6월이 기다려지는 이유는 4년을 손꼽아 기다렸던 월드컵이 열리기 때문이야. 4년마다 6월이 되면 전국 곳곳은 붉은 물결로 물들고 승리의 함성으로 가득차지. 아르키매스 박사님도 6월이 오기만을 애타게 기다리셨어. 축구공에 숨어 있는 수학을 수학동아 친구들에게 알려주기 위해 5월 내내 축구공을 연구하셨거든. 축구공에는 어떤 수학이 숨어있는지 지금부터 알아보자.
깎은 정이십면체는 축구공을 닮았다!
정삼각형 20개를 이리저리 움직여 입체도형을 만들면 정이십면체가 만들어진다. 정이십면체의 꼭짓점을 구하기 위해 정삼각형 20개의 꼭짓점의 개수를 알아보면 20 X 3 = 60개다. 한 꼭짓점에 정삼각형 다섯 개가 모여 한 점이 되므로 정이면체의 꼭짓점의 개수는 60 ÷ 5 = 12개다. 따라서 정이십면체는 꼭짓점이 12개, 면이 20개인 입체도형이다.
정이십면체의 각 모서리를 삼등분하여 연결하면 각 면은 정육각형 1개와 정삼각형 3개로 구성된다. 이때 생긴 정삼각형을 모두 제거하면 12개의 꼭짓점에는 정오각형이 생기고 나머지 면은 정육각형이 된다. 즉 12개의 정오각형과 20개의 정육각형으로 이루어진 32면체가 만들어진다.
32면체는 1509년 레오나르도 다 빈치가 이탈리아의 수학자 루카 파치올리가 쓴 ‘신성한 비례’에 그린 그림에서 찾아볼 수 있다. 수학에선 32면체를 깎은 정이십면체라고 부른다. 깎은 정이십면체는 텔스타 축구공 모양과 닮았다. 텔스타 축구공은 1970년 멕시코 월드컵과 1974년 서독 월드컵의 공인구로 사용됐다. 1970년부터 공인구 제도가 도입됐는데 최초의 공인구가 텔스타다.
아하! 실험1 여섯 개의 띠로 만든 축구공
준비물
색지, 자, 가위, 풀, 클립
세팍타크로는 ‘발로 차다’를 뜻하는 sepak(세팍)과 ‘공’을 뜻하는 takraw(타크로)가 합쳐진 단어다. 손을 사용하지 않고 발로 공을 차서 네트를 넘기는 경기다. 세팍타크로 공은 어떤 구조를 가지고 있을까? 여러 줄이 엇갈려 별 모양을 이루고 있어 전체 모습은 축구공과 닮았다.
1. 가로의 길이가 1.5cm, 세로의 길이가 30cm인 띠를 6개 만든다.
2. 띠 두 개를 X자 모양으로 겹쳐 놓은 뒤 다른 하나의 띠를 앞의 두 띠와 위아래 를 엇갈려 놓는다.
3. 먼저 놓은 띠와 평행하게, X자 모양으로 놓은 띠와 위아래를 엇갈려 놓는다. 마지막으로 모든 띠와 위아래가 엇갈리게 수직방향으로 띠를 놓는다.
4. 띠를 적절히 조정하여 별 모양을 만든 뒤 움직이지 않도록 클립을 끼워 고정한다.
5. 남은 띠로 고리를 만든다.
6. 서로 엇갈려 있는 5쌍의 띠 중 바깥쪽에 있는 띠 각각을 고리 안쪽에 넣는다.
7. 3개의 띠가 서로 엇갈리게 띠의 양끝을 붙인다. 다시 말해 띠끼리 위아래를 서로 엇갈려 붙인다. 맞게 붙였다면 별모양이 나타난다.
8. 띠를 모두 연결하고 클립을 빼면 세팍타크로 공 완성!
아하! 실험2 축구공과 닮은 깎은 정이십면체
준비물
깎은 정이십면체 전개도, 가위, 풀 또는 테이프
축구공을 깎은 정이십면체로 만든 이유는 아무리 발로 차도 찌그러지지 않고 단단하게 유지하기 위해서다. 깎은 정이십면체에 바람을 불어 넣으면 모양 또한 구에 가까워진다.
1. 수학동아 홈페이지 공지사항 게시판에서 전개도를 다운받는다.
2. 선을 따라 종이를 오린 후 접는 선에 맞춰 접는다.
3. 전개도에 써진 번호에 맞게 풀이나 테이프를 이용해 붙인다.
4. 전개도를 모두 연결하면 축구공 모양의 깎은 정이십면체 완성!
5. 깎은 정이십면체 전개도에서 정오각형 부분을 검정색 색지로 붙이면 그럴싸한 축구공이 만들어진다.
아하! 생각이 쑥쑥! 깎은 정 이십면체의 활약상
축구공 모양의 깎은 정이십면체에서 꼭짓점, 모서리, 면의 개수를 각각 v, e, f 라 하자. 그러면 v+f=e+2가 성립한다. 정오각형은 꼭짓점이 5개, 모서리가 5개, 면이 1개다. 정육각형은 꼭짓점이 6개, 모서리가 6개, 면이 1개다. 깎은 정이십면체에선 서로 다른 모서리와 모서리가 만나 하나의 모서리를 이루고 세 개의 꼭짓점이 만나 한 꼭짓점을 이룬다. 따라서 정오각형 12개와 정육각형 20개로 이루어진 깎은 정이십면체의 v, e, f 값을 구하면 다음과 같다.
v={5×12+6×20}÷3=60
e={5×12+6×20}÷2=90
f=32
따라서 깎은 정이십면체는 등식 v+f=e+2가 성립한다.
깎은 정이십면체는 화학, 생물 등 과학의 곳곳에서 활약하고 있다. 화학자 컬, 크로토, 스몰리는 헬륨 기체통에서 흑연을 고온으로 가열하여 풀러렌(탄소 60개로 이루어진 분자)이라는 탄소동소체를 발견하여 노벨화학상을 받았다. 풀러렌 구조는 정오각형과 정육각형으로 이루어진 깎은 정이십면체 구조와 같다.
사람의 뇌에는 뉴런이라는 신경세포가 있다. 뉴런의 수상돌기 끝에는 클라스린이란 물질이 있는데 이 구조 역시 축구공의 구조와 닮았다. 우리 주변에 축구공 모양의 다면체가 있는지 찾아보자. 상상도 하지 못한 곳에서 수학적 구조물을 발견하면 즐거움이 배가 될 것이다.
◎미션◎
두 가지 실험 중 하나를 골라 재미있는 수학 이야기를 만들어 보세요.
예문 : 귀염둥이 막냇동생 슛돌이가 단단한 축구공을 가지고 놀다 그만 온몸이 멍투성이가 됐어요. 다섯 살인 슛돌이가 가지고 놀기엔 축구공도 위험한 물건이었죠. 하지만 축구공의 매력에 빠진 슛돌이는 종일 축구공 놀이만 하기를 원했어요. 방법이 없을까 고민한 끝에 천으로 정
육각형 20개, 정오각형 12개를 만들었어요. 바느질로 천을 이어 깎은 정이십면체를 만들고 이 안에 솜을 넣어 축구공을 만들었죠. 이제 슛돌이가 다치는 일은 없겠죠?
