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우리 주변에 널린 다양한 수치 자료에서 첫 자리에 가장 빈번하게 나타나는 수는 무엇일까. 얼핏 생각해보면 수치 자료에는 1부터 9가 11.1%씩 동등하게 분포하므로 첫 자리 수도 1부터 9가 같은 비율로 나타날 것 같다. 하지만 예상과 달리 1이 가장 빈번하게 나타나고, 2에서 9로 갈수록 그 빈도는 현저히 낮아진다.


나무는 현재 높이에서 가장 오래 머문다

미국의 천문학자 사이먼 뉴컴(1835~1909)은 1881년에 로그표가 담긴 책을 보면서 앞쪽 페이지가 뒤쪽 페이지보다 더 닳아 있다는 것을 발견했다. 이는 사람들이 로그표에서 1로 시작하는 값들을 더 자주 찾아봤음을 의미했다. 물리학자 프랭크 벤포드(1883~1948)는 뉴컴의 이런 발견을 1938년에 공식화했다. 벤포드는 강 335개의 넓이, 물리학 상수 104가지, 분자 중량 1800가지 등 20개 분야 자료들의 첫 자리 수 분포를 분석해 ‘벤포드의 법칙’을 내놓았다.


그렇다면 벤포드의 법칙은 왜 성립하는 것일까. 우리 주변의 자료 중에는 일정한 배율로 증가하는 것이 많다. 예를 들어, 일정한 배율로 자라는 나무의 현재 높이를 1이라고 해보자. 높이가 2로 2배가 될 때까지 걸리는 시간을 A라고 한다면, 높이가 2에서 3으로 1.5배가 될 때까지 걸리는 시간은 A보다 짧다. 마찬가지로 3에서 4로 1.33배 늘어나는 데 걸리는 시간은 더 짧다. 결과적으로 나무의 높이는 1에서 머무르는 시간이 길고, 2에서 9로 갈수록 머무는 시간이 짧아진다. 이를 표현한 것이 바로 벤포드의 법칙에 나타나는 상용로그 식이다.

벤포드의 법칙은 자연과학 법칙처럼 항상 성립하는 절대적 진리가 아니라, 상당한 자료에서 성립하는 경향성이다. 다음 그래프에서 확인할 수 있듯이 전 세계에 있는 마을을 높이 순서로 12만개를 선정해 고도를 조사하면 벤포드의 법칙에서 크게 벗어나지 않는다.