중1 학생들을 위한 이것만은 꼭!
오늘은 모르고 넘어가면 다음 학년에도 문제가 생기는 주요개념을 중심으로 살펴보겠습니다. 솔직히 중요하지 않은 단원은 없으니, 여기에 없는 내용이 중요하지 않다고 오해하는 학생들은 없길 바라요.
먼저,‘집합’의 개념은 반드시 정확하게 이해하고 넘어가야 합니다. 학년이 올라가도 여러 단원에서다시 등장하기 때문이에요.
예를 들어 조건제시법 {x|x는 -1 ＜ x ≤ 3인 정수}라 할 때,‘x|x’에서 앞의 x는 원소를 나타내고,뒤의 x는 조건을 나타냅니다. 결국 이는 주어진 조건을 만족시키는 원소들의 모임이라는 뜻이지요. 이 개념은 나아가 방정식이나 함수 등에서 범위를 제시하거나‘해집합’‘정의역 ‘치역’과 같은 새로운 개념을 정의할 때 다시 쓰입니다. 분명히‘해집합’은 조건을 만족시키는 해들의 모임,‘정의역’‘치역’은 각 조건을 만족시키는 x값, y값의 모임으로 여러분 앞에 다시 나타날 테니, 소홀히 해서는 안 되겠죠? 또한 일차식과 일차방정식을 반드시 구분할 줄 알아야합니다.
예를 들어‘일차식 1/3x+1+1/2x-3을 간단히 하여라’와 같은 문제가 나왔을 때, 주어진 문제는 등식이 아니므로 등식의 성질을 이용할 수 없다는 사실을 알아야 합니다. 즉 x값을 구하는 게 아니라, 주어진 식을 문제 그대로 동류항끼리만 계산해 간단히 하면 되는 것이죠.
즉 왼쪽의 풀이처럼 통분을 이용해 문제를 해결하는 것이 맞습니다. 만약 이 문제가‘1/3x + 1 +1/2x-3=0’의 꼴이었다면 이것은 더 이상 동류항을 정리하는 일차식 문제가 아닌 일차방정식 문제로 탈바꿈하게 돼요. 방정식 문제의 최종 목표는 x 값 구하기! x항은 좌변으로, 상수항은 우변으로 이항하면, 5x=12가 되므로 결국 x 값은 12/5 가 되겠죠. 마지막으로 함수이야기를 하고 싶은데, 함수와 함수의 그래프 문제는 2학년 과정에서 다시 등장하니 뒤에서 자세히 설명할게요.
한 걸음 더 앗! 나의 실수
학년에 상관없이 학생들은 늘‘실수로 틀렸다’는 말을 자주 합니다. 하지만 실수로 문제를 틀린다고말하는 이유는 대부분 개념을 정확하게 이해하지 못했기 때문입니다. 이럴 때에는 개념을 정확히 알고 넘어가야 하는데, 개념을 단번에 이해할 수도 있지만, 서너 번씩 반복해야 할 때도 있습니다.‘대충 이해하는 것’은 절대로‘아는 것’이 아닙니다. 눈으로 쓱 읽고, 막히는 부분은 풀이의 도움을 받으면서‘이해했다’고 생각하는 학생들이 종종 있어요. 그리고 이런 문제를 시험에서 만나면 학생들은‘실수했다’라고 변명하는 것이죠. 실수를 극복하기 위해서는 대충 아는 것에 만족하지 말고 완전히 이해할 때까지 열 번이고 스무 번이고 반복 훈련해야 합니다. 시간이 오래 걸린다고 답답해하지 마세요. 투자한 시간은 반드시 여러분의 수학 실력으로 돌아올 테니까요!
중2 학생들을 위한 이것만은 꼭!
