“박사님, 지구와 태양은 지금도 서로 당기고 있겠죠?”
“그렇지. 우주의 모든 물체는 항상 서로 당기고 있단다. 지구가 어떤 모양으로 움직이는지 알고 있느냐?”
“음…. 둥근 태양 주위를 돌고 있으니 당연히 원 모양으로 돌겠죠. 아닌가요?
“케플러는 타원의 한 초점에 태양이 있고 지구가 그 주위를 타원 모양으로 돈다는 사실을 알아 냈단다.”
“타, 타원의 초점이요?”
“말 나온 김에 오늘은 타원에 대해 알아볼까? 허허.”
원뿔에서 생겨난 곡선, 타원
원뿔을 여러 각도로 자르면 원과 포물선, 타원, 쌍곡선이 생긴다. 이런 이유로 이 곡선을 ‘원뿔에서 생겨난 곡선’ 또는 줄여서 ‘원뿔 곡선’이라고 부른다. 원뿔 곡선의 어원은 고대 그리스의 수학자 아폴로니우스의 저서 ‘원뿔 곡선론’에서 찾아볼 수 있다. 아폴로니우스는 원뿔을 여러 각도로 자른 면과 원뿔의 밑면이 이루는 각이 모선*과 밑면이 이루는 각보다 작은가, 같은가, 큰가에 따라서 ellipse(타원), parabola(포물선), hyperbola(쌍곡선)라고 불렀다. 그리스어로 ellipse, parabola, hyperbola는 각각 ‘부족하다’ ‘같다’ ‘초과하다’라는 뜻이다. 원뿔의 밑면과 평행하게 자르면 원이 만들어진다.
원은 한 점에서 거리가 같은 점이 모여 만들어진 곡선이고, 타원은 평면 위에 두 정점으로부터 거리의 합이 일정한 점이 모여 만들어진 곡선이다. 타원의 두 정점을 초점이라 하고 타원 위의 두점을 이었을 때 가장 긴 선분을 장축, 가장 짧은 선분을 단축이라 한다. 장축은 두 초점을 지나고 단축은 장축과 수직이다.
두 정점으로부터 거리의 차가 일정한 점이 모여 만들어진 곡선은 쌍곡선이다. 포물선은 하나의 정점과 직선이 주어졌을 때, 정점까지의 거리와 직선까지의 거리가 같은 점들이 모여 만들어진 곡선이다.
아하! 실험1 하트 타원 만들기
준비물
하드보드지, 색상지, 색연필, 압정 2개, 실, 가위 , 테이프, 자
컴퍼스 없이 원을 그리려면 연필에 실을 묶고 실의 한끝을 고정한 뒤 팽팽하게 잡아당겨 가며 연필을 한 바퀴 돌리면 된다. 한 점으로부터 거리가 일정한 점이 모여 만들어진 원의 성질을 이용해 그린 것이다. 그렇다면 두 초점으로부터 거리의 합이 일정한 타원은 어떤 방법으로 그려야 할까? 지금부터 알아보자.
1. 하드보드지 위에 색상지를 올려놓고 임의의 두 점에 압정을 꽂는다. 2개의 압정이 타원의 초점이다.
2. 압정에 실을 묶어 서로 연결한다. 이때 실을 느슨하게 연결한다.
3. 실에 색연필을 걸어 팽팽하게 유지하며 타원을 그린다.
4. 고정시켰던 압정을 빼고 자를 이용해 초점 사이에 중점을 표시한다. 이 점이 타원의 중심이다.
5. 타원의 중심을 지나는 임의의 선분을 그린 뒤 선을 따라 가위로 오린다.
6. 타원의 중심을 지나는 임의의 선분을 그린 뒤 선을 따라 가위로 오린다.
7. 타원을 그렸을 때, 뚱뚱한 모양이면 뚱뚱한 하트가 만들어진다. 납작한 타원을 그려야 예쁜 하트를 만들 수 있다.
8. 타원의 중심을 지나는 선분의 길이가 짧을수록 뚱뚱한 하트, 선분의 길이가 길수록 날씬한 하트가 만들어진다.
아하! 실험2 종이컵으로 만드는 원뿔 곡선
준비물
종이컵, 가위
종이컵은 원뿔을 잘라 만든 원뿔대를 활용한 생활용품이다. 실생활에서 쉽게 구할 수 있는 종이컵에서 원뿔 곡선을 찾아보자.
1. 종이컵의 밑면과 평행하게 종이컵 둘레를 오리면 원을 관찰할 수 있다.
2. 종이컵의 밑면과 비스듬하게 종이컵 둘레를 오리면 타원을 관찰할 수 있다.
3. 종이컵의 모선과 평행하게 반 타원 모양으로 오리면 포물선을 관찰할 수 있다.
4. 종이컵의 밑면과 수직이 되도록 반 타원모양으로 종이컵 2개를 오린다. 밑면이 서로 맞닿게 종이컵을 붙이면 쌍곡선을 관찰할 수 있다.
5. 원뿔 곡선 가족사진!
아하! 생각이 쑥쑥! 타원의 활약
타원과 직선이 한 점에서 만나면 이 점을 접점이라고 한다. 접점을 C, 직선을 ℓ이라고 할 때 타원의 두 초점 A와 B, 점 C를 연결하면 선분 AC와 직선 ℓ이 이루는 각과 선분 BC와 직선 ℓ이 이루는 각이 같다. 이 성질을 이용해 과학자들은 환자의 몸 안에 생긴 혹을 제거하는 장치를 만들었다. 타원의 한 초점에 충격파 발사기가, 다른 초점에 치료할 부위가 오도록 반사경으로 둘러싸여 있는 타원 공간에 환자를 눕힌다. 발사기에서 반사경을 향해 충격파를 발사하면 충격파가 반사돼 치료부위에 들어가 혹을 제거한다. 이외에도 점화장치, 전파 탐지, 음악실 음향효과가 타원의 성질을 이용한 예다.
타원의 성질을 이용해 미니 당구 게임도 즐길 수 있다. 아하! 실험1의 방법을 이용해 우드락에 타원을 그린 뒤 타원을 칼로 오려 낸다. 타원의 두 초점에 탁구공이나 스트로폼 공을 올려놓는다. 한쪽 공을 회전을 주지 않고 당구공을 치는 막대인 큐로 치면 공이 타원면에 부딪혀 다른 공에 맞게 된다. 이 원리를 이용해 당구 게임을 즐겨 보자.
◎미션◎
타원을 소재로 재미있는 수학 이야기를 만들어 보세요.
영국 런던의 세인트 폴 대성당은 ‘속삭이는 화랑’이라는 별명을 가지고 있다. 그 이유는 복도의 한 장소에서 작은 소리로 속삭이면, 조금 떨어진 곳에서는 아무 소리도 들지 않는데 건너편 복도에선 소리가 잘 들리기 때문이다. 이 성당의 비밀은 타원의 수학적 성질에 있다. 세인트 폴 대성당의 천장은 타원 모양으로 설계돼 있어 타원의 한 초점에서 소리를 내면, 음파가 천장에 반사돼 다른 초점에 소리가 모이게 된다. 즉 한 초점에서 작게 속삭여도 다른 초점에 서 있는 사람은 잘 들을 수 있다.
*모선 : 원뿔의 꼭짓점과 밑면의 원 둘레의 한 점을 이은 선.
