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‘원’맛 통조림이 나왔어요. 뚜껑만 따면 바로 먹을 수 있게 원의 역사와 원을 그리는 법, 원의 넓이를 구하는 법 등을 π 소스와 함께 맛있게 가공했습니다. 원맛 통조림 하나면 수학 실력이 쑥쑥 올라간다고 하니 지금 바로 통조림을 따 볼까요?


원은 초등학교 1학년 과정에서 처음 배웁니다. 여러 가지 물건에서 원을 찾는 활동을 합니다. 2학년이 되면 원을 정의하고 그리는 방법을 학습합니다. 3학년 때는 원의 중심, 반지름, 지름 등과 같은 원과 관련된 수학용어를 공부합니다. 6학년 때는 원의 둘레와 넓이에 대해 배웁니다. 중학교 1학년이 되면 부채꼴의 중심각과 호의 관계, 부채꼴의 넓이, 호의 길이, 원과 직선의 위치 관계, 두 원의 위치 관계에 대해 학습합니다. 3학년 과정에서는 접선과 원주각, 원과 비례에 대해 공부합니다. 고등학교 1학년이 되면 원의 방정식을 배웁니다.


원, 너는 어떻게 만들어졌니?

“원은 어떻게 생겼나요? 원은 무엇인가요?”라고 초등학교 1학년 학생에게 물었습니다.
“동그라미처럼 생겼어요. 동그래요!”
중학교 3학년 학생에게 물었습니다.
“원은 평면 위의 어떤 점에서 거리가 일정한 점들의 집합으로 정의되는 평면도형이에요.”

초등학교 때는 도형 영역에서 원을 만납니다. 중학교 때는 기하 영역에서 만나지요. 도형은 물체의 모양과 크기를 대상으로 하지만 기하는 물체의 성질과 물체와 공간 사이의 관계까지 연구합니다.

우리가 처음으로 알게 되는 원의 모습은 동그라미입니다. 동그란 식탁, 동그란 얼굴, 동그란 피자. 초등학교 1학년 과정에서 동그라미 모양의 물체가 원이라는 것을 알게 됩니다. 그리고 중학교에서는 원의 정의에 대해 배웁니다.

자~. 그러면 이제부터 원의 성질이 다른 도형과 어떠한 관계가 있는지 알아봐요.


만남1 원을 어떻게 그리나요?
 

초등학교 1학년 때는 우리 주변 사물에서 동그란 모양을 찾아보고 그 모양을 원이라고 인식합니다. 2학년이 되면 원의 정의를 알고 동그란 모양의 본을 떠서 원을 그립니다. 3학년이 되면 원의 중심, 반지름, 지름과 그 사이의 관계를 이해합니다. 처음 만나는 원의 중심은 ‘원을 그릴 때 누른 못이 꽂혔던 점’이라는 눈에 보이는 대상으로부터 학습합니다. 컴퍼스를 이용해 여러 가지 원을 그리고 그 과정에서 지름과 반지름의 성질을 알게 됩니다. 세상의 모든 원은 지름이 있으며, 한 원에서 지름은 모두 같다는 것을 배웁니다.


만남2 원은 어떻게 측정하나요?
 

원의 성질을 이해하면 학생들은 궁금증이 생깁니다. 원의 둘레와 원의 넓이는 어떻게 구하는지를 말입니다. 초등학교 6학년 때는 원의 둘레인 원주를 배웁니다.  원주와 지름의 길이의 비가 일정하며 이 비율이 원주율이라는 사실도 배웁니다. 그 관계를 이용해 원의 넓이와 원주 공식을 배웁니다. 또 사각형의 넓이를 이용해 원의 넓이를 구합니다.


만남3 각으로도 원을 측정하나요?
 

 원의 두 반지름과 호로 구성된 도형을 부채꼴이라고 합니다. 중학교 1학년 때는 한 원에서 중심각의 크기가 같은 두 부채꼴의 호의 길이와 넓이가 같다는 것을 배웁니다. 그리고 한 원에서 부채꼴은 중심각의 크기가 2배, 3배, 4배…가 되면 호의 길이와 넓이도 2배, 3배, 4배…가 된다는 것을 배웁니다. 부채꼴의 중심각이 360°면 원이 된다는 것도 이해하게 되지요.


만남4 원의 성질은 무엇인가요?
 

