성친구들이 나타나는 순서는 무작위다.
③ 사귄 이성친구의 수는 정해져 있다. 따라서 몇 명인지 이미 알고 있다.
이제 의뢰녀의 결혼문제를 풀어 보자. 의뢰녀가 지금까지 사귄 사람의 수는 5명이고, 앞으로 사귈 사람까지 총 10명 사귄다고 할 때 의뢰녀에게 있어 최고의 신랑감을 A라고 하자. 또, 지금까지 만난 남자친구보다는 낫지만 최고는 아닌 남자친구를 B라고 하자. 이런 상황에서 의뢰녀가 지금까지 사귄 남자보다 더 나은 사람이 나타나면 결혼한다고 할 때, 최고의 신랑감 A와 결혼할 확률을 구하면 된다.
그런데 만약 최고의 신랑감 A가 지금의 청혼남이거나 그전에 만났던 남자라면 의뢰녀는 평생 결혼할 수 없다. 이때는 A와 결혼할 확률을 구하는 것이 의미가 없다. 따라서 앞으로 최고의 신랑감이 등장할 거라고 가정하고 문제를 풀어야 한다.
만약 A가 6번째로 등장하면 결혼문제는 쉽게 해결된다. A는 사귄 총 남자친구 10명 중에 1명이므로, 그와 결혼하게 될 확률은 1/10로 쉽게 구해지기 때문이다.
그런데 A가 7번째로 등장하면, B가 언제 등장했는지에 따라 확률이 달라진다. 먼저 B가 6번째에 등장하면 조건에 의해 B와 결혼했을 것이다. 즉 A와 결혼할 확률은 0이다. B가 6번째에 등장하지 않는다면 B가 1번째 또는 2, 3, 4, 5번째에 나타났거나 아직 나타나지 않은 것이다. 따라서 B가 6번째에 나타나지 않을 확률은 합의 법칙에 의해 5/6다. 그런데 A가 등장할 확률은 1/10이므로, 구하고자 하는 확률은 곱의 법칙에 의해 5/6×1/10이다.
마찬가지 방법으로 A가 8번째에 등장할 때 결혼할 확률은5/7×1/10이고, 9번째는 5/8×1/10이고, 10번째는 5/9×1/10이다. 지금까지 계산한 모든 확률을 더하면 의뢰녀가 앞으로 A와 결혼하게 될 확률이 구해진다. 그 값은 1/10+5/6×1/10+5/7×1/10+5/8×1/10+5/9×1/10=1879/5040 ≒37.28%이다.
최고의 신람감인 A와 결혼할 확률이 약 37.28%라고 하면 그리 높지 않다고 생각할 수 있지만, 무턱대고 선택해서 A와 결혼하게 될 확률인 10%보다는 훨씬 높다.
그런데 의뢰녀의 상황이 아닌 일반적인 상황에서 결혼문제는 어떻게 구할까?
총 n명과 사귀고 현재까지 x명에게 퇴짜를 놓았을 때 최고의 신랑감(또는 신부감)과 결혼할 공식은 p=x/n(1/x+1/x+1+1/x+2+ … +1/n-1)이다.
일반적으로 x가 n의 36.7%일 때, 정확히 말해서 x가 n/e일 때 최댓값이 된다. 여기서 e는 오일러의수로, 약 2.718이다. 따라서 총 10명을 사귄다면, 3명까지 사귄 다음에 지금까지 만남 사람보다 더 멋진 사람을 만났을 때 결혼하는 전략을 쓰는 것이 좋다.
고민해결 팍팍 ~!
수학적으로 계산해 본 결과, 현재 상황에선 친구가 추천한 전략이 가장 좋은 방법이네요. 하지만 한 가지 허점이 있어요. 현재 고백한 남자가 최고의 신랑감이라면 앞으로 이보다 더 나은 사람을 만나지 못할 수도 있죠. 즉 평생 결혼하지 못할 수도 있어요. 따라서 청혼남이 비교적 흠잡을 데 없다면, 더 이상의 미련은 버리고 결혼하세요!
수학자들의 기발한 작명 센스, 사랑스러운 수 총 집합
오늘은 의뢰도 없고 참 한가하네요. 이참에 저도 사랑을 수학으로 공부해야겠어요. 그런데 대표님, 수들 중에는 ‘입맞춤 수’와 ‘섹시 소수’라는 것이 있대요. 완전 신기해요. 알고 계셨어요?
그럼~. 난 사랑과 관련된 수학은 모르는 게 없다고. 수학자들의 작명 실력, 참 센스 넘치지?
