d라이브러리

나는 병만족의 리더 김병만. 내가 온몸을 불태우며 촬영한 정글 탐험기가 인기를 끌면서, 제작진으로부터 달콤한 휴가를 선물 받았다. 그렇잖아도 정글과 오지를 넘나들며 쌓인 피로로 잠시 쉬고 싶었는데…, 이게 웬 떡이람? 야호! 리키의 고향인 하와이로 여름휴가를 떠난다!
리키와 광희 이렇게 우리 세 사람은 설레는 마음으로 비행기에 올랐다. 하늘에 닿을 듯한 야자나무와 눈앞에 펼쳐질 드넓고 푸른 바다를 상상하면서 말이다. …한참을 자고 일어나 슬며시 눈을 떴다. 거의 다 온 것 같은데, 갑자기 비행기가 심하게 흔들리더니 뭔가 상태가 심상치 않다.
“대체 무슨 일이지? 설마 우리 추락하는 거야? 어…, 어?! 으아아아아아아아~!”
 

Chapter 1 병만의 조난일기 파도에 묶인 발

정신을 차려보니 여긴 사방이 파도로 둘러싸인 외딴 섬. 비행기가 추락했지만 다행히 우리 셋은 모두 무사하다. 하지만 섬 어디에도 사람의 흔적은 없고, 당장 먹을 것이라곤 주머니 속 초콜릿 몇 개뿐! 흑…, 휴가 가는 길에 이게 뭐람. 또 다시 생존과의 싸움이라니…! 하지만 더 이상 좌절하고 있을 수만은 없다. 나는 병만족의 족장 아니던가! 어서 정신을 차리고, 서둘러 이 섬에서 탈출해야 한다! 먼저 우리는 주변에서 튼튼한 나무들을 주워 모았다. 섬을 빠져 나갈 배를 만들기 위해서다. 배가 어느 정도 모습을 갖추었을 때, 서둘러 섬 밖으로 배를 띄웠다. 그런데 도통 앞으로 나아가질 않는다. 아~, 파도가 정말 거세다. 헉, 잠시 방심하는 사이 파도가 우리를 또 덮쳤다!

“아…, 벌써 10번째 실패야. 이대로라면 점점 더 거세지는 파도 때문에 탈출하기가 쉽지 않겠는걸?”

“형, 우리 아무래도 저 무시무시한 파도를 이겨야 이 섬에서 빠져나갈 수 있을 것 같아.”

“빙고! 내 생각도 그래. 형, 혹시 파도에 대해 뭐 아는 거 있어?”

“뭐 파도가 별건가. 바닷물이 바람에 의해서 출렁이는 물결을 말하는 거잖아.”

“오 마이 갓! 이 정도 상식으로는 아무런 대책도 세울 수 없겠는걸?”

“어! 형, 저거 봐! 저거 부표 아냐? 뭐가 많이 적혀 있어! 여기 우리 말고 또 누가 있나 봐!”

“내가 가서 부표를 건져 올게. 이 섬을 빠져나갈 유일한 단서가 될지도 몰라!”
 

Chapter 2 제니퍼의 조난일기 파도를 정복하기 위해 떠난 여행

내 이름은 제니퍼. 나는 미국에서 활동하고 있는 수학·과학 전문 작가다. 이번에 새로 구상한 책을 쓰기 위해 파도타기의 역사가 깊은 하와이로 가던 길이었다. 잠시 배 멀미로 정신을 잃은 사이, 난 정체모를 이 섬에 갇혀 버렸다. 아무래도 이번 여행은 계획 보다 조금 길어질 것 같다.

파도를 제대로 공부하기 위해 시작한 파도타기다. 그런데 아직 파도타기로 섬을 빠져 나가기엔 실력이 부족하다. 뭐~, 당장 이 섬을 빠져나갈 방법이 없으니 이참에 파도 연구에 박차를 가해야겠다. 우선 지금까지 내가 알고 있던 파도의 성질을 정리해 보자.

파도는 바람 때문에 높이 치솟았다가 중력의 영향으로 다시 아래로 떨어지면서 운동에너지를 얻는 대신, 위치에너지를 잃는다. 파도타기는 이러한 에너지 변환을 온몸으로 느낄 수 있는 운동이며, 파도의 성질을 알 수 있는 가장 확실한 연구다. 이것은 마치 *롤러코스터의 원리를 닮았다.

