TV에서 커플을 맺어 주는 프로그램을 본 적 있나요? 이 프로그램에는 원칙이 있어요. 마음에 드는 상대가 많아도 한 사람만 선택해야 하죠. 그런데 모든 출연자가 커플이 되지는 않는답니다. 마음에 드는 사람이 다른 사람과 커플이 되면 어쩔 수 없이 커플 맺기를 포기해야 하거든요. 하지만 오늘 배울 함수는 능력있는 커플매니저랍니다. 커플이 되고 싶어하는 모든 사람에게 상대를 찾아 준다고요. 여자친구나 남자친구가 필요한가요? 함수 커플매니저에게 도움을 청해 보세요.
함수의 기본은 대응
사랑 : 선생님~, 커플매니저는 알겠는데 함수는 무슨 말인지 모르겠어요. 쉽게 설명해 주세요.
선생님 : 수학용어는 뜻을 알면 원리나 개념도 쉽게 이해할 수 있어요. 지금부터 선생님과 함께 ‘함수’에 대해 알아보도록 해요. 먼저 수를 몰랐던 우가우가 마을로 가볼게요.
우가우가 마을의 추장은 마을회의를 열 때마다 고민이 있었어요. 마을사람이 다 모였는지 확인하려니 너무 힘들었거든요. 이때 추장의 아들이 묘안을 냈어요. 사람이 다 모였을 때 각 사람마다 돌멩이를 하나씩 줬다가 다시 모아놨어요. 다음 회의 때에는 사람이 올 때마다 돌멩이를 하나씩 줬어요. 그러면 돌멩이가 남은 수만큼 사람이 안 온 걸 바로 알 수 있었어요.
믿음 : 정말 멋진 방법이네요. 사람 1명에 돌멩이 1개라니…. 재밌어요.
선생님 : 이렇게 사람 1명이 돌멩이 하나와 짝지어지는 것을 ‘대응’이라고 해요. 함수의 가장 기본적인 원리가 바로 ‘대응의 원리’랍니다.
소망 : 그럼 우리 주변에 이렇게 짝지어지는 관계는 모두 함수인가요?
선생님 : 어떻게 짝을 짓느냐에 따라 함수일 수도 있고 아닐 수도 있어요. 다음에는 함수가 되는 조건에 대해 살펴보기로 해요.
커플 맺기의 달인
기쁨 : 선생님, 아까 함수를 커플매니저라고 하셨잖아요. 사랑, 소망, 믿음 그리고 저, 이렇게 네 사람에게 멋진 남자친구를 짝지어 주세요.
선생님 : 그럼 함수 매니저에게 부탁해 볼까요? 먼저 남자친구 후보를 말해 보세요.
사랑 : 전 정용화요!
소망, 믿음 : 윤시윤! 조권!
기쁨 : 전 엠블랙 지오요!
선생님 : 하하, 꿈은 클수록 좋겠죠. 함수의 대응관계를 따지려면 2개의 집합이 필요해요. 우리 친구 4명을 X라는 집합으로 두고, 남자친구 후보는 또 다른 집합 Y로 둘게요. 두 집합 X, Y의 원소는 각각 무엇일까요?
사랑 : 집합 X의 원소는 사랑, 소망, 믿음, 기쁨 이렇게 4개예요.
소망 : 집합 Y에는 정용화, 윤시윤, 조권, 지오 이렇게 4개의 원소가 있어요.
선생님 : 잘 말해 줬어요. 이렇게 두 집합 X와 Y가 있을 때 X에서 Y로의 함수란, X의 원소 하나에 Y의 원소가 오직 하나 대응되는 것을 말해요. 특히 X의 각 원소가 Y의 각 원소와 모두 대응되는 것을 일대일대응이라고 해요.
그런데 이런 경우를 한번 생각해 볼까요? 만일 이 상황에 사랑, 소망, 믿음이는 모두 커플이 되고 기쁨이만 혼자 남는다면? 이 경우도 함수로 인정할 수 있을까요?
기쁨 : 안돼요. 그런 일이 있어서는 절대 안돼요! 저도 꼭 커플로 맺어 주셔야 해요!
