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과학고와 서울대를 졸업하고 미래탐구학원에서 지구과학과 물리를 기반으로 한 논구술 강좌를 진행하고 있다. 중·고등학교 과학의 교육과정을 분석해 개별적인 개념 간의 연계성을 고려한 다양한 논구술 문제를 개발하는데 노력하고 있다.
미는 힘과 당기는 힘, 운동에너지와 위치에너지… 지구에는 여러가지
힘과 에너지가 존재한다. 이런 힘과 에너지는 우주공간에서도 작용한다.
만유인력과 조석현상을 그 예로 들 수 있다.
Q1다음 제시문을 읽고 물음에 답하라.
(가) 지구에 사는 사람 중에 지상 15km이상 올라가 본 사람은 몇 명이나 될까? 지상에서 가장 높은 에베레스트 산의 높이는 지구 반지름인 6400km에 비한다면 거의 무시해도 될 정도다. 우리가 사는 공간 내에서 중력에 의한 위치에너지는 일정한 크기로 계산해도 큰 무리가 없다. 그러나 지표면으로부터 높이 올라가면 지구에 의한 만유인력의 크기가 점점 작아지므로 중력에 의한 위치에너지 즉 만유인력에 의한 위치에너지는 F=G Mm/r2을 이용해 계산한다. 지구 표면으로부터 멀리 떨어진 공간에서도 지구 표면 가까이에서와 같이 만유인력 이외의 다른 힘이 작용하지 않으면 역학적 에너지(E)가 항상 보존된다. 따라서 지구에서 발사하는 우주선은 역학적 에너지(E)가 E＞0이면 지구 중력장을 벗어나 탈출할 수 있지만 E＜0이면 지구 중력장 내에서 운동한다.
- 고등학교 물리Ⅱ 교과서
(나) 1929년 허블은 은하의 스펙트럼선이 긴 파장 쪽으로 이동하며 이동량이 거리에 비례한다는 사실을 발견했다. 이는 은하가 지구에서 멀어지고 멀어지는 속도는 거리에 비례한다는 뜻이었다. 이것을 허블의 법칙이라 부른다. 이 법칙은 은하가 서로 멀어지면서 우주가 팽창함을 밝혔다. 허블의 법칙에서 암시하는 은하의 후퇴 속도 v와 거리 d의 관계는 v=H×d로 나타낸다. 여기서 H는 허블 상수로서 은하의 후퇴 속도와 거리의 관계를 맺어주는 비례 상수이다.
(다) (중략) 세 번째는 평탄 우주로서 이 우주는 공간이 휘지 않고 평면으로 돼 있으며, 중력에너지가 팽창에너지와 평형을 이뤄 결국 팽창이 멈춘 정적인 우주이다. 평탄 우주의 가능성을 검증하기 위해서는 우주 끝에서 역학적 에너지의 크기를 좌우하는 우주물질의 분포 즉 우주의 밀도가 관측돼야 한다. 이를 결정하는 우주의 밀도를 임계 밀도라고 하는데, 허블 상수로부터 도출한 임계 밀도는 약 10-29g/cm3이다.
- 고등학교 지구과학Ⅱ 교과서
1) 제시문 (가)를 참조해 다음 물음에 답하라(단 만유인력 상수는 G, 지구의 질량은 M이다).
① 지구 중심으로부터 r만큼 떨어진 곳에 있는 질량 m인 물체를 무한히 떨어진 곳까지 옮기는 데 필요한 일을 계산하라.
② 물체가 지구로부터 무한히 떨어진 곳에 있을 때, 물체의 만유인력에 의한 위치에너지는 0으로 표현한다. 그 이유를 설명하고 지구 중심에서 r만큼 떨어진 곳에 있는 질량 m인 물체의 위치에너지를 표현하라.
2) 우주를 완전한 구형으로 가정할 때 임계 밀도를 표현하라(H: 허블 상수, G: 만유인력 상수).