키스를 부르는 입맞춤 수
‘입맞춤 수’라는 이름만 들으면 키스의 횟수나 사랑과 관련된 수일 것 같아 호기심이 생긴다. 그런데 실상은 몇백 년 동안 수학자들이 해결하고 있는 난제와 관련이 있다.
수학자들은 반지름의 길이가 1cm인 단위구를 중심으로 서로 겹치지 않게 최대 몇 개까지 단위구를 접하게 놓을 수 있는지를 연구했다. 그런데 단위구가 서로 맞닿아 있는 모습이 마치 키스를 하는 것과 같아 이 문제를 ‘입맞춤 수 문제’라고 이름 붙인 것이다. 입맞춤 수는 각각의 차원에 따라 구해지는 최대 구의 개수를 뜻한다.
입맞춤 수는 1차원에서 2, 2차원에서 6이다. 3차원에서는 12인데, 그 증명은 매우 까다롭다. 17세기 영국의 천재 수학자이자 물리학자인 아이작 뉴턴은 12, 스코틀랜드의 수학자 데이비드 그레고리는 13이라고 주장했다. 둘은 끝내 누가 정확한 답을 알아냈는지 밝히지 못했고, 논란은 20세기까지 이어졌다. 하지만 1953년 네덜란드의 수학자 반데르 밸든과 독일의 수학자 구르트 쉬테가 12라고 증명해 논란의 끝을 맺었다.
4차원에서 입맞춤 수는 오랫동안 24 또는 25라고 알려져 있었다. 그러다 1993년 미국의 수학자 존 콘웨이와 영국의 수학자 닐 슬론이 24라고 증명했다. 5차원 이상에서는 8차원과 24차원에서 입맞춤 수만 알려져 있다. 각각 240과 19만 6560이다.
가장 섹시한 수는?!
수학자들에게 가장 섹시한 수를 꼽으라고 하면 단연 섹시 소수를 예로 들 것이다. 섹시 소수는 5와 11처럼 차이가 6씩 나는 소수의 순서쌍을 말한다. 그런데 대체 왜 이런 이름이 붙었을까?
라틴어에서는 6을 ‘섹스(sex)’라고 한다. 수학자들은 여기서 아이디어를 얻어 한 번 들으면 절대로 잊지 않고, 사람들의 흥미를 끌 수 있도록 섹시 소수라고 이름을 지었다.
섹시 소수는 순서쌍의 원소의 개수에 따라 두 쌍둥이 섹시 소수, 세 쌍둥이 섹시 소수 등으로 불린다. 네 쌍둥이 섹시 소수는 (5, 11, 17, 23)을 제외하고는 항상 첫 번째 원소의 일의 자리 숫자가 1이라는 특징을 가지고 있다. 다섯 쌍둥이 섹시 소수는 (5, 11, 17, 23, 29)밖에 없다.
각각의 섹시 소수에 대해 수학자들은 가장 큰 섹시 소수를 찾기 위해 노력하고 있다. 현재까지 발견된 가장 큰 두 쌍둥이 섹시 소수는 11593 자릿수이고, 세 쌍둥이 섹시 소수는 5132 자릿수, 네 쌍둥이 섹시 소수는 1004 자릿수다. 모두 미국의 수학자 켄 데이비스가 발견했다.
두 쌍둥이 섹시 소수
(5, 11), (7, 13), (11, 17), (13, 19), (17, 23), (23, 29), (31, 37), (37, 43), (41, 47) ...
세 쌍둥이 섹시 소수
(7, 13, 19), (17, 23, 29), (31, 37, 43), (47, 53, 59), (67, 73, 79), (97, 103, 109), (101, 107, 113) ...
네 쌍둥이 섹시 소수
(5, 11, 17, 23), (11, 17, 23, 29), (41, 47, 53, 59) ...
대표님, 그러고 보니 오늘이 화이트 데이었어요. 역시 의뢰가 없는 이유가 있었다니까요. 다들 고민을 끝내고 사랑 고백하러 갔나 봐요. 그런데 저는 언제쯤 제 짝을 만날 수 있을까요? 남의 연애는 전문인데, 정작 제 연애는 못하고 있어요. 어휴~.
원래 등잔 밑이 어둡다고 하잖아. 뭘 멀리서 찾아? 옆에 수학으로 사랑을 배운 멋진 남자가 있는데…. 우리 지금부터 연애하자, 연애~!
네…? 대표님과 제가 잘 어울리는지 먼저 수학적으로 계산해 보고요. 하하 ~!
