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복소수는 a+bi와 같이 2개의 실수 a, b를 이용해 표현한다.
이를 좌표계와 연관 지어 2차원 평면위의 한 점으로 대응시킬 수 있다.
복소평면을 이용하면 기하문제를 더 쉽게 풀 수 있다.
다음 제시문을 읽고 물음에 답하라.
(가) 좌표계란 n차원 공간에서의 점의 위치를 기준이 되는 점 또는 직선과의 거리나 각도 등으로 나타내는 체계다. 어떤 집합의 각 원소에 수치를 대응시켜 나타내는 구조를 집합에서의 좌표계라 하며 각각에 대응하는 수치를 그 원소의 좌표라 한다. 특히 기하학에서는 기하학적 집합(n차원 공간상의 도형)의 원소와 n개의 숫자들로 이뤄진 순서쌍 사이의 일대일 대응을 좌표계라 일컫는다.
기하학적 집합이 주어졌을 때, 좌표축 같은 기초도형을 지정함으로써 좌표계를 도입하는 일이 많다. 예를 들어 평면상에서는 직교하는 두 직선을, 또 공간에서는 서로 직교하는 세 평면을 기초도형으로 한 직교좌표계를 도입한다. 한편 평면상에서 한 점 O에서 시작되는 하나의 반직선(예를 들어 xy좌표에서 x축)을 기준으로 하여 각 점의 좌표를 그 반직선으로부터의 각도와 점 O로부터의 거리로 표현할 수 있는데 이를 극좌표계라고 부른다. 이 때 O를 극, 반직선을 시초선이라 한다.
(나) 2차원 공간에서 점의 좌표는 2개의 실수를 이용해 나타낼 수 있다. 이 때 점의 좌표를 나타내는 방법은 2가지가 있는데, 직교좌표계를 이용하는 방법과 극좌표계를 이용하는 방법이다. 직교좌표계를 이용하는 방법은 원점 O를 시점으로 하고 서로 직교하는 두 단위 벡터 x와 y가 주어져 있을 때, OP=αx+βy이면 점 P의 좌표를 (α, β)로 표현한다. 극좌표계를 이용하는 방법은 일반적으로 x축을 시초선으로 해 점 P의 원점 O로 부터의 거리가 r이고 시초선에서부터 반시계방향으로의 각도가 θ일 때 점 P의 좌표를 (r, θ)로 나타낸다. 예를 들어 직교좌표계에서 (1, 3)은 극좌표계에서 (2, )이다.
(다) 복소수는 a+bi와 같이 2개의 실수 a, b를 이용해 표현한다. 이를 좌표계와 연관 지어 생각하면 복소수를 2차원 공간의 한 점으로 대응시킬 수 있다. 일반적으로 직교좌표계를 이용해 a+bi를 (a, b)에 대응시킨다. 이처럼 복소수와 대응시키는 2차원 평면을 복소평면이라 부른다.
복소수를 극좌표계를 이용해 복소평면에 대응시키는 경우 복소수 r(cosθ+isinθ)를 (r, θ)에 대응시킬 수 있다. 이 때, r은 복소수의 절대값, θ는 편각이라고 부르며 z=a+bi=r(cosθ+isinθ)라 할 때, r=│z│, θ=arg(z)와 같이 표현한다. 복소수를 절대값과 편각을 이용해 z=r(cosθ+isinθ)와 같이 나타내는 것을 복소수의 극형식이라고 부른다.
복소평면은 7차 교육과정으로 바뀌면서 고등학교 교육과정에서 빠졌기 때문에 지금은 배우지 않는 내용입니다. 하지만 복소수에 대해 알고 있으면 몇 가지 추가 지식만으로 문제를 풀 수 있기 때문에 중요한 내용입니다.
1-1)은 삼각함수의 덧셈정리를 이용하면 쉽게 풀 수 있는 문제입니다. 1-2)는 복소수의 극형식에서 가장 중요한 정리인 드무아브르의 정리 (De Moivre’s theorem)입니다. 1-1)의 결과에 수학적 귀납법을 이용하면 증명할 수 있습니다. 다만 n이 자연수가 아니라 정수이기 때문에 n이 음수인 경우에도 증명해야 합니다.
2-1)은 단순한 계산문제이고 2-2)는 2-1)과 1-2)의 결과를 이용하면 쉽게 계산할 수 있습니다. 동일한 복소수를 여러 번 곱하는 문제는 대부분 이 문제와 동일한 방법으로 풀어야 합니다. 2-3)은 2-2)를 역으로 하면 됩니다. 역시 1-2)를 이용합니다.