원과 현, 직선, 원주각에 대한 학습내용을 바탕으로 원에 내접하는 사각형에서 그 내용을 활용합니다. 다음에 제시된 교과서는 원주각의 크기가 중심각의 절반이라는 것과 같은 길이의 호에 대한 원주각의 크기는 서로 같음을 알아보는 탐구 활동입니다.
 

왜 원을 알아야 하지?

컴퍼스를 이용해 완벽한 원을 그릴 수 있을까요? 컴퍼스의 폭이나 연필 또는 볼펜의 굵기는 일정하다고 볼 수 없습니다. 따라서 컴퍼스로 그린 ‘원’의 반지름에는 오차가 있습니다. 컴퓨터로 그린 원도 완벽하지 않습니다. 결국 완벽한 원은 오직 우리들의 상상 속에 존재한다고 볼 수 있지요. 그렇다면 완벽하지 않은 원을 우리는 왜 공부해야 할까요? 지금부터 그 이유에 대해 알아봐요.


이유1 수학으로 생각하는 능력이 생겨요

초등학교 1, 2학년 학생들은 원을 구별하기 위해 동그란 모양을 찾습니다. 정확히 원이 아니더라도 단지 동그란 모양이기 때문에 원이라고 생각합니다. 하지만 이런 활동이 시작이 돼 원에 관심을 갖게 되고 학생들은 실제로 원을 그리게 됩니다. 나아가 다른 도형과 어떻게 같고 다른지, 원을 그리는 데 필요한 요소가 무엇인지 알게 됩니다. 즉 처음에는 여러 가지 모양 속에서 원이라는 모양을 찾는 것으로 시작하지만 원을 그릴 수 있게 되고 그 성질까지 알게 됩니다.

예를 들면 삼각형은 변의 개수가 3개, 꼭짓점의 개수가 3개입니다. 그러면 ‘원의 꼭짓점과 변의 개수는 몇 개일까요?’, ‘대칭축은 몇 개일까요?’와 같은 질문에 답을 하면서 원의 성질을 알게 됩니다. 원은무수히 많은 대칭축이 있으며, 변과 꼭짓점이 없습니다.
 

직접 원을 그리고 오리면서 원과 친해지면 더욱 정확한 원을 그리기 위해서 원의 둘레나 넓이를 알아야 한다는 것을 알게 됩니다.

이런 활동은 우리 주변에 있는 사물을 수학으로 생각해 사물의 성질과 왜 그런 모양으로 만들어졌는지 알아 내는 과정입니다. 이를 통해 학생들은 수학 능력뿐 아니라 수학으로 생각하는 능력도 갖추게 됩니다.


이유2 추리 능력이 생겨요

정삼각형, 정사각형, 정오각형…. 변의 수가 많으면 많을수록 정다각형은 어떤 도형에 가까워질까요? 한 번 그려 보세요. 정십이각형까지 그려 보면 변의 수가 많아질수록 원에 가까워진다는 것을 알 수 있습니다.

이처럼 우리는 직접 원을 그리고 만들면서 추론을 통해 어떤 규칙을 발견할 수 있습니다. 우리는 수학을 공부하면서 바로 이런 능력을 키웁니다.

초등학교 6학년 과정에서는 원주율 3.14159…를 반올림해 3.14로 사용합니다.

하지만 중학교 과정에서는 근삿값으로 계산했던 원주율을 순환하지 않는 무한소수로 배웁니다. 이처럼 기하에서 배운 원주율을 수와 연산 영역의 무리수로 개념을 확장하면서 사고력을 키우게 됩니다.


교과서에 숨은 의미와 그림자 찾기!

여러분은 수학 수업을 들을 때 옆에 있는 교과서를 어떻게 활용하나요? 내용을 읽고 제시된 문제를 해결하고는 그대로 덮진 않나요? 한 번 더 생각하고 다양한 방법으로 문제를 풀어 사고력을 키워 보세요!


초등학교 수학 교과서 2-1 49쪽
 

초등학교 2학년은 여러 가지 모양에서 원을 찾을 수 있습니다. 이 단원에선 원뿐만 아니라 삼각형, 사각형과 함께 학습하면서 꼭짓점과 변의 수에 대해 학습합니다. 원은 평면도형입니다. 본 교과서 내용에서도‘나’를 찾아보는 활동으로 도형 이름을 맞추기를 합니다. 이 과정에서 원은 왜 삼각형이 될 수 없는지, 사각형이 원이 되기 위해서는 어떻게 해야 하는지 등을 생각해 보면 각각의 도형의 성질에 대해 정확히 알 수 있습니다.