선생님 : 하하, 맞아요. 함수 매니저는 100% 성공률을 자랑하는 커플매니저랍니다. 일단 신청한 사람이라면 한 명도 빠짐없이 짝을 찾아 줘야 해요. 한 사람이라도 빼놓는다면 더 이상 함수가 아니지요.
기쁨 : 휴우~, 다행이에요. 일대일대응은 정말 마음에 드는 함수의 조건이에요.
사랑 : 그런데 마음에 드는 사람이 두 명이라면, 유능한 커플매니저인 함수는 제 소원을 어떻게 들어줄까요? 저는 정용화와 지오 둘 다 놓치기 싫거든요.
선생님 : 과연 우리 사랑이의 소원이 가능할까요? 양다리는 나쁜 일이에요. 함수 커플매니저도 그건 허락하지 않아요. 혼자서 두 명을 택하는 건 함수가 아니거든요.
소망 : 이런 경우는 어떨까요? 저하고 사랑이가 동시에 한 사람을 좋아하는 거예요. 둘 다 조금도 양보하지 않는 상황이라면 어떻게 하나요? 둘 다 포기하게 하진 않겠죠? 일단 맺어 준 다음에 우리 둘이 알아서 결정하게 하면 좋을 것 같은데…. 이런 상황은 함수 매니저가 허락할까요?
선생님 : 그런 상황이 얼마든지 있을 수 있어요. 그렇다고 둘다 포기하게 한다면 유능한 커플매니저가 아니겠지요. 소망이 말처럼 이 상황에서 함수 매니저는 일단 두 사람 모두에게 기회를 줄 거예요. 두 사람을 한 명에게 대응시켜 주는 건 가능하거든요. 그 뒤에 두 사람이 어떤 결정을 하던 그건 두 사람의 문제일 테니까요.
사랑 : 선생님, 질문이 있어요. 집합 X에 원소가 남아 있으면 함수가 아니라고 했잖아요. 그런데 집합 Y에는 원소가 남아 있어도 함수가 되는 건 왜인가요?
선생님 : 두 집합 중 주인공은 집합 X랍니다. Y는 X의 마음에 따라 결정되는 거죠. 따라서 주인공인 집합 X에 짝짓기 대응이 되지 않고 남아 있는 원소가 있다면 그건 함수가 아니에요. 집합 X의 모든 원소에게는 기회를 공평하게 줘야 해요.
소망 : 함수 커플매니저는 정말 똑똑하고 공정하네요. 이제 함수가 되는 경우와 아닌 경우를 알 것 같아요.
사랑 : 하나! 모든 신청자에게 반드시 한 명씩 짝지어 준다. 공평배분의 원칙!
기쁨 : 둘! 한 사람의 신청자가 두 명을 택할 수는 없다. 양다리 금지의 원칙!
믿음 : 셋! 신청자 두 사람이 한 명을 택하는 것은 가능하다. 기회 균등의 원칙!
선생님 : 하하하, 우리 친구들이 함수의 기본 조건에 대해 완벽하게 이해했네요.
자동판매기도 함수다
선생님 : 커플 맺기의 달인인 함수는 때로 자동판매기에 비유되기도 한답니다.
사랑 : 누르는 버튼과 나오는 음료수 사이의 대응 관계 때문이죠?
선생님 : 사랑이가 오늘 함수 공부를 정말 열심히 했네요. 참 잘 말해 주었어요.
믿음 : 모든 버튼은 음료수와 연결돼 있고, 버튼 하나에 음료수가 두 개 나온다면 그건 고장난 자판기이니 함수라고 볼 수 없겠네요.
기쁨 : 커피자판기 중에 버튼 두 개가 모두 밀크커피인 경우가 있지만 고장은 아니니까 함수라고 볼 수 있어요.
선생님 : 선생님이 더 설명할 필요가 없겠군요. ‘ 모든 X의 값이 하나의 Y 값으로 대응되는 관계’로 정의하는 함수는 체감온도, 전화요금, 이자 계산법 등 생활 곳곳에서 유용하게 쓰이고 있어요. 오늘은 이처럼 대응 관계를 통한 함수를 살펴보았어요. 함수 커플 맺기 프로젝트 어땠나요?
일동 : 너무 마음에 들었어요! 함수의 조건도 쏙쏙 이해됐답니다. 좋아하는 연예인과 커플이 될 수 있다는 상상만으로도 즐거웠어요.