3-1)은 α=a1+b1i, β=a2+b2i , γ=a3+b3i로 놓고 대입해서 풀어도 되지만 계산이 복잡하고 시간이 오래 걸립니다. 문제의 조건을 약간만 변형하면 근과 계수의 관계를 사용할 수 있으므로 α, β, γ를 근으로 가지는 3차방정식을 만들면 2-3)과 비슷한 방법으로 삼각형의 모양을 알아낼 수 있습니다. 3-2)는 켤레의 성질을 이용해 풀어야 합니다. 에 관한 식을 세운 후 정리하면 α와 β사이의 관계를 알 수 있고 이것을 복소평면에서의 관계로 바꿀 수 있으면 됩니다.
4-1)은 얼핏 일반 기하문제로 생각할 수도 있지만 복소평면을 이용하지 않으면 해결하기가 힘든 문제입니다. 일반적으로 복소평면은 정n각형과 같이 원에 내접하는 도형을 다룰 때 유용합니다. 도형의 꼭지점을 r(cosθ+isinθ)과 같이 표현 할 때 r이 일정한 값을 갖기 때문입니다. 특히 반지름이 r인 원에 내접하는 정n각형의 꼭짓점들을 복소평면에서 표현하면 꼭짓점 중 하나가
(r, 0)이고 나머지는 r(cos +isin ), (k=1, 2, …, n-1)로 표현이 되기 때문에 zn=rn의 n개의 복소수해가 정n각형의 꼭짓점들이 됩니다.
이제 X1X2·X1X3· … ·X1Xn을 복소수로 표현하면 Xi에 대응되는 복소수를 xi라 할 때, xi가 zn=rn의 해가 되기 때문에 식을 간단히 정리할 수 있습니다.
4-2)도 4-1)과 비슷한 아이디어로 해결이 가능한 문제입니다. 점 A를 간단히 나타내기 위해서는 X1의 좌표를 (1, 0)으로 잡는 편이 좋습니다.
5)는 P의 좌표가 주어지지 않았기 때문에 P의 좌표를 미지수로 놓아야 합니다. 일반적으로 평행이동은 직교좌표계가 유리하고 회전이동은 극좌표계가 유리하기 때문에 여기서는 P를 복소수로 나타내고 극형식을 이용해 문제를 해결하는 것이 좋습니다(약간 복잡하지만 직교좌표계로도 해결 가능합니다). 이 때 복소평면의 한 점에 대응되는 복소수 z에 대하여 이 점을 θ만큼 회전시킨 점을 z'라 하면 |z'|=|z|이고 arg(z')=arg(z)+θ이므로 z'=z(cosθ+isinθ)가 됩니다.
이를 좌표계와 연관 지어 2차원 평면위의 한 점으로 대응시킬 수 있다.
복소평면을 이용하면 기하문제를 더 쉽게 풀 수 있다.
다음 제시문을 읽고 물음에 답하라.
(가) 좌표계란 n차원 공간에서의 점의 위치를 기준이 되는 점 또는 직선과의 거리나 각도 등으로 나타내는 체계다. 어떤 집합의 각 원소에 수치를 대응시켜 나타내는 구조를 집합에서의 좌표계라 하며 각각에 대응하는 수치를 그 원소의 좌표라 한다. 특히 기하학에서는 기하학적 집합(n차원 공간상의 도형)의 원소와 n개의 숫자들로 이뤄진 순서쌍 사이의 일대일 대응을 좌표계라 일컫는다.
기하학적 집합이 주어졌을 때, 좌표축 같은 기초도형을 지정함으로써 좌표계를 도입하는 일이 많다. 예를 들어 평면상에서는 직교하는 두 직선을, 또 공간에서는 서로 직교하는 세 평면을 기초도형으로 한 직교좌표계를 도입한다. 한편 평면상에서 한 점 O에서 시작되는 하나의 반직선(예를 들어 xy좌표에서 x축)을 기준으로 하여 각 점의 좌표를 그 반직선으로부터의 각도와 점 O로부터의 거리로 표현할 수 있는데 이를 극좌표계라고 부른다. 이 때 O를 극, 반직선을 시초선이라 한다.
(나) 2차원 공간에서 점의 좌표는 2개의 실수를 이용해 나타낼 수 있다. 이 때 점의 좌표를 나타내는 방법은 2가지가 있는데, 직교좌표계를 이용하는 방법과 극좌표계를 이용하는 방법이다. 직교좌표계를 이용하는 방법은 원점 O를 시점으로 하고 서로 직교하는 두 단위 벡터 x와 y가 주어져 있을 때, OP=αx+βy이면 점 P의 좌표를 (α, β)로 표현한다. 극좌표계를 이용하는 방법은 일반적으로 x축을 시초선으로 해 점 P의 원점 O로 부터의 거리가 r이고 시초선에서부터 반시계방향으로의 각도가 θ일 때 점 P의 좌표를 (r, θ)로 나타낸다. 예를 들어 직교좌표계에서 (1, 3)은 극좌표계에서 (2, )이다.
