d라이브러리

이번 한국수학올림피아드에서 만족스러운 상을 받은 학생들도 있는 반면, 열심히 준비했지만 결과가 좋지 않았던 학생들도 있을 겁니다. 기회는 다음 번에도 있는 것이고, 정말 소중한 것은 좋은 상이 아니라 스스로 열심히 준비했던 과정과 그렇게 키워낸 자신의 실력 그 자체입니다. 노력으로 얻은 실력과 굳건한 마음은 누구도 훔쳐갈 수 없는 여러분의 것이며, 그것이 앞으로도 여러분의 미래를 밝혀줄 것입니다. 결과에 쉬이 실망하는 나약한 마음가짐이야 말로 발전을 더디게 하며 자신을 망가뜨리는적이라는 것을 명심합시다. 이제는 도시대항 국제수학토너먼트(TOT)라는 새로운 기회도 있으니 다시 한 번 도전을 즐겨보세요.

도시대항 국제수학토너먼트 1984년 봄 고등부 A레벨 3번

무한히 많은 방들이 양방향으로 일렬로 배치되어 있다. 수직선의 좌표처럼 연속한 정수들로 각각의 방마다 번호가 주어져 있으며, 그 안에는 피아노가 한 대씩 놓여 있다.

유한한 인원의 피아니스트들이 이들 방에서 산다(한 방에 여러 명이 있을 수도 있다). 매일, 연속한 두 방(k호실과 k+1호실)에 사는 어떤 두 명의 피아니스트가 다른 피아니스트들의 연습을 방해하기로 마음먹고, 각각 k-1호실과 k+2호실로 옮긴다. 이와 같은 방 옮기기가 영원히 계속되지는 못함을 증명하여라.

이것은 지난 호까지 소개했던 문제들보다는 훨씬 어려운 문제입니다. 그러나, 필자가 가장 좋아하는 문제 중 하나라서 소개를 합니다.

연속한 여섯 방에 한 명씩의 피아니스트가 있었고 다음과 같이 방을 옮기는 경우를 관찰해봅시다. 편의상 두세 단계로 나타내야 하는 과정을 압축해서 나타내었으니 잘 관찰하세요. 예를 들어, 제1행에서 여섯 명이 차례로 둘씩 세 쌍의 짝을 지어 각 짝이 한 번씩 옮긴 것이 제2행이고, 거기서 중간의 네 명이 둘씩 두 쌍의 짝을 지어 역시 한 번씩 옮긴 것이 제 3행입니다. 그렇게 총 18번 진행된 것입니다.
 

뭔가 전체의 폭이 점점 넓어지면서 또한 점점 산만해지는 것 같지만, 그렇다고 안쪽으로 이동하는 경우가 자주 없는 것도 아니고 여러 명이 한 지역에 몰리는 경우도 종종 있습니다. ‘폭이 넓어지면서 산만해지는 정도’ 를 값으로 표현할 수 있는 양이 있으면 좋겠습니다. 그리고, 그 양은 실제로 늘 점점 커지거나 아니면 점점 작아지는 양이라야 할 겁니다. 이런 단조적인 불변량을 이용하는 기술이 필요합니다.

다행히 이런 이동에서 잘 알려진 양이 한 가지 있습니다. 각각의 사람이 있는 좌표(방 호수)의 제곱의 합Q가 그것입니다(네제곱의 합 등을 대신 써도 됨).

k²+(k+1)²<;(k-1)²+(k+2)²임을 관찰하면(전개 후 소거, 정리하면 1<;5가 됨)매 움직임마다 Q가 늘 증가한다는 것이 확인됩니다.

그 다음으로 필요한 논리는, 이 Q가 커지는 값에 한계가 있음을 말하는 것입니다. 전체의 폭이 커진다 해도 제한된 정도로만 커짐을 관찰하여 그것을 증명할 수 있으면, 이런 논리를 갖출 수 있습니다.