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“겁나는 인간 손님이 찾아왔다! 비상!”
조니, 조니슈타인으로 거듭나다
배낭여행 중 벼랑에서 떨어지는 사고를 당한 조니는 우연히 몬스터 호텔을 찾게 된다. 인간이라면 치를 떠는 호텔 주인 드라큘라는 이런 조니의 방문이 반갑지 않다. 물론 조니 역시 몬스터 전용 호텔이 부담스럽다.
부담감과 두려움도 잠시 호기심 많은 조니는 박물관에서나 보던 해골 모형이 살아 움직이고, 영화 속에서만 보던 프랑켄슈타인과 늑대인간을 만나니 그저 신기할 따름이다. 무언가에 홀린 듯 호텔 이곳저곳을 둘러보던 조니는, 곧바로 드라큘라의 손에 이끌려 프랑켄슈타인 분장을 하게 된다. 그리고는 다른 몬스터들에게 자신을 프랑켄슈타인의 머~언 친척인 ‘조니슈타인’이라 소개하며, 인간이라는 사실을 숨긴 채 그들과 자연스럽게 어울린다.
이렇게 다들 조니를 환영해 주었지만, 드라큘라는 행여 다른 몬스터들이 조니가 사람이라는 사실을 알아챌까 전전긍긍하며 조니의 일거수일투족을 감시한다. 게다가 118년 동안이나 애지중지 키워온 딸 마비스까지 조니에게 큰 관심을 보이자, 아예 조니가 눈엣가시처럼 느껴진다.
이렇듯 영화에서는 우연히 몬스터 호텔에 투숙하게 된 조니가 겪는 좌충우돌 이야기가 펼쳐진다. 특히 눈길을 끄는 것은 바로 거대한 규모의 몬스터 호텔! 지금부터 미로처럼 얽히고 섥혀 있어 방의 개수를 짐작하기 힘든 몬스터 호텔에 숨겨진 ‘수학 이야기’를 만나 보자.
힐베르트 호텔을 닮은 몬스터 호텔
몬스터계에서 알아주는 ‘몬스터 호텔’의 명성만큼, 수학계에도 유명한 호텔이 있다. 영화 속에서 드라큘라는 조니와 마비스를 떼어 놓기 위해, 조니에게 지하 깊은 곳의 방을 내어 주려 한다. 겉보기에도 엄청 큰 몬스터 호텔은 지하에도 방이 무수히 많은 것처럼 보인다.
여기서 재미있는 사실은 20세기 독일의 수학자 데이비드 힐베르트가 만든 ‘힐베르트 호텔’은 진짜로 방이 무수히 많다는 점이다. 일생동안 수학을 연구한 힐베르트는 ‘힐베르트 공간’ ‘힐베르트 부등식’ ‘힐베르트 공리’ 등 수학 역사에 많은 업적을 남겼다. 또한 기하학, 대수학, 해석학, 수리물리학, 수리철학 등 거의 수학의 모든 분야를 넘나들며 연구를 진행해 ‘수학영웅’으로 불렸다.
그런데 이런 위대한 수학자이름을 내건 호텔이라니, 힐베르트 호텔은 어떤 특별함이 있는 걸까? 사실 힐베르트 호텔은 가상의 호텔이다. 몬스터 호텔처럼 눈에 보이는 모습은 아니라는 이야기다. 이런 힐베르트 호텔의 가장 큰 특징은 방이 ‘무한 개’ 있다는 점이다. 방이 무한 개인 무한 호텔이 어떻게 가능할까? 힐베르트의 주장은 다음과 같다.
“ 힐베르트 호텔에는 무한 개의 방이 있습니다. 그래서 어떤 손님이 찾아와도 돌려보내는 일은 없지요. 이때 찾아오는 손님의 수가 유한한지, 무한한지를 나눠서 생각해야 합니다.
먼저 손님의 수가 유한할 때를 상상해 봅시다. 정해진 1명의 새 손님이 도착하면, 아래 ➊번 그림과 같이 1 번 방 손님은 2번 방으로, 2번 방 손님은 3번 방으로 이동을 시킵니다. 모든 손님들에게 옆방으로 이동을 부탁하는 거죠.
새 손님이 n명이라면 n개의 빈 방이 필요하겠죠? 이때는 모든 손님을 ‘(현재 머물고 있던 방 번호)+n번’ 방으로 이동시키면 됩니다.
그럼 손님의 수가 무한할 때는 어떻게 해야 할까요? 이때는 새로운 작전이 필요합니다. 셀 수 없이 많은 새 손님이 도착한다면, 아래 ➋번 그림과 같이 1 번 방 손님은 2번 방으로, 2번 방 손님은 4번 방으로, 3번 방 손님은 6번 방으로 이동을 부탁합니다. 이렇게 모든 손님을 ‘(현재 머물고 있던 방 번호)×2’ 방으로 이동시키면, 원래의 손님들은 모두 방 번호가 짝수인 방에 머물게 됩니다.
