d라이브러리 2012년 09월 수학동아

안녕하세요. 디사이언스입니다.

주말이나 명절이 되면 교통체증 관련 뉴스를 쉽게 접할 수 있어요. 사람들이 한꺼번에 이동하는 때에 도로 상황은 차들로 꽉 차지요. 그렇게 꽉 막힌 도로를 지나갈 때면 차 안에서 한 번쯤은 ‘도대체 왜 이렇게 차가 막히는 걸까?’, ‘막힌 도로를 좀 시원하게 해결할 수는 없나?’라는 생각을 하게 돼요.

실제로 많은 과학자나 수학자들은 이런 도로의 문제를 해결하기 위해 노력하고 있지요. 오늘은 수학자들이 접근한 교통체증 해결 방법에 대해 알아보기로 해요. 먼저 도로는 대체 왜 그렇게 막히는 걸까요?

GIB

○ 고속도로 교통체증의 원인은 ‘유령체증’

특별한 원인도 없이 교통체증이 일어나는 현상을 ‘유령체증’이라고 한다. 유령체증이 생기는 원인은 바로 운전자들의 ‘반응지체’ 때문이다. 가령 고속도로에서 맨 앞을 달리던 트럭이 있다고 하자. 달리던 트럭이 갑자기 차선을 바꾸면, 트럭 뒤에 있는 차는 브레이크를 밟아 속도를 줄이게 된다. 그러면 그 차 뒤에 있던 차 역시 영향을 받아 속도를 줄이게 되고, 뒤에 있는 차는 연속으로 앞에서 무슨 일이 일어났는지 모른 채 교통체증을 겪게 된다.

수학자들은 이런 유령체증을 해결하기 위해 수학적 모델을 개발하는 연구를 하고 있다. 2009년 미국의 매사추세츠공대의 수학자들로 이뤄진 연구팀은 교통체증이 ‘폭발 파동’을 나타내는 식과 매우 비슷하다는 사실을 밝혀냈다. 폭발 파동이란, 말 그대로 어떤 물체가 폭발할 때 생기는 파동현상을 뜻한다. 폭발할 때 입자가 연쇄적으로 퍼지는 현상이, 차량의 움직임이 연쇄적으로 다른 차량에 영향을 주는 교통체증과 비슷했다. 교통체증과 전혀 다른 물리학의 파동 방정식이 교통체증을 설명하는 데 중요한 열쇠가 된 것이다.

막히는 도로를 해결하기 위해서는 길을 더 만들면 되지 않을까요? 앗! 그런데 그게 아니라, 오히려 그 반대라고 해요. 길을 없애야 도로가 더 막히지 않는다는데, 왜 그럴까요?

GIB

○ 길을 막으면 오히려 빠르다! ‘브래스의 역설’

교통체증이 심각한 도로가 있다. 이 도로의 교통체증을 완화하려면 어떻게 해야 할까? 가장 쉽게 생각나는 방법은 정체구간이 심각한 도로를 대신할 또 다른 도로를 하나 더 만드는 것이다. 도로가 하나 더 생기면 정체구간에 있던 차량이 분산될 수 있기 때문이다.

그런데 새로운 도로를 추가했을 때 교통 흐름이 개선되기는커녕 오히려 교통체증이 심해지는 경우도 있다. 이것을 ‘브래스의 역설’이라고 한다. 독일의 수학자 디트리히 브래스가 1968년 발표한 ‘교통계획의 역설’이라는 논문에서 이 내용을 다뤄 그의 이름을 따서 지었다.

그렇다면 브래스의 역설대로 교통체증을 더 유발하는 불필요한 도로가 있을까? KAIST 물리학과 정하웅 교수는 미국 샌타페이연구소와 함께 교통체증이 심각한 미국의 뉴욕과 보스톤, 그리고 영국의 런던을 선택해 브래스의 역설을 직접 확인하는 실험을 했다.

먼저 각 도시의 도로망을 컴퓨터에 입력하고, 특정한 두 지점을 출발점과 도착점으로 선택했다. 그런 다음 차량을 1대에서부터 점차 늘려가면서 운전자가 출발점부터 도착점까지 이동하는 데 걸리는 시간이 어떻게 변하는지 살폈다.

그 결과 출발점에서 도착점까지 가는 여러 가지 길이 있음에도 불구하고, 모든 운전자가 가장 유리한 몇몇의 지름길을 선택한다는 것을 알 수 있었다. 그리고 이러한 운전자의 선택은 곧 교통체증이라는 전체의 불이익으로 연결됐다. 모든 사람이 자신만의 욕심을 채우기 위해 상대방을 고려하지 않으면 모두 실패하게 된다는 *게임이론의 ‘내쉬평행’이 교통문제에서도 나타난 것이다.

*게임이론 : 경쟁하는 상대의 행동을 생각하면서 자신의 이익을 얻기 위해 합리적으로 행동하는 것을 수학적으로 분석하는 이론.

<;수업안내>;

1. 대상 : 교통체증의 해결 방법을 수학적으로 접근해 보고 싶은 학생들이라면 누구나.

2. 제목 : 꽉 막힌 도로, 수학으로 해결한다!

3. 수업 목표

① 막히는 도로의 원인을 설명할 수 있다.

② 브래스의 역설을 이해하고, 막히는 도로의 수학적 해결법을 설명할 수 있다.

③ S자 도로를 만드는 이유를 이해하고, 설명할 수 있다.

4. 교과 연계

무학년 수학

5. 수업 지도 순서

주말이나 명절에 쉽게 접할 수 있는 교통체증 관련 교통 뉴스를 찾아 검색해 뉴스를 읽어 본다 ▶ 도로가 막히는 이유를 과학적으로 설명 한다 ▶ <;브래스의 역설>;을 통해 막히는 도로의 해결법을 설명 한다 ▶ S자 도로를 만드는 이유를 설명 한다 ▶ 클로소이드 곡선의 뜻과 곡률의 뜻을 설명 한다.

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[교과연계수업] 꽉 막힌 도로, 수학으로 해결한다!