구독상품안내
최근 ‘통큰 치킨’이 이슈가 되며 신문에 ‘치킨 게임’이라는 단어가 자주 등장했다. 또 대기업들이 가격담합으로 부당 이득을 취한 데 대해 과징금을 물었다는 기사에는 ‘죄수의 딜레마’라는 단어가 쓰인다. 이 단어들은 모두 ‘게임 이론’에 등장하는 주요 용어들이다.
Q1 다음 제시문을 읽고 물음에 답하라.
(가) 게임 이론은 응용수학의 한 분야이며 자연과학과 공학 뿐 아니라 경제학을 비롯한 사회과학 분야와 정치학, 외교, 철학 등에도 적용되는 학문이다. 게임 이론에 대한 초기의 연구는 구성원들의 성과의 합이 0인 제로섬 게임으로 시작됐다. 가위 바위 보 게임에서 이긴 사람은 1점, 진 사람은 -1점, 비길 경우에는 0점을 얻는다고 생각하면 가능한 선택으로 발생한 결과를 다음과 같이 행렬로 표시할 수 있다.
이 행렬을 지불행렬(payoff matrix)이라고 부르며, 관례적으로 선택하는 사람의 관점에서 각 행을 분석한다. 나의 결과를 앞에, 상대방의 결과를 뒤에 쓰고 쉼표로 구분한다. 지불행렬에서 각 성분의 절대적인 크기는 중요하지 않으며 크기 순서에 의미가 있다. 나와 상대방의 입장에서 각자가 가장 선호하는 경우, 그 다음으로 선호하는 경우를 표현할 수 있고 그 순서가 뒤바뀌지 않는다면 같은 게임으로 볼 수 있다. 즉 앞의 지불행렬에서 1을 10, 0을 2, -1을 1로 바꾼다고 하면 제로섬 게임은 아니지만 각자가 선호하는 순서가 완전히 같으므로 같은 게임이다.
(나) 게임 이론은 점차 비제로섬 게임으로 그 분야를 확대했다. 죄수의 딜레마(prisoner’s dilemma)는 2명이 참가하는 비제로섬 게임의 일종이다. 죄수의 딜레마는 다음과 같은 상황을 말한다.
두 명의 사건 용의자가 체포됐다. 그 두 명은 이미 밝혀진 죄만으로도 각각 1년을 복역하게 된다. 두 명은 서로 다른 취조실에서 격리되어 심문을 받으므로 서로 의사소통할 수 없다. 수사진은 이 두 명이 더욱 큰 유사 범행에 연루돼 있다고 확신하고 있지만 증거를 확보하지 못하고 있다. 수사진은 이들에게 각각 다음과 같은 협상안을 제시한다.
1. 두 명의 용의자 중 아무도 죄를 자백하지 않는다면 두 명의 용의자는 각각 1년을 복역한다. 두 명의 용의자 중 하나가 죄를 자백하면 자백한 사람은 즉시 풀어주고 나머지 한 명은 10년을 복역한다.
2. 두 명 모두 죄를 자백하면 두 명의 용의자는 각각 5년을 복역한다.
3. 두 명의 용의자는 상대가 어떤 선택을 할지 미리 알지 못한다.
(다) 내시 균형(Nash equilibrium)은 게임 이론에서 경쟁자의 대응을 고려해 최선의 선택을 할 때 서로 자신의 선택을 바꾸지 않는 균형 상태를 말한다. 내시 균형이 반드시 최선의 결과인 것은 아니며 내시 균형은 게임에 따라 하나 이상일 수도 있다.
죄수의 딜레마에서 내시 균형을 찾아보자. 두 명의 죄수를 A, B라고 하고, 각 죄수의 최선의 선택을 생각해보자. 죄수 A의 처지에서 선택할 수 있는 것은 자백 또는 침묵이다. 죄수 B가 자백할 것으로 생각한다면 죄수 A는 침묵하는 것보다(10년 복역) 자백을 하는 것이(5년 복역) 유리하다. 죄수 B가 침묵할 것으로 생각한다고 하더라도 역시 침묵하는 것보다 (1년 복역) 자백하는 것이 유리하다. 따라서 죄수 A는 죄수 B가 어떤 선택을 하든지 자백을 선택한다. 이 상황은 죄수 B도 마찬가지이다. 따라서 죄수 A와 B는 모두 자백을 선택하며, 각각 5년씩 복역한다. 결과적으로 두 죄수는 함께 침묵하면 1년씩만 복역할 수 있음에도 불구하고 상대방의 결과는 고려하지 않고 자신의 이익만을 최대화할 경우, 둘다 5년씩 복역하는 결과를 얻는다.