나는 앞으로 구조될 때까지 알고 싶은 파도의 성질을 부표로 만들어 띄웠다. 이 부표를 누군가 보게 된다면 나를 구하러 올 테니까!

제니퍼가 전하는 파도타기 노하우!

짜디짠 바닷물을 마시며 파도타기를 몇 번 해 본 결과, 드디어 파도타기에 알맞은 파도가 따로 있다는 사실을 알아 냈다. 처음엔 파도가 모두 같은 모양이라고 생각했지만, 종류가 4가지나 됐다. 알고 보니 파도 표면의 기울기와 파도의 높이, 파장 등 파도를 구성하는 요소가 모두 다르다!
 

Chapter 3 파도는 삼각함수다!

그러니까 하와이로 휴가를 가던 중 조난을 당했단 말씀이시죠? 이왕 이렇게 된 거 같이 힘을 합쳐서 이 섬을 탈출해 봐요!

아~, 이 부표를 띄우신 분이죠? 멀리서 보니 파도타기를 잘 하시던데, 혹시 파도타기 선수세요? 저희는 파도 때문에 이 섬에 갇혀 버렸거든요.

우리도 파도타기를 잘 배워서, 이 섬을 빨리 탈출하고 싶어요! 어서 기술을 가르쳐 주세요. 네? 지금 바로 물로 뛰어들까요?

워워~. 지피지기면 백전백승! 파도를 알아야 이길 수 있겠죠? 수학을 이용하면 파도를 좀 더 쉽게 이해할 수 있어요. 파도에 대해 기본부터 차근차근 설명해 줄게요.

파도는 일정한 곡선을 그리며 운동한다
 

파도는 파장, 진동수, 진폭 세 변수의 영향을 받아 마루와 골을 반복적으로 형성하는 ‘주기함수’다. 2차원 평면 좌표에 파도의 일부를 그리면 y=sinx와 같은 사인곡선 그래프로 그려진다.

실제로 1초 동안 파도를 가만히 바라보면서 일정한 영역의 마루와 골 수를 세면, 파도가 그리는 사인곡선의 진동수를 알아낼 수 있다. 만약 어떤 파도의 마루와 골 수가 많으면, 높은 진동수로 그려지는 파도다. 파도의 진동수와 주기는 바람에 의해 결정된다. 진동수에 따라 파도의 마루와 골 수가 달라지고 파장의 길이도 결정된다.

★ 파동의 3요소는 파장, 진동수, 진폭
 

파도의 움직임을 이해하려면 가장 먼저 ‘파동’에 대해 알아야 한다. 파동은 어떠한 것이든 파장, 진동수, 진폭과 같은 세 가지 요소를 가지고 있다. 파장은 파동이 한 주기 동안 진행하는 거리다. 즉 파도의 마루와 마루 사이, 골과 골 사이의 거리를 말한다. 진동수는 1초에 진동이 일어나는 횟수로, 파도에서 1초에 생기는 마루의 수를 말한다. 진동수의 역수는 주기로, 파동이 각 지점에서 1번 진동하는 데 필요한 시간을 말한다. 마지막으로 진폭은 평균 수면에서 파동의 높이로, 파고의 1/2로 구할 수 있다.

파도는 서로 다른 진동수를 가진 파동의 모임

하지만 실제 파도는 y=sinx와 같은 한 종류의 파동만으로는 설명할 수 없다. 파도는 서로 다른 진동수를 가진 파동이 사방에서 모인 결과이기 때문이다.

하지만 여러 종류의 파동이 모였다 할지라도 변함없이 주기함수이므로, 모든 파도는 삼각함수의 합으로 표현할 수 있다. 이때는 우리가 잘 알고 있는 삼각함수 사인(sin), 코사인(cos)과 같은 기본 파동을 사용하는데, 이렇게 복잡한 파동을 기본 파동의 합으로 나타내는 원리가 바로 ‘푸리에 급수’다. 푸리에 급수는 프랑스의 수학자 장 푸리에가 정리한 것으로, 이를 이용하면 푸리에 변환이 가능하다.

