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매력적인 곡선, 사이클로이드
원 둘레에 한 점을 찍은 뒤에 원을 굴리면 점이 움직이면서 곡선을 그린다. 이 곡선을 사이클로이드 곡선이라고 한다. 원호와 비슷한 둥그런 곡선이다.
매력적인 둥근 곡선, 사이클로이드에는 어떤 수학적 특징이 숨어 있을까? 사이클로이드 곡선은 오래 전부터 많은 수학자와 과학자들의 관심사였다. 파스칼과 갈릴레이, 하위헌스, 베르누이같은 사람들이 사이클로이드 곡선의 성질을 연구했다.
이 중 하위헌스는 진자가 사이클로이드 곡선으로 움직인다는 사실을 밝혔다. 또 베르누이는 가장 빨리 내려가는 곡선 문제를 제기하기도 했다. 이 곡선이 사이클로이드 곡선이라는 것을 알게된 수학자는 사이클로이드 곡선의 매력에 빠져 사이클로이드를 ‘기하학의 헬렌’이라고 불렀다. 헬렌은 트로이 전쟁의 원인이 될 정도로 예뻤던 왕비다.
만약 원 안쪽의 한 점이거나 원 밖의 한 점이 움직이는 곡선을 그린다면 어떤 모양일까? 원 안쪽과 바깥쪽의 한 점이 움직이며 그려지는 곡선은 트로코이드 곡선이라고 부른다. 사이클로이드와 모양이 조금 다른 곡선이 그려진다.
원 안쪽의 점이 그리는 곡선은 사이클로이드 곡선보다 완만한 곡선이 된다. 반면 원 바깥의 한점이 그리는 트로코이드 곡선은 사이클로이드 곡선보다 위아래 움직임이 큰 모양이다.
아하! 생각이 쑥쑥! 직선보다 빠른 사이클로이드
놀이터의 미끄럼틀 중에는 곡선 모양이 직선 모양보다 더 스릴이 있다. 직선은 각 점에서 순간속력이 일정하지만 곡선은 순간속력이 각 지점에서 달라지기 때문이다.
또 사이클로이드 곡선은 두 지점 사이를 가장 빨리 움직일 수 있는 곡선이다. 두 점을 잇는 직선 위를 지날 때보다 더 빠르다. 곡선은 직선보다 길이가 더 길다. 그런데 어떻게 이런 일이 가능할까?
사이클로이드 곡선이 시작되는 곳은 직선보다 기울기가 가파르다. 따라서 가파른 곳에서 속력이 빨라지면서 직선에서 내려올 때보다 빨리 도착할 수 있다. 놀이공원의 롤러코스터, 스케이트 보드의 경기장, 수영장의 미끄럼틀은 사이클로이드 곡선의 이와 같은 성질을 이용한 예다.
사이클로이드 곡선은 우리 주변에서 쉽게 찾을 수 있다. 고풍스러운 한옥집의 기와는 사이클로이드 모양과 비슷하다. 또 잉어의 비늘에 있는 둥근 곡선도 사이클로이드 곡선과 닮았다. 사이클로이드 곡선 모양으로 기와를 만들면 기와에 빗물이 고이지 않고 빨리 떨어진다는 장점이 있다. 마찬가지로 잉어의 비늘도 사이클로이드 곡선 모양이기 때문에 물이 비늘에 맺히지 않고 빨리 떨어져 물의 저항을 줄일 수 있다. 주위를 잘 살펴보자. 숨어 있는 사이클로이드 곡선을 찾을 수 있을 것이다.
◎미션◎
생활 속에서 사이클로이드 곡선을 찾아 재미있는 이야기를 만들어 보세요.
신나는 토요일 밤, 저녁을 먹고 아빠와 함께 집 근처 공원에서 자전거를 탔어요. 아빠가 자전거 바퀴 가장자리에 빛을 내는 발광다이오드를 붙이셨어요. 그리고 멋지게 자전거를 타는 모습을 보여 주셨지요. 그런데 아빠의 자전거 바퀴에 신기한 모양의 곡선이 화려하게 빛났어요. 어떤 곡선이었을까요? 맞아요! 바로 사이클로이드 곡선이랍니다.