(다) 복소수는 a+bi와 같이 2개의 실수 a, b를 이용해 표현한다. 이를 좌표계와 연관 지어 생각하면 복소수를 2차원 공간의 한 점으로 대응시킬 수 있다. 일반적으로 직교좌표계를 이용해 a+bi를 (a, b)에 대응시킨다. 이처럼 복소수와 대응시키는 2차원 평면을 복소평면이라 부른다.
복소수를 극좌표계를 이용해 복소평면에 대응시키는 경우 복소수 r(cosθ+isinθ)를 (r, θ)에 대응시킬 수 있다. 이 때, r은 복소수의 절대값, θ는 편각이라고 부르며 z=a+bi=r(cosθ+isinθ)라 할 때, r=│z│, θ=arg(z)와 같이 표현한다. 복소수를 절대값과 편각을 이용해 z=r(cosθ+isinθ)와 같이 나타내는 것을 복소수의 극형식이라고 부른다.
복소평면은 7차 교육과정으로 바뀌면서 고등학교 교육과정에서 빠졌기 때문에 지금은 배우지 않는 내용입니다. 하지만 복소수에 대해 알고 있으면 몇 가지 추가 지식만으로 문제를 풀 수 있기 때문에 중요한 내용입니다.
1-1)은 삼각함수의 덧셈정리를 이용하면 쉽게 풀 수 있는 문제입니다. 1-2)는 복소수의 극형식에서 가장 중요한 정리인 드무아브르의 정리 (De Moivre’s theorem)입니다. 1-1)의 결과에 수학적 귀납법을 이용하면 증명할 수 있습니다. 다만 n이 자연수가 아니라 정수이기 때문에 n이 음수인 경우에도 증명해야 합니다.
2-1)은 단순한 계산문제이고 2-2)는 2-1)과 1-2)의 결과를 이용하면 쉽게 계산할 수 있습니다. 동일한 복소수를 여러 번 곱하는 문제는 대부분 이 문제와 동일한 방법으로 풀어야 합니다. 2-3)은 2-2)를 역으로 하면 됩니다. 역시 1-2)를 이용합니다.
3-1)은 α=a1+b1i, β=a2+b2i , γ=a3+b3i로 놓고 대입해서 풀어도 되지만 계산이 복잡하고 시간이 오래 걸립니다. 문제의 조건을 약간만 변형하면 근과 계수의 관계를 사용할 수 있으므로 α, β, γ를 근으로 가지는 3차방정식을 만들면 2-3)과 비슷한 방법으로 삼각형의 모양을 알아낼 수 있습니다. 3-2)는 켤레의 성질을 이용해 풀어야 합니다. 에 관한 식을 세운 후 정리하면 α와 β사이의 관계를 알 수 있고 이것을 복소평면에서의 관계로 바꿀 수 있으면 됩니다.
4-1)은 얼핏 일반 기하문제로 생각할 수도 있지만 복소평면을 이용하지 않으면 해결하기가 힘든 문제입니다. 일반적으로 복소평면은 정n각형과 같이 원에 내접하는 도형을 다룰 때 유용합니다. 도형의 꼭지점을 r(cosθ+isinθ)과 같이 표현 할 때 r이 일정한 값을 갖기 때문입니다. 특히 반지름이 r인 원에 내접하는 정n각형의 꼭짓점들을 복소평면에서 표현하면 꼭짓점 중 하나가
(r, 0)이고 나머지는 r(cos +isin ), (k=1, 2, …, n-1)로 표현이 되기 때문에 zn=rn의 n개의 복소수해가 정n각형의 꼭짓점들이 됩니다.
이제 X1X2·X1X3· … ·X1Xn을 복소수로 표현하면 Xi에 대응되는 복소수를 xi라 할 때, xi가 zn=rn의 해가 되기 때문에 식을 간단히 정리할 수 있습니다.
4-2)도 4-1)과 비슷한 아이디어로 해결이 가능한 문제입니다. 점 A를 간단히 나타내기 위해서는 X1의 좌표를 (1, 0)으로 잡는 편이 좋습니다.
5)는 P의 좌표가 주어지지 않았기 때문에 P의 좌표를 미지수로 놓아야 합니다. 일반적으로 평행이동은 직교좌표계가 유리하고 회전이동은 극좌표계가 유리하기 때문에 여기서는 P를 복소수로 나타내고 극형식을 이용해 문제를 해결하는 것이 좋습니다(약간 복잡하지만 직교좌표계로도 해결 가능합니다). 이 때 복소평면의 한 점에 대응되는 복소수 z에 대하여 이 점을 θ만큼 회전시킨 점을 z'라 하면 |z'|=|z|이고 arg(z')=arg(z)+θ이므로 z'=z(cosθ+isinθ)가 됩니다.