초등학교 수학 두산동아 참고서 6-나 72쪽
 

▼ 확대 [원의 넓이 구하는 방법 알아보기]

중학교 9-나 디딤돌 수학 교과서 68쪽
 

중학교 3학년이 되면 컴퍼스를 이용해 원과 현을 수직이등분하는 직선을 작도합니다. 그리고 그 성질을 기호로 나타내고 원의 접선에 대해 공부합니다. 제시된 교과서 내용과 같이 원 O의 외부에 있는 한 점 P를 지나는 원 O의 접선을 작도합니다. 학생들은 작도하기 전에 점 P를 지나는 원 O의 접선을 추측해 보고 그러한 접선을 작도하기 위해 어떠한 과정이 필요한지를 먼저 추측한 뒤 작도하면, 원과 직선의 관계에 대해 좀 더 쉽게 공부할 수 있습니다.


역사, 그리고 실생활 속 원

집에서 학교까지의 거리가 얼마나 되냐고 물으면 누구나 200m 또는 300m, 400m 등과 같이 자연수로 나타냅니다. 하지만 어떤 측정에서 π의 배수로 나왔다면 원의둘레와 관련이 있다는 사실을 알게 됩니다. 최초의 건축가는 연장과 재료를 싣기 위해 바퀴 달린 수레를 타고 다녔을 거라고 추측합니다. 그렇다면 거리의 개념은 바퀴의 둘레와 관련 있지 않을까요?

집 울타리를 세울 때 그 길이를 재료와 연장을 싣은 수레를 끌고 다니면서 바퀴가 몇 번 회전한 수라고 표현했습니다. 만약 바퀴의 지름을 1m라고 한다면 4회전은 4πm, 약 12.56m입니다. 즉 울타리의 말뚝을 4회전마다 세운다면 말뚝의 간격은 약 12.56m입니다. 고대 건축가들은 π 값을 사원이나 무덤, 피라미드의 길이에 적용했다고 합니다. 그 이유는 직선거리를 재는 가장 쉬운 방법 중의 하나가 바퀴를 굴려 그 회전수를 세는 것이기 때문입니다. 즉 원주율 π는 거리와 관련이 있는 것이지요.
 

운반 도구로 이용

옛날 사람은 무엇으로 무거운 짐을 운반했을까요? 그들은 무거운 짐을 운반하는 데 굴림대를 사용하면 쉬울 거라고 생각했습니다. 이때 굴림대의 모양이 정삼각형보다는 정오각형, 정오각형보다는 정십이각형이면 구르는 데 힘이 덜 들 것입니다. 만약 굴림대가 없었다면 고대 건축물인 피라미드나 사원, 거대한 석상 등의 건설은 불가능했을지도 모릅니다.

굴림대의 원리는 간단합니다. 지름이 같은 나무봉을 땅바닥에 두고 그 위에 무거운 짐을 올리고 밀면 쉽게 굴러가는 것을 경험할 수 있습니다. 이처럼역사적으로 원은 거리를 재고 무거운 짐을 운반하는 도구로 쓰였습니다.

원의 역할은 수평으로 무거운 물건을 운반할 뿐만 아니라, 수직으로 들어 올리는 데도 있습니다. 바로 도르래입니다. 도르래는 움직이는 밧줄이 굴림대의 원주와 닿으면서 회전하는 도구입니다. 도르래는 아주 무거운 물건을 수직으로 쉽게 들어 올립니다.


현대에서 원의 역할
원의 역할은 현대까지 이어지고 있습니다. 베어링은 회전하고 있는 기계의 축을 일정한 위치에 고정하고 축의 무게와 축에 작용하는 힘을 지지하면서 축을 회전시키는 역할을 합니다. 중세시대에는 베어링을 거대한 풍차에 이용했는데, 강풍이 몰아치면 목재 베어링은 마찰 때문에 불타서 풍차마저도 완전히 타버리고 말았습니다. 18세기 말에 이르러 산업혁명이 일어나고 무거운 짐을 운반할 수 있을 만큼 충분히 둥근 축과 쇠로 된 베어링이 개발되었습니다. 여기서 중요한 사실은 최대한 원에 가까운 베어링일수록 오래 쓸 수 있다는 점입니다. 원에 가까워질수록 지름에 대한 원주의 비율은 점점 더 π에 가까워집니다. 과거 수많은 수학자가 π 값을 구하기 위해 많은시간을 투자했습니다. 현재는 슈퍼컴퓨터를 이용해 π 값을 더 정확히 구하기 위해 노력하고 있습니다.