3) 허블의 법칙으로부터 관측 가능한 우주의 크기가 유한한 이유를 설명하라.
전문가 클리닉
1) 교육과정 내의 배경지식으로부터 추론하는 문제이며 결과보다 풀이 과정이 더욱 중요합니다. ① 일의 정의와 이동거리에 따른 힘의 변화 그래프를 이용해 만유인력에 대한 일의 양을 계산합니다. ② 에너지의 정의와 일과 에너지 관계를 이용해 만유인력에 의한 위치에너지를 표현합니다.
2) 추론 능력과 수리적 계산 능력을 요구하는 문제입니다. 먼저 임계밀도가 의미하는 바를 추론합니다. 그 다음 우주 끝에 존재하는 물체의 역학적 에너지를 표현하고 허블 법칙을 이용해 임계 밀도를 계산합니다.
3) 창의적 적용능력을 측정하는 문제입니다. 관측 가능하다는 말의 의미를 이해하고 허블 법칙에 의해 팽창하는 우주 모델에 대해 그 의미를 적용합니다.
예시답안
1-1) 지구 중심으로부터 거리가 r만큼 떨어진 위치에서 질량 m인 물체가 받는 만유인력 크기는 G M×m/r2이다.
일의 양은 물체에 힘을 가해 힘의 방향으로 이동시킬 때 힘의 크기와 이동거리의 곱으로 표현한다. 즉 단위거리를 이동시키는 동안 가한 힘의 크기를 전체 이동거리에 대해 누적한다. 만유인력의 크기는 거리에 대한 함수이므로 일의 양은 다음과 같이 적분을 이용해 계산한다.
1-2) 위치에너지는 물체가 특정 위치에 있을 때 일을 할 수 있는 능력을 의미한다. 중력에 의한 위치에너지는 높은 곳에 있는 물체가 중력을 받아 낙하할 때 물체의 속력이 증가하면서 운동에너지로 전환된다. 낙하하는 물체는 충돌을 통해 다른 물체에 힘을 가하면서 일을 한다. 탄성력에 의한 위치에너지는 다른 물체가 변형된 탄성체에 의해 탄성력을 받으면서 일로 전환된다. 즉 위치에너지는 중력이나 탄성력을 받을 때 그 위치에서 일을 할 수 있는 능력이다. 무한대의 거리에서 만유인력은 0으로 수렴하므로 그 위치에 있는 물체의 만유인력에 의한 위치에너지는 0이다.
에너지는 일을 받은 만큼 증가한다. 거리가 r일 때 에너지를 Er, 무한대 거리일 때 에너지를 E∞ 라고 하면 E∞=Er+ W가 성립한다. 이때 W=G M×m/r이다. 그러므로 0=Er+G (∵E∞=0), Er=-G M×m/r이다.
2) 반지름 r, 질량 M인 구형 우주의 끝에 속도가 v이고 질량 m인 물체를 가정하면 이 물체의 역학적 에너지 E=-G M×m/r+ 1/2mv2이다. 제시문 (가)에 의하면 이 물체의 역학적 에너지가 0이면 우주의 중력장을 탈출할 수 있는 임계 상황이므로 우주가 팽창을 멈추기 위한 조건은 ?G M×m/r+ 1/2mv2=0이다. 이 물체는 허블 법칙에 의해 v=H·r을 만족하므로 두 식에서 v를 소거하면 임계 밀도 ρ=M/4/3π =3H2/8πG이다.
3) 관측은 우주로부터 오는 빛(전자기파)을 검출하는 과정이므로 우주 팽창 속도가 빛의 속도보다 큰 곳에서 출발한 빛은 우리에게 도달할 수 없다. 허블 법칙을 따르는 우주를 가정하면 v=H· r＞c(c: 빛의 속도)를 만족하는 거리 r인 곳에서 출발한 빛의 속도는 우주 팽창 속도보다 느리므로 아무리 시간이 많이 흘러도 우리에게 도달할 수 없고 관측이 불가능하다. 앞 부등식에 의해 관측 가능한 우주의 크기(r)는 r≤c/H 로 유한하다.