쉽게 말해 푸리에 변환이란, 완성된 요리가 각각 어떤 재료로 만들어졌는지 알아내는 수학 알고리즘이라고 비유할 수 있다. 따라서 아무리 복잡하게 얽힌 파동이라도, 푸리에 급수와 푸리에 변환을 이용하면 파동을 구성하는 기본 성분으로 나눌 수 있다.

푸리에 급수는 파동해석, 음향학, 신호처리와 화상처리, 데이터 압축 등에 쓰인다. 수학자들도 이를 이용해 파도의 기본 파동을 구별하고, 다음에 올 파도의 크기와 높이를 예측한다.
 

Chapter 4 출렁이는 파도의 비밀은 원운동!

나이스! 이제 매의 눈으로 파도를 잘 관찰해서, 파동의 주파수만 잘 분석하면 문제없이 파도를 넘을 수 있겠네요. 드디어 섬을 탈출할 수 있는 희망이 보여요.

물론 그렇게 쉬운 일이면 좋겠지만, 좀 더 파도의 움직임을 알 필요가 있어요. 그저 물은 위아래로 움직이는 것처럼 보이지만, 사실 파도를 이루는 바닷물은 원운동을 한답니다.

오 마이 갓! 파도가 원운동을 하고 있다고요? 그럼 바닷물이 모두 토네이도처럼 빙글빙글 돌고 있는 건가요?

바닷물의 깊이에 따라 다른 원운동

넘실대는 파도를 가만히 보고 있으면 바닷물이 마치 위아래(↕)로 운동하는 것처럼 보이지만, 사실 물입자는 원운동(또는 타원 운동)을 하고 있다. 물입자의 운동 모양은 바닷물의 깊이에 따라 조금씩 달라진다. 파도가 해변으로 진행될수록 바닷물의 깊이가 얕아져 물입자의 운동은 왕복(↔) 운동만 남게 돼, 결국 파도는 사라지는 원리다.

이런 물입자의 원운동 때문에 잔잔한 바다 위에 음료수 병을 띄워 놓으면, 제자리에서 원운동 하는 것을 볼 수 있다. 이런 원리로 파도타기는 파도에 떠밀려가는 것이 아니라, 물입자의 원운동이 만든 파도 언덕을 미끄러져 내려가는 것이다.
 

파도의 표면을 연구한 수학자
 

파도를 구성하는 물입자는 물속에서 원 운동을 하고 있기 때문에, 파면에서는 동심원을 그리며 동그랗게 사방으로 퍼져나가는 파동이 생긴다. 파도의 표면에서 파동이 시작되는 점을 ‘파면’이라고 하는데, ‘파면에서 또 다른 파면이 만들어지는 원리’는 네덜란드의 수학자 크리스티안 하위헌스가 최초로 발견했다.

하위헌스는 ‘파면을 중심으로 일정하게 뻗어나가는 파동은, 파동을 이루는 모든 점이 또 다른 파동의 시작점(파면)이 된다’라고 생각했다. 이렇게 파동이 진행되는 모습을 그림으로 그려 설명한 것이 바로 ‘하위헌스의 원리’다.

이 연구는 파동 분야에서 대단한 발견이었지만, 실제 파동의 움직임은 하위헌스의 원리만으로는 정확하게 표현할 수 없었다. 실제 파도의 표면에서 관찰되는 파동의 무늬는 단순한 동심원 모양이 아니라 훨씬 더 복잡했기 때문이다. 파도는 때때로 장애물을 만나 한 방향만으로 파동을 유지할 수 없다. 게다가 파도는 서로 다른 진동수와 크기를 가진 파동이 만나 생기는 복합적인 현상이다.

그래서 프랑스의 수학자 어거스틴 프레넬과 독일의 물리학자 구스타프 키르히호프가 도우미로 나섰다. 먼저 세 사람은 빛의 파동이 사방으로 퍼지면서 장애물을 만나 반사되는 성질을 가진 것처럼, 물의 파동도 반사 또는 굴절되는 성질을 가질 수 있다고 생각했다. 이에 진행 방향에 따라 파동의 진동수와 크기, 세기가 어떻게 달라지는지를 일일이 계산했다. 그 결과 하위헌스의 수정 원리를 완성할 수 있었고, 실제 파도의 표면을 더욱 정확하게 분석할 수 있게 됐다. 하위헌스의 원리는 오늘날 휴대 전화의 전파가 정해지는 방식을 설명할 때도 사용된다.