1) [난이도 하] A, B 두 회사가 유전 개발 사업에 뛰어들었다. 유전의 개발 가치를 계산하기 위해 석유의 매장량을 측정했더니 모두 1억 2000만 달러의 가치가 있었다. 석유를 뽑아내기 위해 유공을 하나 뚫는 데는 1000만 달러가 소요된다. A, B 각 회사는 순이익을 최대화하기 위해 유공을 하나만 뚫을지, 두 개를 뚫을지를 놓고 고민하고 있다. 각각의 회사는 하나 또는 두 개의 유공을 뚫을 수 있는데 이 경우 두 회사가 얻는 석유의 양은 각 회사가 뚫은 유공의 수에 비례한다. 이 상황을 지불행렬로 나타내고 내시 균형을 찾으시오.
2) [난이도 상] 다음과 같은 게임을 생각하자. 200만 원씩의 현금을 가진 두 명의 참가자 A, B가 있다. 두 명이 차례대로 밀실에 들어가 그 곳에 있는 모금함에 자신이 가진 200만 원 전부 또는 100만 원을 기부하든가, 혹은 한 푼도 기부하지 않고 나온다. 사회자는 모금함에 들어있는 돈을 센 다음 그 액수의 절반의 돈을 자신의 지갑에서 꺼내 더하고, 그 돈을 두 명에게 똑같이 나눠준다. 예를 들어, A가 200만 원, B가 100만 원을 기부해 300만 원을 모금하면 사회자는 자신의 지갑에서 300만 원의 절반인 150만원을 꺼내서 더한 450만 원을 두 명에게 나눠준다. 따라서 A는 225만 원, B는 원래 갖고 있던 100만 원에 225만 원을 합쳐 325만 원을 갖는다. 이 게임의 지불행렬을 나타내고 내시 균형을 찾으시오.
3) [난이도 중] 치킨 게임에서는 두 명이 자동차를 몰고 정면으로 달린다. 이때 먼저 핸들을 꺾는 사람은 상대방에게 ‘치킨(겁쟁이)’이라고 불린다. 두 명이 동시에 피한다면 게임은 비긴 것이 되고, 누구도 양보하지 않으면 두 자동차가 충돌해 서로 크게 다치거나 목숨을 잃는 게임이다. 치킨 게임을 지불행렬을 써서 나타내는 방법을 설명하고, 이 게임의 내시 균형을 찾으시오.
Q1 다음 제시문을 읽고 물음에 답하라.
(가) 게임 이론은 응용수학의 한 분야이며 자연과학과 공학 뿐 아니라 경제학을 비롯한 사회과학 분야와 정치학, 외교, 철학 등에도 적용되는 학문이다. 게임 이론에 대한 초기의 연구는 구성원들의 성과의 합이 0인 제로섬 게임으로 시작됐다. 가위 바위 보 게임에서 이긴 사람은 1점, 진 사람은 -1점, 비길 경우에는 0점을 얻는다고 생각하면 가능한 선택으로 발생한 결과를 다음과 같이 행렬로 표시할 수 있다.
이 행렬을 지불행렬(payoff matrix)이라고 부르며, 관례적으로 선택하는 사람의 관점에서 각 행을 분석한다. 나의 결과를 앞에, 상대방의 결과를 뒤에 쓰고 쉼표로 구분한다. 지불행렬에서 각 성분의 절대적인 크기는 중요하지 않으며 크기 순서에 의미가 있다. 나와 상대방의 입장에서 각자가 가장 선호하는 경우, 그 다음으로 선호하는 경우를 표현할 수 있고 그 순서가 뒤바뀌지 않는다면 같은 게임으로 볼 수 있다. 즉 앞의 지불행렬에서 1을 10, 0을 2, -1을 1로 바꾼다고 하면 제로섬 게임은 아니지만 각자가 선호하는 순서가 완전히 같으므로 같은 게임이다.
(나) 게임 이론은 점차 비제로섬 게임으로 그 분야를 확대했다. 죄수의 딜레마(prisoner’s dilemma)는 2명이 참가하는 비제로섬 게임의 일종이다. 죄수의 딜레마는 다음과 같은 상황을 말한다.
두 명의 사건 용의자가 체포됐다. 그 두 명은 이미 밝혀진 죄만으로도 각각 1년을 복역하게 된다. 두 명은 서로 다른 취조실에서 격리되어 심문을 받으므로 서로 의사소통할 수 없다. 수사진은 이 두 명이 더욱 큰 유사 범행에 연루돼 있다고 확신하고 있지만 증거를 확보하지 못하고 있다. 수사진은 이들에게 각각 다음과 같은 협상안을 제시한다.