Q2다음 제시문을 읽고 물음에 답하라.
조석 현상이 일어나는 원인은 지구 표면의 각 지점에 미치는 달과 태양의 인력이 서로 다르기 때문이다. 조석을 일으키는 힘을 기조력이라고 하는데, 기조력의 크기는 조석 현상을 일으키는 천체의 질량에 비례하고 그 천체까지의 거리 세제곱에 반비례한다.
지구와 달 사이는 만유인력이 작용하므로 지구와 달은 서로 끌어당겨 가까워져야 하나 실제로는 끌려가지 않고 일정한 거리를 유지한다. 이유는 <그림 2>와 같이 지구와 달이 공통질량중심을 사이에 두고 그 둘레를 서로 회전하기 때문이다.
달이 공통질량중심의 둘레를 한 바퀴 회전하는 동안 지구중심도 <그림 2>의 점선과 같은 원을 그리며 회전 운동을 한다. 지구 자전을 고려하지 않는다면 지구가 공통질량중심을 한 바퀴 회전하는 동안 지표상의 점 A, B를 포함한 모든 지점도 같은 주기로 같은 크기의 원을 그리며 회전 운동을 할 것이다. 물체가 회전 운동을 할 때에는 회전 중심에서 멀어지는 방향으로 원심력이 작용하는데, 지구상의 어느 지점이나 같은 주기로 같은 크기의 원을 그리면서 회전하므로 모든 점에 작용하는 원심력은 같다.
지표상의 각 지점에서 달까지의 거리가 다르기 때문에 각 지점에 작용하는 달의 인력은 다르다. 달의 인력은 달과의 거리가 가까울수록 크므로 달에 가장 가까운 점 A에서 가장 크고 가장 먼 점 B에서 가장 작다. 각 지점에 작용하는 원심력은 모두 같으나 달의 인력이 다르므로 각 지점에 작용하는 달의 인력과 원심력의 차이가 생기는데 이 힘이 조석현상을 일으키는 기조력으로 작용한다. 점 A와 점 B에 있는 질량 m인 물 입자가 달로부터 받는 기조력의 크기는 다음과 같다.
기조력의 크기 2GMR/r3= m (단 r＞＞R)
(G: 만유인력 상수, M: 달 질량, R: 지구 반지름 r: 달과 지구 중심 사이의 거리)
1) 어느 지역이 만조가 됐다가 간조를 지나 다시 만조가 될 때까지 걸린 시간을 조석 주기라고 한다. 관측에 따르면 극지방을 제외한 대부분의 지역에서 조석 주기는 약 12시간 25분이다. 조석 주기가 이렇게 나타나는 이유를 설명하라.
2) 태양(질량 M⊙)으로부터 s만큼 떨어져 있는 어떤 소행성은 중심으로부터 거리가 d인 곳에 위성을 갖고 있다. 태양의 기조력에 의해 이 위성을 잃지 않기 위한 소행성 질량의 최소값을 구하라. (단 s＞＞d이다)
전문가 클리닉
1) 지구 표면에 작용하는 만유인력과 원심력을 이용해 그 합력이 어느 방향으로 분포하는지 생각해보고 지구 자전과 달의 공전 효과를 반영해 설명합니다.
2) 지구에서 일어나는 해수의 운동 중 조석 현상에 대해 이해하고 그 원리를 우주의 소행성과 위성 관계에 적용하는 문제입니다. 소행성의 위성이 태양으로부터 받는 기조력의 크기를 표현하고 그 크기를 만유인력과 비교해 해결합니다. 다른 모델에 적용할 때에는 각 구성 요소의 대응 관계에 유의합니다.
