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“직접 보니까 더 아름답지? 밀로의 비너스는 완벽한 황금비를 이루는 작품으로도 유명하단다.”
“아빠, 그런데 말이에요. 황금비인지 아닌지 어떻게 알 수 있어요? 직접 확인해 보고 싶어요.”
“음…, 옳지! 하나야, 아이스크림을 다 먹은 다음 막대기를 챙겨두려무나. 막대기로 황금비를 잴 수 있는 ‘캘리퍼스’를 만들 수 있으니까 말이야.”
황금비를 잴 수 있는 도구가 있다?!
길이를 재고 싶을 땐 ‘자’, 무게를 재고 싶을 땐 ‘저울’. 그렇다면 아름답고 조화로운 비율로 알려진 황금비(약 1:1.168)를 재려면 어떤 도구가 필요할까? 길이와 무게를 잴 수 있는 도구가 있는 것처럼, 황금비도 잴 수 있는 도구가 있다. 바로 ‘황금비 캘리퍼스’다. 캘리퍼스란, 물건의 지름이나 두께를 재는 도구를 뜻한다. 나무로 가구를 만들거나, 집을 짓는 목수들이 즐겨 사용했다.
황금비 캘리퍼스는 원을 그리는 컴퍼스와 모양이 비슷하지만, 그 모양이 조금 다르다. 원을 그리는 데 쓰는 컴퍼스는 두 개의 막대를 연결한 ‘ㅅ’모양으로 돼 있다. 반면 황금비 캘리퍼스는 그림❶과 같이 일반적인 컴퍼스 사이에 ‘ㅅ’모양의 막대가 거꾸로 하나 더 붙어 있다. 가운데 연결한 이 막대의 양 끝은 각각의 막대를 황금비로 분할하는 곳에 연결돼 있다.
이제 그림❷와 같이 캘리퍼스의 양끝을 넓게 벌려 보자. 캘리퍼스 가장자리의 뾰족한 부분을 각각 A, B라고 하면, 가운데 막대의 끝부분 C는 선분 AB를 황금비로 분할하는 곳을 가리킨다. 선분의 길이를 자로 재고, 그 길이를 황금비로 분할하는 점을 구하지 않아도 쉽게 황금비를 잴 수 있다.
그렇다면 이런 황금비는 어디에 있을까? 아름답고 조화로운 비율인 황금비는 눈에 보이는 아름다운 것에는 모두 있다고 해도 과언이 아니다. 책, 창문, 신용카드, 명함과 같이 사람이 만든 생활소품은 물론이고, 고대 피라미드나 신전부터 현대의 건축에 이르기까지 수많은 건축에도 황금비가 있다.
또 화가가 그린 그림이나 조각상에서도 황금비를 찾을 수 있다. 실제로 독일의 물리학자 구스타프 페히너가 예술품에 있는 여러 가지 직사각형을 조사한 결과, 대부분 직사각형의 가로와 세로의 비가 황금비를 만족했다. 이 뿐만이 아니다. 정오각형 모양으로 생긴 매발톱꽃이나 초롱꽃, 들장미와 같은 식물에도 황금비가 있다.
아하! 생각이 쑥쑥! 피타고라스학파의 상징, ‘펜타그램’
대부분의 사람들은 ‘별’을 그릴 때 <;실험2>;에서 아이스크림 막대 5개로 만든 오각별을 그린다. 실제 별의 모양이 이처럼 생기지 않았음에도 불구하고, 오각별은 별을 상징하는 모양이다. 게다가 오각별은 곳곳에 황금비를 품고 있어 신비로운 별이다. 그래서 오랫동안 공동체나 나라를 상징하는 데에 오각별이 쓰였다. 대표적인 예가 바로 고대 그리스의 피타고라스학파다.
피타고라스학파의 히파수스는 황금비를 발견했을 거라고 추측되는 여러 사람 가운데 가장 유력한 사람이다. 히파수스는 정오각형의 한 변의 길이와 대각선 길이의 비(a:b)가 자연수가 아닌 특별한 비라는 것을 발견했다. 그 비는 약 1:1.168…로, 이전에는 없었던 새로운 무리수 비였다. 이것이 바로 황금비다.
정오각형에서 각 꼭짓점의 대각선을 모두 그어 보자. 그러면 그림❸와 같이 정오각형 내부에 별 모양이 생긴다. 이 별을 ‘펜타그램’이라고 한다. 라틴어로 다섯을 의미하는 ‘펜타(Penta)’와 도형을 뜻하는 ‘그램(gram)’이 합쳐진 단어다.
정오각형 한 변의 길이를 a, 그리고 펜타그램의 가장 긴 한 변을 b라고 하자. 그런 다음 그림 ❸에서와 같이 b를 분할한 각각의 선분을 다시 c, d, e라고 하자. 그러면 a:b=c:d=e:c=1:168…로 모두 황금비를 만족한다. 피타고라스학파 사람들은 각각의 선분이 모두 황금비를 따르는 펜타그램을 신비의 도형이자, 형제애와 건강을 상징하는 도형이라고 여겼다.
한편, 펜타그램과 비슷한 별 모양이지만 그 모양이 다른 육각별인 ‘헥사그램’(그림❹)도 있다. 헥사그램은 정삼각형 2개를 엇갈리게 겹쳐놓은 것으로, 유대인을 상징하는 별로 유명하다. ‘다윗의 별’이라고도 불리는 헥사그램은 중세시대까지 유대인과 아랍인들 사이에서 악마를 쫓는 부적으로도 사용됐다. 지금도 유대교를 믿는 이스라엘의 국기 중앙에는 헥사그램이 있다.
