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서울대 물리교육과를 졸업하고 현재 메가스터디에서 물리와 과학 논·구술 수업을 하고 있다. 개념을 정확하고 깊이있게 이해하는 능력과 다수 개념을 통합적으로 사고하는 능력이 과학 학습에 가장 중요한 덕목이라고 생각한다.
빛이 꺾이는 이유는 무엇일까?
스넬의 법칙을 통해 빛의 굴절을 알아봅시다.
제시문
다음을 읽고 물음에 답하라
(가) 페르마 원리란 두 점 사이를 진행하는 빛은 진행시간이 짧게 걸리는 경로를 택해 진행함을 뜻한다. 반사나 굴절의 법칙은 이 원리를 적용해 유도된다. 빛이 통과하는데 걸리는 시간은 경로의 길이에 굴절률을 곱한 광학거리에 비례한다.
- 두산백과사전(www.encyber.com)
(나) 굴절이란 빛이 성질이 다른 두 매질을 지날 때 그 경계에서 속도가 변하고 진행 방향이 바뀌는 현상이다. 일반적으로 빛이 매질을 통과하는 속도는 진공에서보다 느리다. 이런 현상은 빛이 어떤 물질을 통과할 때 물질 내의 전자와 상호 간섭하기 때문이다. 빛의 굴절은 스넬의 법칙을 따른다. 굴절률이 n1과 n2로 서로 다른 두 매질이 맞닿아 있을 때 매질을 통과하는 빛의 경로는 매질의 경계에서 그림과 같이 꺾인다. 꺾인 정도를 각도로 표시하면 θ1과 θ2가 된다. 스넬의 법칙은 다음과 같이 정의된다.
(다) 전반사는 빛이 광학적으로 밀한 매질(굴절률이 큰 물질)에서 소한 매질(굴절률이 작은 물질)로 입사할 때 입사각이 특정 각도 이상이면 경계면에서 굴절하지 않고 100% 반사되는 현상이다. 전반사가 일어날 수 있는 입사각의 최소값을 임계각이라 한다. 광섬유는 전반사의 원리를 활용한 대표적인 예다. 굴절률이 큰 유리섬유(코어)를 굴절률이 작은 유리층(클래딩)으로 덮어 만든 광섬유는 안쪽 유리로 입사한 빛은 전반사를 거듭하므로 광섬유가 구부러져 있어도 빛의 손실 없이 멀리까지 에너지를 전달할 수 있다. 전반사는 이 외에도 전반사프리즘이나 파이버스코프에 응용된다. 전반사프리즘은 빛의 입사각을 유리의 임계각인 42°보다 크게 해 빛이 유리를 통과하지 못하고 안쪽으로 반사되게 하는 원리다. 파이버스코프는 내시경과 같이 의학적인 목적으로 쓰인다.
(라) 갈릴레오 갈릴레이는 망원경을 만들어 천체관측을 한 성과를 인정받아 이탈리아 파도바대의 교수가 되었다. 그는 평생 동안 만든 대부분의 망원경을 피렌체의 대재벌 메디치 2세에게 바쳤다. 그 중 최대의 망원경은 대물렌즈의 지름이 56cm, 초점거리가 1.7m, 배율 30배였다. 갈릴레이가 만든 망원경은 모두 대물렌즈로 평볼록렌즈를, 접안렌즈로 평오목렌즈를 사용했다. 갈릴레이식 망원경은 상이 정립이지만 시야가 좁다는 단점이 있었다.
요하네스 케플러는 이런 단점을 보완해 대물렌즈와 접안렌즈가 둘 다 볼록렌즈인 망원경을 만들었다. 이것은 상이 거꾸로 보인다는 단점이 있지만 시야가 넓고 배율이 높았다. 케플러는 이 망원경에 볼록렌즈 1개를 더 쓰면 도립상을 정립상으로 할 수 있다는 이론을 내놓았다. 이 원리를 이용한 정립대안경 또는 지상용 대안경은 지상의 풍경을 보는데 특히 유용했다. 케플러식 망원경을 최초로 직접 만든 사람은 1615년 독일 제수이트파의 성직자 크리스찬 샤이너였다. 당시의 망원경은 대물렌즈가 한 개였기 때문에 렌즈의 프리즘 작용에 의해 백색광이 한 점에 모이지 않고 색에 따라 상을 맺는 위치가 달라 상이 흐리게 맺혔다. 또 망원경의 배율(대물렌즈의 초점거리를 접안렌즈의 초점거리로 나눈 값)을 높이기 위해 초점거리가 짧은 접안렌즈를 사용하다보니 빛이 꺾이는 각도가 커 상이 흐린 정도가 심했다. 망원경 통의 길이를 길게 하면 대물렌즈의 초점거리가 늘어나 배율을 높일 수 있었다.