예시답안
1) 지구는 공통질량중심을 중심으로 원운동한다. 이때 지구 중심에 가해지는 달의 만유인력이 구심력 역할을 하게 된다. 따라서 지구 중심에서 만유인력은 원심력과 크기는 같고 방향이 반대다. 점 A에서는 지구 중심에 비해 만유인력은 크고 원심력은 같으므로 합력이 달의 방향으로 작용한다. 바닷물은 달의 방향과 같은 방향으로 부풀어 오른다. 점 B에서는 지구 중심에 비해 만유인력은 작고 원심력은 같으므로 합력이 달의 반대 방향으로 작용한다. 이때에는 바닷물이 달과 반대 방향으로 부풀어 오른다. 이 결과 하루에 두 번 만조가 나타난다.
조석 주기가 12시간이 아닌 12시간 25분인 이유는 지구가 자전하는 동안 달이 공전하기 때문이다. 지구가 한 번 자전하는 동안 달은 별자리 사이를 약 13° 이동한다(∵ 360°/27.3일≒13°). 지구가 13°를 더 자전하는데 걸리는 시간이 약 50분(∵13°/360°×24h×60m/h=52min)이므로 두번의 조석현상이 발생하는 주기는 24시간 50분이다. 따라서 조석 주기는 그 절반인 12시간 25분이다.
2) 지구는 달과 공통질량중심을 사이에 두고 공전하고 있다. 이때 지구 중심에서 지구 반지름만큼 떨어진 곳에 있는 물 입자가 받는 기조력의 원리는 태양과 공통질량중심을 사이에 두고 공전하는 소행성에서 위성궤도 반지름만큼 떨어진 곳에 있는 위성이 받는 기조력에 적용할 수 있다. 태양을 달에, 소행성을 지구에, 소행성의 위성(질량 m)을 지표 위의 물 입자에 대응시키면 태양에 의해 위성이 받는 기조력의 크기는 m(∵s＞＞d)이다. 위성을 잃지 않기 위해서는 소행성의 만유인력이 태양의 기조력보다 커야 한다. 즉 소행성의 질량을 x라고 하면
이므로 최소 질량은 2M⊙(d/s)3이다.
미는 힘과 당기는 힘, 운동에너지와 위치에너지… 지구에는 여러가지
힘과 에너지가 존재한다. 이런 힘과 에너지는 우주공간에서도 작용한다.
만유인력과 조석현상을 그 예로 들 수 있다.
Q1다음 제시문을 읽고 물음에 답하라.
(가) 지구에 사는 사람 중에 지상 15km이상 올라가 본 사람은 몇 명이나 될까? 지상에서 가장 높은 에베레스트 산의 높이는 지구 반지름인 6400km에 비한다면 거의 무시해도 될 정도다. 우리가 사는 공간 내에서 중력에 의한 위치에너지는 일정한 크기로 계산해도 큰 무리가 없다. 그러나 지표면으로부터 높이 올라가면 지구에 의한 만유인력의 크기가 점점 작아지므로 중력에 의한 위치에너지 즉 만유인력에 의한 위치에너지는 F=G Mm/r2을 이용해 계산한다. 지구 표면으로부터 멀리 떨어진 공간에서도 지구 표면 가까이에서와 같이 만유인력 이외의 다른 힘이 작용하지 않으면 역학적 에너지(E)가 항상 보존된다. 따라서 지구에서 발사하는 우주선은 역학적 에너지(E)가 E＞0이면 지구 중력장을 벗어나 탈출할 수 있지만 E＜0이면 지구 중력장 내에서 운동한다.