2학년 때 처음 배우는 지수법칙은 다른 것보다‘음의 부호’를 가장 조심해야 합니다. ab에서a는 밑,b는 지수를 말하는데, 밑의 음의 부호가 괄호 안에 있을 때와 밖에 있을 때 결과 값이 다르고, 밑이 음수인 거듭제곱을 계산할 때 지수가 홀수인지 짝수인지에 따라 결과가 달라지거든요. 예를 들어 (-3)2과 -32은 지수가 영향을 미치는 밑이 다릅니다. 즉 (-3)2의 지수 2는 밑 -3에 영향을 미치므로 (-3)2=(-3)×(-3)=9를 말합니다. 또한 -32의 지수 2는 (-3)2과 다르게 밑 3에 영향을 미치는 거죠. 따라서 3을 두 번 곱한 수에 -를 붙인 -(32)과 같은 표현이 됩니다. 즉 -32=-(32)=-(3×3)=-9인데, 이때 학생들이 가장 많이 하는 실수는 -32을 (-3)×(-3)=9라고 오해하는 것이죠.여러분은 정신 바짝 차리고 틀리지 않도록 조심하세요! 일차함수를 본격적으로 공부하는 2학년 학생들은 1학년 때 놓치고넘어온 개념까지 다시 살펴봐야 해요. 왜냐하면 3학년 때 이차함수, 고등학교 과정에서는 더욱 심화된 고차함수가 등장하기 때문이죠. 함수의 생명은 그래프이므로 무엇보다 그래프를 잘그릴 줄 알아야 하고, 주어진 그래프를 정확히 해석할 줄 알아야겠죠. 간단히 두 개의 예를 살펴볼게요.
아래 주어진 각각의 조건대로 문제를 풀고, 각각의 치역을 구하여라.
(1) 집합 X={-1, 0, 1}을 정의역으로 하는 y=2x의 그래프로 알맞은 것을 고르시오.
(2) y =2x의 그래프를 그려라.
(1)번 문제의 정답은 정의역이 원소나열법과 조건제시법으로 다르게 주어졌을 때, 차이점을 잘 알고 있느냐를 묻는 문제입니다. 주어진 문제에서는 원소나열법으로 제시됐으니, 이 문제는 -1, 0, 1에 대한 함숫값만으로 그래프를 그린 ❷번 그래프가 정답이 되겠죠. 만약 정의역 X={x|x는 -1≤x≤1인 실수}였다면 ❶번 그래프가 정답입니다. 따라서 각각의 치역을 구하면 ❶번 그래프의 치역 Y={y|y는 -2≤y≤2인 실수}이고, ❷번 그래프의 치역 Y={-2, 0, 2}입니다.
(2)번 문제처럼 정의역이 주어지지 않을 때의 정의역은 실수 전체 범위라고 무언의 약속을 합니다. 따라서 일차함수의 그래프를 그리기 위해 y=2x를 만족시키는 두 개의 좌표를 찾아 직선으로 이어주면됩니다. 가장 간단하게 (0, 0)과 (1, 2)를 지나는 직선으로 완성할 수 있겠네요. 정의역이 실수 전체범위였으니 치역도 당연히 실수 전체 범위겠죠? 두 번째 문제의 치역 Y={y|y는 실수 전체}라고 표현할 수 있겠네요.
중3 학생들을 위한 이것만은 꼭!
중학교 3학년 때 처음 배우는‘무리수’를 이번 기회에 새로운 방법으로 익혀보는 것은 어떨까요? 오른쪽 수학 시를 읽고 아래의 문제를 풀어보세요.
도전! 특별한 수학문제 만들기
나숙자 선생님은 수학이란 창의성을 키워주는‘생각 주머니’라고 말씀하셨어요. 수학 덕분에 자신만의 독특한 방법으로 문제를 풀 수 있는가 하면 아름다운 수학 시를 쓰고, 또 수학만화를 그릴 수 있으니까요. 그리고 수학을 통해 무엇보다 늘 논리적이고 합리적으로 생각하는 힘을 기를 수 있다고 하셨죠. 오늘은 교과서 어디에도 없는 하나뿐인 나만의 문제 만들기를 소개할까 합니다. 다음 예시를 보고, 수학동아 독자 여러분도 세상에 하나뿐인 수학문제를 만들어 보세요!
