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“박사님, 감동이에요. 크리스마스 카드도 써주시고.” “허허, 이게 다가 아니란다. 선물도 준비한 걸~.” “박사님, 사랑해요! 그런데 제 선물은? 어디에?” “그렇게 좋으냐? 여기 있다. 14면 신라주사위!” “14면 신라주사위요? 어디에 쓰는 물건이죠?” “허허, 실험실로 가자꾸나. 지금부터 알려 주마.”

눈 속에 정육각형 있다?!
 

한겨울 펑펑 내리는 눈에는 정육각형이 숨어 있다. 이를 확인하기 위해 눈을 검은 도화지 위에 올려놓고 돋보기로 관찰하자. 그러면 별과 꽃, 나뭇가지 모양 등 다양한 눈결정을 관찰할 수 있다.

눈결정은 관찰할 때마다 제각각이지만 중심에서 뻗어 나간 여섯 개의 가지 끝을 서로 연결하면 모두 똑같이 정육각형이 그려진다. 정육각형에서 대각선 방향으로 마주 보는 꼭지점끼리 연결하면 정육각형은 다시 정삼각형 6개로 구성된다.

원 모양의 동전을 이용한 실험을 통해 눈결정을 수학적 도형으로 생각해 보자. 먼저 평면 위에 같은 크기의 동전을 여러 개 준비한다. 한 개의 동전을 같은 크기의 동전 몇 개로 둘러쌀 수 있을까? 하나의 동전은 6개의 동전으로 둘러쌀 수 있음을 알 수 있다. 각 동전의 중심을 연결하면 정삼각형 6개로 이루어진 정육각형을 만들 수 있다.

이제 정삼각형에서 일부를 잘라내어 육각형을 만들고 다시 이 육각형과 넓이가 같은 정사각형을 만들자. 육각형 8개와 정사각형 6개를 결합하면 14면 주사위가 만들어진다. 경주 안압지에서 1975년 출토된 목제주령구가 대표적인 14면 주사위다. 그런데 안타깝게도 현존하는 것은 진품이 아닌 복제품이다. 발견 당시 사진촬영과 측정을 마치고 특수 제작된 오븐에 넣어 수분을 제거하던 중 자동조절장치의 고장으로 오븐이 과열돼 주사위가 불타고 말았다.

목제주령구 14개의 면에는 재미있는 벌칙이 쓰여 있다. 아마도 귀족들이 술자리에서 목제주령구를 굴려 윗면에 쓰여 있는 내용대로 행동했을 것으로 추정된다. 정사각형 면에는 ‘소리 없이 춤추기’ ‘여러 사람 코 두드리기’ 등이 쓰여 있고, 육각형 면에는 ‘얼굴을 간질여도 꼼짝 않기’ ‘누구에게나 마음대로 노래시키기’ ‘시 한 수 읊기’ 등이 쓰여 있다. 세계에서도 유례를 찾기 어려운 창의적인 주사위다.

아하! 생각이 쑥쑥! 코흐 곡선
 

앞에선 하나의 동전을 둘러싸려면 몇 개의 동전이 필요한지 살펴봤다. 사고를 더 확장해 한 개의 공을 둘러싸려면 몇 개의 공이 필요한지 생각해 보자. 가운데 공을 기준으로 공끼리 서로 외접하도록 쌓으면 최소한 12개의 공이 필요하다는 사실을 알 수 있다. 총 13개의 공으로 이루어진 공 구조물에서 공의 중심을 모두 연결하면 정삼각형 8개와 정사각형 6개로 이루어진 깎은 십사면체를 찾을 수 있다. 가운데 공을 제거하고 외접하는 12개의 공의 중심을 연결하면 정삼각형 20개로 구성된 정이십면체를 발견할 수 있다.

◎미션◎
앞에서 했던 실험을 소재로 재미있는 수학 이야기를 만들어 보세요.

제 꿈은 디자이너입니다. 그래서 시간이 날 때마다 디자인 아이디어도 생각하고 연습도 하죠. 오늘은 학교에서 수학시간에 코흐 곡선을 배웠습니다. 수학시간에 배운 내용이긴 하지만 디자인에 활용하면 좋은 작품이 탄생할 것 같았어요. 그래서 집에 들어서자마자 코흐 곡선을 그렸죠. 그리고 다양한 색을 칠했습니다. 짜잔~, 제 작품 어떤가요? 그럴싸하죠? 여러분도 코흐 곡선을 이용한 디자인을 해 보세요!