- 고등학교 물리Ⅱ 교과서
(나) 1929년 허블은 은하의 스펙트럼선이 긴 파장 쪽으로 이동하며 이동량이 거리에 비례한다는 사실을 발견했다. 이는 은하가 지구에서 멀어지고 멀어지는 속도는 거리에 비례한다는 뜻이었다. 이것을 허블의 법칙이라 부른다. 이 법칙은 은하가 서로 멀어지면서 우주가 팽창함을 밝혔다. 허블의 법칙에서 암시하는 은하의 후퇴 속도 v와 거리 d의 관계는 v=H×d로 나타낸다. 여기서 H는 허블 상수로서 은하의 후퇴 속도와 거리의 관계를 맺어주는 비례 상수이다.(다) (중략) 세 번째는 평탄 우주로서 이 우주는 공간이 휘지 않고 평면으로 돼 있으며, 중력에너지가 팽창에너지와 평형을 이뤄 결국 팽창이 멈춘 정적인 우주이다. 평탄 우주의 가능성을 검증하기 위해서는 우주 끝에서 역학적 에너지의 크기를 좌우하는 우주물질의 분포 즉 우주의 밀도가 관측돼야 한다. 이를 결정하는 우주의 밀도를 임계 밀도라고 하는데, 허블 상수로부터 도출한 임계 밀도는 약 10-29g/cm3이다.
- 고등학교 지구과학Ⅱ 교과서
1) 제시문 (가)를 참조해 다음 물음에 답하라(단 만유인력 상수는 G, 지구의 질량은 M이다).
① 지구 중심으로부터 r만큼 떨어진 곳에 있는 질량 m인 물체를 무한히 떨어진 곳까지 옮기는 데 필요한 일을 계산하라.
② 물체가 지구로부터 무한히 떨어진 곳에 있을 때, 물체의 만유인력에 의한 위치에너지는 0으로 표현한다. 그 이유를 설명하고 지구 중심에서 r만큼 떨어진 곳에 있는 질량 m인 물체의 위치에너지를 표현하라.
2) 우주를 완전한 구형으로 가정할 때 임계 밀도를 표현하라(H: 허블 상수, G: 만유인력 상수).
3) 허블의 법칙으로부터 관측 가능한 우주의 크기가 유한한 이유를 설명하라.
전문가 클리닉
1) 교육과정 내의 배경지식으로부터 추론하는 문제이며 결과보다 풀이 과정이 더욱 중요합니다. ① 일의 정의와 이동거리에 따른 힘의 변화 그래프를 이용해 만유인력에 대한 일의 양을 계산합니다. ② 에너지의 정의와 일과 에너지 관계를 이용해 만유인력에 의한 위치에너지를 표현합니다.
2) 추론 능력과 수리적 계산 능력을 요구하는 문제입니다. 먼저 임계밀도가 의미하는 바를 추론합니다. 그 다음 우주 끝에 존재하는 물체의 역학적 에너지를 표현하고 허블 법칙을 이용해 임계 밀도를 계산합니다.
3) 창의적 적용능력을 측정하는 문제입니다. 관측 가능하다는 말의 의미를 이해하고 허블 법칙에 의해 팽창하는 우주 모델에 대해 그 의미를 적용합니다.
예시답안
1-1) 지구 중심으로부터 거리가 r만큼 떨어진 위치에서 질량 m인 물체가 받는 만유인력 크기는 G M×m/r2이다.
일의 양은 물체에 힘을 가해 힘의 방향으로 이동시킬 때 힘의 크기와 이동거리의 곱으로 표현한다. 즉 단위거리를 이동시키는 동안 가한 힘의 크기를 전체 이동거리에 대해 누적한다. 만유인력의 크기는 거리에 대한 함수이므로 일의 양은 다음과 같이 적분을 이용해 계산한다.
1-2) 위치에너지는 물체가 특정 위치에 있을 때 일을 할 수 있는 능력을 의미한다. 중력에 의한 위치에너지는 높은 곳에 있는 물체가 중력을 받아 낙하할 때 물체의 속력이 증가하면서 운동에너지로 전환된다. 낙하하는 물체는 충돌을 통해 다른 물체에 힘을 가하면서 일을 한다. 탄성력에 의한 위치에너지는 다른 물체가 변형된 탄성체에 의해 탄성력을 받으면서 일로 전환된다. 즉 위치에너지는 중력이나 탄성력을 받을 때 그 위치에서 일을 할 수 있는 능력이다. 무한대의 거리에서 만유인력은 0으로 수렴하므로 그 위치에 있는 물체의 만유인력에 의한 위치에너지는 0이다.
