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뭐든 혼자서 하는 것보다는 여럿이 함께 하면 재미있을 때가 많습니다. 어려운 수학 문제도 혼자 풀지 않고 친구들과 함께 풀 때, 각자의 아이디어가 규합되어 혼자서는 풀지 못했던 문제가 풀리기도 합니다.‘수학 올림피아드의 천재들’이라는 책에서도 그런 스토리를 읽었던 것으로 기억합니다. 경쟁을 초월하여 동료를 소중히 여기고 팀으로 협력할 수 있는 자질이 있는 사람은 어디서든 환영받게 되며, 결국 그런 사람의 인생이 더 성공할 가능성이 큽니다.


발틱 웨이(Baltic Way)

우리나라가 국제 수학올림피아드(IMO) 외에 아시아와 환태평양 국가들이 참가하는 아시아태평양 수학올림피아드(APMO)에 참가하듯이, 세계 곳곳마다 인접 국가들이 모여 치르는 다국가 수학올림피아드가 여럿 있다. 발칸 반도의 나라들이 참가하는 발칸 수학 올림피아드, 중앙아메리카와 남아메리카의 나라들이 참가하는 중미 수학올림피아드와 남미 수학올림피아드, 북유럽 수학올림피아드, 범아프리카 수학올림피아드 등 나열하기도 벅찰 만큼 많은 대회가 있다. 그 중에서도 대회에 깃든 뜻이 깊은 발틱 웨이 라는 대회는 소개한다.

발트 3국(라트비아, 리투아니아, 에스토니아)은 구소련에서 가장 먼저 독립한 나라들인데, 독립 운동으로 1989년 8월에 세 나라의 사람들이 거리로 나와 손에 손을 잡고 총 600km에 이르는 장대한 인간 띠를 만드는 시위를 하였다. 이 인간 띠가 발트 사람들의 길, 즉‘발틱 웨이’라고 불리게 되었다.

세 나라는 구소련에 속했을 때는 소련 수학 올림피아드의 일원이었지만, 독립 후에는 자신들만의 수학 올림피아드가 필요하게 되었다. 그래서 1990년에 발트 3국이 함께 하는 수학올림피아드를 만들었다. 발틱 웨이 독립 운동을 기리는 뜻에서 그 대회에 발틱 웨이라는 이름을 붙였고, 손에 손을 잡고 이루었던 그 협동심을 전승하는 뜻에서 팀으로 치르는 수학경시대회로 하였다. 각 나라마다 5명으로이루어진 선수 팀이 참가하여 4시간 30분 동안 20문항을 풀어야 하는데, 제한시간에 비해 문항이 상당히 많기 때문에 팀원별로 분담을 하여 풀고 어려운 문제는 남은 시간 동안 협력하여 풀어야 한다. 발트 해 인접 국가들을 비롯하여 그 밖의 주변 나라도 많이 초청하고 있는데, 다른 나라들이 상위권을 차지하고 발트 3국은 하위권에 쳐지는 경우가 많다. 하지만 그런 것에 전혀 아랑곳하지 않는 것으로 보인다.

우리도 이들처럼 독립 운동과 광복의 경험을 가졌기에 이 대회가 좀 더 친근하게 다가온다. 그런 한편, 오늘날 소위‘1등 병’등 개인 간의 심한 교육 경쟁으로 인한 부작용을 많이 겪고 있는 우리들에게는 팀워크와 도전 그 자체가 강조되는 이 대회로부터 무언가를 배워야 하지 않나 하는 생각도 든다.이 발틱 웨이 대회의 최근 문제를 하나 소개하겠다.



많은 올림피아드 문제들이 그러하듯 이 문제도 역시 신기하면서 막막한 문제이다. 그럼 어떤 길을 찾아볼까? 우선, 다항식은 P(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…a₁x+a₀의 꼴로 여러 항의 합으로 이루어져 있는데, 위의 문제에서도 여러 식의 합으로 나타내는 것을 원하고 있다.

그렇다면 P(x) 전체를 한꺼번에 해결하려고 할 필요 없이, 각각의 항 a_kx^k들로 분할하여 문제를 풀어도 되지 않을까?

a_kx^k들 각각을 몇 개의 세 제곱식들의 합으로 나타낼 수 있다면, 그들을 합한 것 역시몇 개의 세 제곱식들의 합이 될 테니까 말이다.즉, P(x)=a_kx^k꼴일 때만 풀면 충분하다는 것을 알 수 있다. 각각의 항들에 대해 푼 것을 연합하여 전체 문제를 풀겠다는 의미가, 어쩌면 팀으로 경연하는 발틱 웨이 대회의 의미와도 뭔가 부합되는 느낌을 주기도 한다. 이렇게 풀어야 할 문제의 범위를 좁히는 기술을 환원법(reduction, 넓은 문제가 좁은 문제로 환원된다는 의미)이라고 하는데, 필자는 이것을 좀 더 쉽게 기억되게 하고자 종종 환원법 대신‘드리블’이라고 표현한다. 문제를 푼다는 것을 골을 넣는 것에 비유한다면, 환원법이란 골을 쉽게 넣을 수 있는 위치(좁은 문제)로 공을 옮기는 기술이라고 볼 수 있기 때문이다.





우선 그런 두 수가 존재할지 존재하지 않을지를 판단해 내야 한다. 아무렇게나 고른 두 무리수라면 저런 두 값이 같아지는 경우가 있을 것 같지만, 뭔가 매우 특수하게 엮인 두 수를 고른다면 그렇지 않을지도 모른다.