1. 두 명의 용의자 중 아무도 죄를 자백하지 않는다면 두 명의 용의자는 각각 1년을 복역한다. 두 명의 용의자 중 하나가 죄를 자백하면 자백한 사람은 즉시 풀어주고 나머지 한 명은 10년을 복역한다.
2. 두 명 모두 죄를 자백하면 두 명의 용의자는 각각 5년을 복역한다.
3. 두 명의 용의자는 상대가 어떤 선택을 할지 미리 알지 못한다.
(다) 내시 균형(Nash equilibrium)은 게임 이론에서 경쟁자의 대응을 고려해 최선의 선택을 할 때 서로 자신의 선택을 바꾸지 않는 균형 상태를 말한다. 내시 균형이 반드시 최선의 결과인 것은 아니며 내시 균형은 게임에 따라 하나 이상일 수도 있다.
죄수의 딜레마에서 내시 균형을 찾아보자. 두 명의 죄수를 A, B라고 하고, 각 죄수의 최선의 선택을 생각해보자. 죄수 A의 처지에서 선택할 수 있는 것은 자백 또는 침묵이다. 죄수 B가 자백할 것으로 생각한다면 죄수 A는 침묵하는 것보다(10년 복역) 자백을 하는 것이(5년 복역) 유리하다. 죄수 B가 침묵할 것으로 생각한다고 하더라도 역시 침묵하는 것보다 (1년 복역) 자백하는 것이 유리하다. 따라서 죄수 A는 죄수 B가 어떤 선택을 하든지 자백을 선택한다. 이 상황은 죄수 B도 마찬가지이다. 따라서 죄수 A와 B는 모두 자백을 선택하며, 각각 5년씩 복역한다. 결과적으로 두 죄수는 함께 침묵하면 1년씩만 복역할 수 있음에도 불구하고 상대방의 결과는 고려하지 않고 자신의 이익만을 최대화할 경우, 둘다 5년씩 복역하는 결과를 얻는다.
1) [난이도 하] A, B 두 회사가 유전 개발 사업에 뛰어들었다. 유전의 개발 가치를 계산하기 위해 석유의 매장량을 측정했더니 모두 1억 2000만 달러의 가치가 있었다. 석유를 뽑아내기 위해 유공을 하나 뚫는 데는 1000만 달러가 소요된다. A, B 각 회사는 순이익을 최대화하기 위해 유공을 하나만 뚫을지, 두 개를 뚫을지를 놓고 고민하고 있다. 각각의 회사는 하나 또는 두 개의 유공을 뚫을 수 있는데 이 경우 두 회사가 얻는 석유의 양은 각 회사가 뚫은 유공의 수에 비례한다. 이 상황을 지불행렬로 나타내고 내시 균형을 찾으시오.
2) [난이도 상] 다음과 같은 게임을 생각하자. 200만 원씩의 현금을 가진 두 명의 참가자 A, B가 있다. 두 명이 차례대로 밀실에 들어가 그 곳에 있는 모금함에 자신이 가진 200만 원 전부 또는 100만 원을 기부하든가, 혹은 한 푼도 기부하지 않고 나온다. 사회자는 모금함에 들어있는 돈을 센 다음 그 액수의 절반의 돈을 자신의 지갑에서 꺼내 더하고, 그 돈을 두 명에게 똑같이 나눠준다. 예를 들어, A가 200만 원, B가 100만 원을 기부해 300만 원을 모금하면 사회자는 자신의 지갑에서 300만 원의 절반인 150만원을 꺼내서 더한 450만 원을 두 명에게 나눠준다. 따라서 A는 225만 원, B는 원래 갖고 있던 100만 원에 225만 원을 합쳐 325만 원을 갖는다. 이 게임의 지불행렬을 나타내고 내시 균형을 찾으시오.
3) [난이도 중] 치킨 게임에서는 두 명이 자동차를 몰고 정면으로 달린다. 이때 먼저 핸들을 꺾는 사람은 상대방에게 ‘치킨(겁쟁이)’이라고 불린다. 두 명이 동시에 피한다면 게임은 비긴 것이 되고, 누구도 양보하지 않으면 두 자동차가 충돌해 서로 크게 다치거나 목숨을 잃는 게임이다. 치킨 게임을 지불행렬을 써서 나타내는 방법을 설명하고, 이 게임의 내시 균형을 찾으시오.