에너지는 일을 받은 만큼 증가한다. 거리가 r일 때 에너지를 Er, 무한대 거리일 때 에너지를 E∞ 라고 하면 E∞=Er+ W가 성립한다. 이때 W=G M×m/r이다. 그러므로 0=Er+G (∵E∞=0), Er=-G M×m/r이다.
2) 반지름 r, 질량 M인 구형 우주의 끝에 속도가 v이고 질량 m인 물체를 가정하면 이 물체의 역학적 에너지 E=-G M×m/r+ 1/2mv2이다. 제시문 (가)에 의하면 이 물체의 역학적 에너지가 0이면 우주의 중력장을 탈출할 수 있는 임계 상황이므로 우주가 팽창을 멈추기 위한 조건은 ?G M×m/r+ 1/2mv2=0이다. 이 물체는 허블 법칙에 의해 v=H·r을 만족하므로 두 식에서 v를 소거하면 임계 밀도 ρ=M/4/3π =3H2/8πG이다.
3) 관측은 우주로부터 오는 빛(전자기파)을 검출하는 과정이므로 우주 팽창 속도가 빛의 속도보다 큰 곳에서 출발한 빛은 우리에게 도달할 수 없다. 허블 법칙을 따르는 우주를 가정하면 v=H· r＞c(c: 빛의 속도)를 만족하는 거리 r인 곳에서 출발한 빛의 속도는 우주 팽창 속도보다 느리므로 아무리 시간이 많이 흘러도 우리에게 도달할 수 없고 관측이 불가능하다. 앞 부등식에 의해 관측 가능한 우주의 크기(r)는 r≤c/H 로 유한하다.
Q2다음 제시문을 읽고 물음에 답하라.
조석 현상이 일어나는 원인은 지구 표면의 각 지점에 미치는 달과 태양의 인력이 서로 다르기 때문이다. 조석을 일으키는 힘을 기조력이라고 하는데, 기조력의 크기는 조석 현상을 일으키는 천체의 질량에 비례하고 그 천체까지의 거리 세제곱에 반비례한다.지구와 달 사이는 만유인력이 작용하므로 지구와 달은 서로 끌어당겨 가까워져야 하나 실제로는 끌려가지 않고 일정한 거리를 유지한다. 이유는 <그림 2>와 같이 지구와 달이 공통질량중심을 사이에 두고 그 둘레를 서로 회전하기 때문이다.
달이 공통질량중심의 둘레를 한 바퀴 회전하는 동안 지구중심도 <그림 2>의 점선과 같은 원을 그리며 회전 운동을 한다. 지구 자전을 고려하지 않는다면 지구가 공통질량중심을 한 바퀴 회전하는 동안 지표상의 점 A, B를 포함한 모든 지점도 같은 주기로 같은 크기의 원을 그리며 회전 운동을 할 것이다. 물체가 회전 운동을 할 때에는 회전 중심에서 멀어지는 방향으로 원심력이 작용하는데, 지구상의 어느 지점이나 같은 주기로 같은 크기의 원을 그리면서 회전하므로 모든 점에 작용하는 원심력은 같다.
지표상의 각 지점에서 달까지의 거리가 다르기 때문에 각 지점에 작용하는 달의 인력은 다르다. 달의 인력은 달과의 거리가 가까울수록 크므로 달에 가장 가까운 점 A에서 가장 크고 가장 먼 점 B에서 가장 작다. 각 지점에 작용하는 원심력은 모두 같으나 달의 인력이 다르므로 각 지점에 작용하는 달의 인력과 원심력의 차이가 생기는데 이 힘이 조석현상을 일으키는 기조력으로 작용한다. 점 A와 점 B에 있는 질량 m인 물 입자가 달로부터 받는 기조력의 크기는 다음과 같다.
