방정식은 결코 어려운 단원이 아니에요. 오히려 무궁무진한 다양한 문제를 만날 수 있는 보물 상자와 같죠. 믿기 어렵다고요? 그럼 재밌는 문제부터 만나 볼까요?
어때요? 문제를 보는 순간, 예쁜이의 비밀번호가 궁금하지 않나요? 이런 실생활 문제는 수학 공부의 흥미와 재미를 더해 줍니다. 이처럼 방정식 단원에서는 생활 곳곳에 숨겨진 다양한 문제를 만날 수 있답니다.
그런데 주의해야 할 점이 있어요. 대부분의 학생들은 방정식 활용 문제를 마주하게 되면, 훈련된 풀이법에 생각을 끼워 맞추려고 해요. 그래서 예상했던 방법으로 문제가 풀리지 않을 때 당황하게 되는 거죠. 문제를 대할 때는 여유를 가지고 늘 ‘반전’을 기대하며, 무한히 상상하세요. 반전의 반전으로 다시 제자리에 오더라도요. 늘 열린 생각으로 문제를 매섭게 바라보는 훈련을 한다면 방정식 정복은 문제없어요!
선생님, ‘문자’를 꼭 사용해야 하나요?
집 근처 마트나 오락실에 가면 지폐를 동전으로 교환해 주는 ‘동전교환기’를 본 적 있을 거예요. 동전교환기는 1000원짜리 지폐를 500원짜리 2개로 또는 100원짜리 10개로 또는 500원짜리 1개와 100원짜리 5개로 교환해 줍니다. 1만 원짜리 지폐를 넣는 경우라면 더 많은 경우의 수가 있겠지요. 다음 문제를 함께 살펴봅시다.
수동이는 1000원짜리 지폐를 500원짜리 동전 1개와 100원짜리 동전 5개로 교환해 주는 동전교환기에서, 1000원짜리 지폐 32장을 동전으로 교환하려고 한다. 이 때 교환한 100원짜리 동전의 개수와 500원짜리 동전의 개수는 각각 몇 개인가?
이 문제를 해결하려면 먼저 지폐와 동전 사이의 관계를 파악하는 것이 중요합니다. 표를 이용해 봅시다.
둘 사이의 관계를 파악하려고 ‘문자’ 대신 초등학교 때 공부했던 □,△,○,☆를 사용한다면 어떨까요? 물론 동전의 종류가 두 가지일 때는 문자 대신 □와 △를 사용해도 됩니다. 큰 어려움이 없죠. 하지만 문제가 1만 원짜리 지폐의 경우를 묻거나, 교환되는 동전의 종류가 늘어난다면 어떨까요? 서로 다른 미지수를 도형으로 표현하고, 풀이과정 속에서 여러 번 반복해 도형을 그리는 일은 쉽지 않을 거예요.
이처럼 두 개 이상의 미지수가 등장하는 방정식에서 식을 간단히 나타내고 풀이과정에서 오류를 범하지 않기 위해 x나 y 같은 문자를 사용하는 것이랍니다.
문제를 즐기는 방법!
모든 방정식의 활용문제가 만화로 돼 있다면 얼마나 좋을까요?
만화의 가장 큰 장점은 문제에서 제시하는 조건을 빠르게 알아차릴 수 있다는 점이에요. 이 문제에서는 처음 돼지 수를 $x$로 두면 되겠죠.
대부분의 수학문제는 아주 딱딱한 글씨로 돼 있어요. 그렇다면 모든 활용문제를 만화로 상상해 보세요. 수학에 대한 관심과 방정식 문제를 푸는 여유를 얻을 수 있을 거예요.
김형옥 선생님의 특별 처방전!
‘수학의 본질은 자유로움에 있다.’ 독일의 수학자 게오르크 칸토어의 말입니다. 수학 문제는 단순한 계산 문제 이외에도 다양한 방법으로 접근할 수 있어요. 여러 가지 과목이 함께 등장하는 특별한 문제는 자유롭게 생각할 수 있는 힘을 길러 주죠. 오늘은 다양한 형식의 문제로 수학을 공부해 보는 방법을 소개할게요.
재미난 수학 문제 만들기
●평범한 문제
두 벽면이 수직으로 세워진 막다른 골목에 길이가 15m인 철망을 이용해 직사각형 모양의 방을 만들려고 한다. 방의 넓이가 56m2이고, 방의 가로·세로 길이가 각각 다를 때, 긴 변의 길이를 구하여라.
●변형한 문제
다음은 연극 대본의 일부이다. 프로메테우스가 갇힌 감옥의 가로 길이를 구하여라(단, 가로 길이가 세로 길이보다 길다).
마을사람 1 : 마을이 너무 어두워! 정말 무섭다. 우리에겐 불이 필요해.
마을사람 2 : 우리에게 불이 있다면 이런 고통은 없을 텐데….
프로메테우스 : (마을사람들을 지켜보며) 마을 사람들이 정말 불쌍하다. 하지만 마을사람에게 절대로 불을 주지 말라는 명령이 있었잖아. 아…, 그렇지만 저렇게 고통스러워하는 인간을 더 이상 보고만 있을 수는 없어!
… (프로메테우스는 불을 훔쳐 인간에게 준다.) …
나레이션 : 프로메테우스는 인간에게 불을 가져다 준 죄로 감옥에 갇히게 됐습니다.
프로메테우스 : 두 벽면이 서로 수직인 골목 끝에 길이가 15m인 철망으로 만든 넓이가 56㎡인 직사각형 모양의 감옥에 갇히고 말았어! 수동을 보고있는 친구들, 나를 이 감옥에서 구해 줘!
어때요? 신선하지 않나요? 학생들이 자주하는 실수 중에 하나는 수학문제를 ‘빠르게’만 풀려고 하는 거예요. 하지만 수학문제풀이는 정답으로 가는 다양한 길이 있어요. 문제를 보고 천천히 생각하면서 자신에게 가장 잘 맞는 길을 선택하는 것이 중요하죠. 그러려면 ‘천천히’ ‘다양
하게’ 생각하는 연습이 필요해요. 여러분도 지금 바로 시작해 보세요. 더욱 매력적으로 다가오는 수학을 만날 수 있을 거예요!