그럼 방 번호가 홀수인 방이 모두 빈 방이 되겠죠? 홀수는 무한 집합이므로, 무한히 많은 손님이 찾아와도 무한히 많은 빈 방이 준비 돼 있는 셈이죠. ”
유한 집합과 무한 집합
수학에서는 주어진 조건에 대해 대상이 분명한 모임을 ‘집합’이라고 부른다. 각각 집합을 구성하는 구성원을 ‘원소’라고 부르는데, 집합은 원소의 개수에 따라 부르는 이름이 달라진다. 원소가 하나도 없는 집합은 공집합이라 부르고, ø또는 { }로 표시한다. 원소가 있는 집합은 두 종류로 나눌 수 있는데, ‘1부터 10까지의 자연수 중 짝수들의 모임’과 같이 원소의 개수를 셀 수 있는 집합은 ‘유한 집합’이라고 한다.
한편 무한 호텔처럼 원소의 개수를 셀 수 없는 집합은 ‘무한 집합’이라고 한다. ‘유리수 전체의 모임’ ‘실수 전체의 모임’이 대표적이다. 여기서 소개한 힐베르트의 호텔 방은 마치 수직선 위에 놓인 유리수와 같이 무한하다고 가정하는 것이다.
온 가족이 즐길 수 있는 고전 게임 ‘빙고!’
영화 <;몬스터 호텔>; 속에서는 마비스의 118번째 생일 파티 프로그램 중 하나로, 모든 호텔 손님들이 식당에 모여 ‘빙고 게임’하는 장면이 나온다. 모두 지루해 하는 눈치지만, 드라큘라만큼은 진지하다.
드라큘라가 좋아하는 빙고 게임은 역사가 오랜 게임으로 즐기는 방법이 다양하다. 요즘에는 가로, 세로가 5×5인 네모난 빈 칸에 숫자나 단어 등을 적어 놓은 다음, 2명 이상이 모여 각자 자신이 칸에 적은 숫자나 단어를 부른다. 서로가 부른 숫자와 단어를 ×표로 지워나가는데, 먼저 가로, 세로, 대각선 방향으로 5칸을 ×표로 채우는 사람이 ‘빙고’를 외치면 이기는 게임이다.
초창기 빙고 게임에서는 숫자 카드(1~75)가 들어 있는 상자 주변에 둘러앉아, 상자 안에 들어 있는 숫자 카드를 순서대로 뽑았다. 뽑은 카드를 공개적으로 발표 한 뒤, 똑같이 자신이 적은 숫자와 일치할 때마다 칸을 ×표로 지웠다.
영화 속에 등장하는 빙고 게임은 초창기 방식과 현대 방식 일부가 섞인 모습이다.
빙고판을 자유롭게 만들려면, 함수가 필요해
빙고 게임을 재미있게 즐기려면, 잘 만들어진 빙고판은 필수다. 이때 ‘함수’를 이용하면 10장, 100장의 빙고판도 10분이면 뚝딱 만들 수 있다. 빙고판을 제작하려면 컴퓨터에서 ‘엑셀’ 프로그램을 이용하면 된다. 엑셀은 +, -, ×, ÷와 같은 사칙연산은 물론, 꽤 복잡한 함수 기능도 갖추고 있다.
빙고판을 만들기 위해 필요한 함수는 두 가지다. 하나는 0과 1사이의 유리수를 마구잡이로 선택해 값을 내는 ‘난수 함수’이고, 다른 하나는 결과 값의 순위를 매겨 주는 ‘순위 함수’다.
난수(Random Number)란, 무작위로 만들어져 알 수 없는 수를 말한다. 다시 말해 ‘예측할 수 없는 수’ 로, 이것은 마치 주사위를 던졌을 때 어떤 수가 나올지 미리 알 수 없는 것과 같다. 만약 카드 게임을 할 때마다 동일한 패가 나온다면, 정말 재미 없는 게임이 된다. 빙고도 마찬가지다.
제대로 된 빙고 게임을 즐기기 위해서는 예측할 수 없는 수 배열이 필요하다. 이와 같은 방법으로 함수와 컴퓨터를 이용하면 7×7, 9×9 등 빙고판의 개수를 마음대로 조절할 수 있고, 빙고판도 마음껏 만들 수 있다.
엑셀을 이용해 5×5 빙고판 만들기
➊ 먼저 새 문서를 열어 5×5 표를 만든다.
➋ 빙고판 아래 쪽에 ‘=RAND()’와 같이 난수 함수 명령어를 입력한다. 자동 완성 포인터(+)를 이용해 25개의 난수를 완성한다.
➌ 난수를 입력한 바로 옆 칸에 ‘RANK(바로 왼쪽 칸 클릭, 순위 매길 범위 지정)’와 같이 순위 함수 명령어를 입력한다. 자동 완성 포인터(+)를 이용해 25개 난수의 순위를 완성한다.
➍ 다시 빙고판으로 돌아가, 각 빙고판에 ‘=해당 셀’과 같이 각각의 순위를 자기 마음대로 입력한다.