기조력의 크기 2GMR/r3= m (단 r＞＞R)
(G: 만유인력 상수, M: 달 질량, R: 지구 반지름 r: 달과 지구 중심 사이의 거리)
1) 어느 지역이 만조가 됐다가 간조를 지나 다시 만조가 될 때까지 걸린 시간을 조석 주기라고 한다. 관측에 따르면 극지방을 제외한 대부분의 지역에서 조석 주기는 약 12시간 25분이다. 조석 주기가 이렇게 나타나는 이유를 설명하라.
2) 태양(질량 M⊙)으로부터 s만큼 떨어져 있는 어떤 소행성은 중심으로부터 거리가 d인 곳에 위성을 갖고 있다. 태양의 기조력에 의해 이 위성을 잃지 않기 위한 소행성 질량의 최소값을 구하라. (단 s＞＞d이다)
전문가 클리닉
1) 지구 표면에 작용하는 만유인력과 원심력을 이용해 그 합력이 어느 방향으로 분포하는지 생각해보고 지구 자전과 달의 공전 효과를 반영해 설명합니다.
2) 지구에서 일어나는 해수의 운동 중 조석 현상에 대해 이해하고 그 원리를 우주의 소행성과 위성 관계에 적용하는 문제입니다. 소행성의 위성이 태양으로부터 받는 기조력의 크기를 표현하고 그 크기를 만유인력과 비교해 해결합니다. 다른 모델에 적용할 때에는 각 구성 요소의 대응 관계에 유의합니다.
예시답안
1) 지구는 공통질량중심을 중심으로 원운동한다. 이때 지구 중심에 가해지는 달의 만유인력이 구심력 역할을 하게 된다. 따라서 지구 중심에서 만유인력은 원심력과 크기는 같고 방향이 반대다. 점 A에서는 지구 중심에 비해 만유인력은 크고 원심력은 같으므로 합력이 달의 방향으로 작용한다. 바닷물은 달의 방향과 같은 방향으로 부풀어 오른다. 점 B에서는 지구 중심에 비해 만유인력은 작고 원심력은 같으므로 합력이 달의 반대 방향으로 작용한다. 이때에는 바닷물이 달과 반대 방향으로 부풀어 오른다. 이 결과 하루에 두 번 만조가 나타난다.
조석 주기가 12시간이 아닌 12시간 25분인 이유는 지구가 자전하는 동안 달이 공전하기 때문이다. 지구가 한 번 자전하는 동안 달은 별자리 사이를 약 13° 이동한다(∵ 360°/27.3일≒13°). 지구가 13°를 더 자전하는데 걸리는 시간이 약 50분(∵13°/360°×24h×60m/h=52min)이므로 두번의 조석현상이 발생하는 주기는 24시간 50분이다. 따라서 조석 주기는 그 절반인 12시간 25분이다.
2) 지구는 달과 공통질량중심을 사이에 두고 공전하고 있다. 이때 지구 중심에서 지구 반지름만큼 떨어진 곳에 있는 물 입자가 받는 기조력의 원리는 태양과 공통질량중심을 사이에 두고 공전하는 소행성에서 위성궤도 반지름만큼 떨어진 곳에 있는 위성이 받는 기조력에 적용할 수 있다. 태양을 달에, 소행성을 지구에, 소행성의 위성(질량 m)을 지표 위의 물 입자에 대응시키면 태양에 의해 위성이 받는 기조력의 크기는 m(∵s＞＞d)이다. 위성을 잃지 않기 위해서는 소행성의 만유인력이 태양의 기조력보다 커야 한다. 즉 소행성의 질량을 x라고 하면
이므로 최소 질량은 2M⊙(d/s)3이다.