Chapter 5 수학으로 부서지는 파도의 거품

수학과 아무 상관없을 것 같았던 파도에서 관련 이론을 쏙쏙 찾아내다니, 정말 수학자들은 저처럼 못하는 게 없네요. 그나저나 덥고 습한 곳에서 며칠을 지냈더니 온몸이 끈적끈적해요. 당장 저 파도 거품이라도 문질러 샤워하고 싶어요!

이제 조금만 참으면 이 섬을 탈출할 수 있어요. 샤워는 그때 가서 생각합시다. 거품 이야기가 나왔으니 말인데, 마지막으로 파도 거품에 대한 이야기를 해 보죠. 파도 거품도 수학자들에겐 재미있는 연구 대상이랍니다.

수학 공식에 따라 성장하는 파도 거품

파동은 파장이 클수록 마루 부분에서 진행 속도가 빨라지고, 골로 내려오면 바닷물의 깊이가 줄어든 만큼 속도가 느려진다. 그렇기 때문에 파도는 해변으로 오면서 점점 속도가 크게 줄어든다. 이것은 마치 자동차가 도로 위를 달릴 때 앞에서 달리는 차의 속도가 줄어들면 점차 그 도로 위 일정 구간 ‘정체 현상’이 생기는 것과 같다. 이런 원리로 파도는 마루와 골 사이의 진행 속도의 차가 커지면서 파도를 이루는 파동의 균형이 깨진다. 이때 파도의 머리 부분이 거품으로 부서진다.
 

미국의 프린스턴대 로버트 맥퍼슨 박사와 예시바대 데이빗 스롤로비츠 박사는 이렇게 부서지는 파도 거품의 과정을 수학 공식으로 설명했다.

2차원 평면에서는 거품을 이루는 기포끼리 만나면, 거품 전체가 회전할 수 있는 각도는 60°로 모두 일정하다(그림 ➊). 이것은 50년 전 수학자들이 밝혀낸 연구 결과다. 연구팀은 이 사실을 이용해 3차원 공간에서 거품의 성장 과정을 방정식으로 나타냈다. 2차원 함수의 정의역을 3차원으로 확장함(그림 ➋)으로써 파도 거품을 이루는 작은 기포가 만나는 곡면의 곡률을 구할 수 있게 됐다.

연구팀은 이 결과를 이용해 파도 거품이 해안으로 이동하는 속도는 기포들의 곡률에 비례한다는 사실을 밝혀냈다. 기포가 둥글면 둥글수록 거품의 이동속도가 빨라진다는 얘기다.

어머! 드디어 인터넷 신호가 잡혀요. 그러고 보니 파도도 좀 잠잠해 졌네요.

야호~. 우리 이제 집에 가는 거야? 살았다. 내 피부가 다 망가질 뻔했다고!

그 전에 급한 연락은 없었는지, 메일 확인을 먼저 해 봐야겠어요. 어디 보자…, 스크립스 해양연구소에서 일하고 있는 친구에게 메일이 와 있네요. 파도에 대한 얘기라고하니, 마저 들려줄게요.

파도 거품과 SNS의 공통점은?
 

Bonus Chapter 수학으로 파도를 재현한다!

휴~. 이번 여름휴가 아니, 조난은 정말 특별했어. 파도에 그렇게 많은 수학이 담겨 있다니, 달인 체면에 하마터면 모르고 넘어갈 뻔했군! 파도에 대해 알고 나니 진정한 파도의 달인이 되고 싶어졌어. 그래! 이제 파도를 직접 만들어 보는 거야. 그런데…, 어떻게 해야 파도를 만들 수 있지? 아무래도 전문가를 만나 봐야겠어!