원 둘레에 한 점을 찍은 뒤에 원을 굴리면 점이 움직이면서 곡선을 그린다. 이 곡선을 사이클로이드 곡선이라고 한다. 원호와 비슷한 둥그런 곡선이다.
매력적인 둥근 곡선, 사이클로이드에는 어떤 수학적 특징이 숨어 있을까? 사이클로이드 곡선은 오래 전부터 많은 수학자와 과학자들의 관심사였다. 파스칼과 갈릴레이, 하위헌스, 베르누이같은 사람들이 사이클로이드 곡선의 성질을 연구했다.
이 중 하위헌스는 진자가 사이클로이드 곡선으로 움직인다는 사실을 밝혔다. 또 베르누이는 가장 빨리 내려가는 곡선 문제를 제기하기도 했다. 이 곡선이 사이클로이드 곡선이라는 것을 알게된 수학자는 사이클로이드 곡선의 매력에 빠져 사이클로이드를 ‘기하학의 헬렌’이라고 불렀다. 헬렌은 트로이 전쟁의 원인이 될 정도로 예뻤던 왕비다.
만약 원 안쪽의 한 점이거나 원 밖의 한 점이 움직이는 곡선을 그린다면 어떤 모양일까? 원 안쪽과 바깥쪽의 한 점이 움직이며 그려지는 곡선은 트로코이드 곡선이라고 부른다. 사이클로이드와 모양이 조금 다른 곡선이 그려진다.
원 안쪽의 점이 그리는 곡선은 사이클로이드 곡선보다 완만한 곡선이 된다. 반면 원 바깥의 한점이 그리는 트로코이드 곡선은 사이클로이드 곡선보다 위아래 움직임이 큰 모양이다.
아하! 생각이 쑥쑥! 직선보다 빠른 사이클로이드
놀이터의 미끄럼틀 중에는 곡선 모양이 직선 모양보다 더 스릴이 있다. 직선은 각 점에서 순간속력이 일정하지만 곡선은 순간속력이 각 지점에서 달라지기 때문이다.
또 사이클로이드 곡선은 두 지점 사이를 가장 빨리 움직일 수 있는 곡선이다. 두 점을 잇는 직선 위를 지날 때보다 더 빠르다. 곡선은 직선보다 길이가 더 길다. 그런데 어떻게 이런 일이 가능할까?
사이클로이드 곡선이 시작되는 곳은 직선보다 기울기가 가파르다. 따라서 가파른 곳에서 속력이 빨라지면서 직선에서 내려올 때보다 빨리 도착할 수 있다. 놀이공원의 롤러코스터, 스케이트 보드의 경기장, 수영장의 미끄럼틀은 사이클로이드 곡선의 이와 같은 성질을 이용한 예다.
사이클로이드 곡선은 우리 주변에서 쉽게 찾을 수 있다. 고풍스러운 한옥집의 기와는 사이클로이드 모양과 비슷하다. 또 잉어의 비늘에 있는 둥근 곡선도 사이클로이드 곡선과 닮았다. 사이클로이드 곡선 모양으로 기와를 만들면 기와에 빗물이 고이지 않고 빨리 떨어진다는 장점이 있다. 마찬가지로 잉어의 비늘도 사이클로이드 곡선 모양이기 때문에 물이 비늘에 맺히지 않고 빨리 떨어져 물의 저항을 줄일 수 있다. 주위를 잘 살펴보자. 숨어 있는 사이클로이드 곡선을 찾을 수 있을 것이다.
◎미션◎
생활 속에서 사이클로이드 곡선을 찾아 재미있는 이야기를 만들어 보세요.
신나는 토요일 밤, 저녁을 먹고 아빠와 함께 집 근처 공원에서 자전거를 탔어요. 아빠가 자전거 바퀴 가장자리에 빛을 내는 발광다이오드를 붙이셨어요. 그리고 멋지게 자전거를 타는 모습을 보여 주셨지요. 그런데 아빠의 자전거 바퀴에 신기한 모양의 곡선이 화려하게 빛났어요. 어떤 곡선이었을까요? 맞아요! 바로 사이클로이드 곡선이랍니다.