계산수학으로 파도를 그린다

안녕하세요, 저는 카이스트 계산수학실험실에서 영상처리를 연구하고 있는 이창옥 교수라고 합니다. 파도가 어떻게 그려지는지 궁금하다고요? 영화에서 파도나 지진해일의 모습을 본 적 있죠? 이런 바다의 모습을 영화로 그려내려면 수학의 도움이 필요하답니다.

먼저 해변에서 파도가 밀려오는 장면을 상상해 보세요. 예전 방식대로라면 이것을 영화로 표현하기 위해서는 1초에 수십 장 분량을 일일이 손으로 그려야 했어요. 물론 요즘은 컴퓨터 그래픽(CG) 기술이 발달해 한결 수월해졌지만, 장면을 최대한 자연스럽게 보이려면 물을 표현한 장면과 장면을 연결하는 세밀한 수작업은 필수죠.

그런데 미분방정식을 사용하면, 자연스러운 파도의 움직임을 한결 간단하게 그려낼 수 있어요. 미분방정식이란, 각 함수의 기울기를 미지수로 갖는 방정식을 말해요. 파도를 더욱 사실적으로 그리려면 실제 파도 표면을 분석해야 합니다. 그래서 수학자들은 파도의 표면과 수면 위에서의 움직임에 집중해 연구하죠.

먼저 파도 표면이 이루는 곡면을 구성하는 각 점의 기울기를 구하고, 그 값을 모아 곡면의 변화량을 살펴봅니다. 그런 다음 기울기가 급변하는 지점을 방정식에 대입해 해를 구하면 파도의 곡면을 컴퓨터로 흉내낼 수 있거든요. 이걸 전체 영역으로 넓히면, 실제와 같이 생생한 파도의 모습이 만들어진답니다.

파도를 재현하려면, 통계 자료는 필수!

안녕하세요, 저는 한국해양과학기술원에서 파도를 연구하고 있는 홍기용 박사입니다. 인공파도에 대한 궁금증을 풀어드리죠.

수영장에서 만날 수 있는 ‘인공 파도풀’은 주로 수조 안에 물을 가둬 놓고, 시간차를 두고 피스톤으로 물을 밀어내 파도와 닮은 파동을 만들어내는 간단한 원리입니다. 그러나 인공파도는 수영장에서뿐만 아니라 에너지 수집 장치를 만드는 데도 필요하답니다. 우리는 바다의 구조물이 파도에 잘 견딜 수 있는지를 알아보기 위해 인공 파도를 만들어 실험을 진행합니다. 에너지 고갈 문제가 심각한 요즘, 바다에 숨어 있는 해양 에너지를 잘 모으기 위해 바다에 여러 구조물을 세우거든요.

그 중 파력발전은 파도의 힘을 이용해 발전기를 돌려 전기를 만듭니다. 따라서 효과적인 발전기를 설계하려면 파도에 대한 연구는 필수죠. 또한 한 번에 얼마나 많은 양의 전기를 모을 수 있는지(효율성), 한번 설치한 발전기가 얼마나 오래 버틸 수 있는지(내구성) 등을 정확히 계산해야 합니다. 그래야 손실을 줄일 수 있으니까요.

연구원들은 이러한 발전기를 실제 바다 위에 설치하기 전, 파도를 재현해 모의실험을 진행합니다. 바다에서는 항상 예기치 못한 상황이 생길 수 있거든요. 그래서 직접 만든 인공 파도 수조는 실제 바다 상황과 같이 바람, 해수, 물의 농도 등의 여러 외부 환경을 고려해서 만든답니다.

또한 파도를 만들기 전, 적게는 10년, 많게는 1000년 동안의 최대 파도의 높이와 크기를 분석합니다. 그래야 실제 바다 위에서 어떤 파도가 와도 견딜 수 있도록 발전기를 세울 수 있으니까요. 이런 통계 분석이 끝나면 파도와 발전기를 알맞은 비율로 축소해 실험을 진행하는 것이랍니다.

이제 파도에 대해 확실히 알았어! 파도를 제대로 알고 나서 즐기는 파도타기는 정말 짜릿하군! 어때? 나 이정도면 파도타기의 달인도 맞지?

그…, 그런데 저기 저 상어 설마, 나랑 같이 파도를 타고 있는 거야? 으아~~~악! 병만 살려~!