(마) 가시광선은 전자기파 중에서 사람의 눈에 보이는 380~770㎚의 파장을 뜻한다. 가시광선 범위 내에서는 파장에 따라 색깔이 다르며 빨강색으로부터 보라색으로 갈수록 파장이 짧아진다. 700~610㎚는 빨강, 610~590㎚는 주황, 590~570㎚는 노랑, 570~500㎚는 초록, 500~450㎚는 파랑, 450~400㎚는 보라로 보인다. 빨강보다 파장이 긴 빛은 적외선, 보라보다 파장이 짧은 빛은 자외선이라고 하는데 대기를 통과해 지상에 도달하는 태양복사의 빛은 가시광선이 가장 많기 때문에 사람의 눈은 가시광선만 감지한다.
태양이 희게 보이는 이유는 일곱 가지 색으로 나타나는 빛을 모두 합치면 흰색으로 보이기 때문이다. 또 태양광선 아래에서 흰색의 종이가 희게 보이는 이유는 일곱 가지 색을 모두 반사하기 때문이고 파란색의 종이가 파랗게 보이는 이유는 가시광선 중에서 파란색만을 반사해 그 색깔만 눈에 감지되기 때문이다.
Q1
제시문 (가)의 원리를 이용해 제시문 (나)의 굴절의 법칙을 유도하려 한다.
1) 두 매질 I, II에 점 A, B가 있다. 어떤 입자가 매질 I에서 속력 v1, 매질 II에서 속력 v2로 직선운동을 한다. 그림과 같이 점 P를 지나서 A에서 B로 운동했을 때 걸린 시간 T를 P의 위치 x의 함수로 표시하라.
2) 함수 f(x)는 =0을 만족하는 x에서 극점을 가진다. 이 정리를 이용해 1)에서 구한 운동시간을 최소화하는 점 P가 하나만 존재함을 증명하라. (단 매질 I에서 운동경로가 법선을 이루는 각을 θ1, 매질 II에서 운동경로가 법선과 이루는 각을 θ2라고 한다.)
3) 2)의 결과를 이용해 점 P를 지나는 빛의 궤적을 통해 제시문 (나)에 언급된 스넬의 법칙을 유도하라. (단 매질 I의 굴절률을 n1, 매질 II의 굴절률을 n2라 한다.)
전문가 클리닉
빛의 기본 성질을 이용해 굴절의 법칙을 유도해 내는 과정입니다. 빛의 입자가 움직이는 경로는 그림의 직각삼각형에서 빗면에 해당합니다. 입자의 위치를 이용해 입자의 운동시간을 식으로 나타내고, 이 식이 하나의 극점을 가지려면 도함수가 단순증가 함수여야 함을 증명합니다. 극점에서는 도함수의 값이 0이라는 사실을 잘 활용해야 합니다.
Q2
제시문 (다)를 참조해 다음 물음에 답하라.
1) 논제 1에서 증명한 스넬의 법칙을 사용해 그림과 같이 전반사가 일어날 경우의 임계각 θ1을 굴절률 n1, n2로 표현하고 n1, n2가 가져야 하는 조건을 말하라.
2) 그림과 같이 서로 섞이지 않는 액체 I, II가 있다. 액체 I, II의 굴절률은 각각 n1, n2 (n1>n2)이고 액체 II의 두께는 b다. 액체 I에서 깊이 a인 곳에 점광원이 놓여 있고 점광원에서 사방으로 고르게 빛이 방출되고 있다. 만일 방출된 빛이 공기 중으로 나오지 못하도록 공기와 액체 II의 경계면 위에 불투명한 원판을 놓을 때 원판의 반지름이 최소 얼마가 돼야 하는지를 a, b, n1, n2로 표현하라. (단 공기의 굴절률을 1로 한다.)
전문가 클리닉
스넬의 법칙을 이용해 전반사가 일어나기 위한 조건을 찾는 문제입니다. 그림에서 알 수 있듯이 전반사가 일어났다는 점은 굴절파의 굴절각이 90°임을 의미합니다. 이렇게 스넬의 법칙을 이용하면 전반사가 일어나게 하기 위한 임계각도 구할 수 있습니다.
예시답안
1) 입사각이 θi이고 굴절각이 90°인 경우이므로 스넬의 법칙에서n1sinθ1=n2sin90°=n2가 된다. 즉 sinθ1=n2/n1나 θ1=sin-1 n1/2가 된다. 이때 0‹sinθ1‹1이 성립하므로 n2‹n1의 조건이 나온다.
Q3
제시문 (라)와 (마)를 읽고 다음 물음에 답하라.
1) 볼록렌즈를 지날 때 색수차가 생기는 원인을 파장과 굴절률의 관계를 들어 설명하라. (단 f는 가시광선 영역의 중간 값인 약 575nm 파장의 빛이 모이는 지점이다.)
2) 오목렌즈를 지날 때 파장에 따른 빛의 경로를 오목렌즈의 초점 변화를 들어 설명하라. (단 f는 약 575nm 파장의 빛이 지날 때 오목렌즈의 초점이다.)
3) 1), 2)를 바탕으로 망원경의 색수차를 줄이는 방법을 고안하라.
4) 물속에서 망원경을 볼 때 망원경의 색수차 변화를 설명하라. (단 유리의 굴절률>물의 굴절률>공기의 굴절률이라 한다.)
전문가 클리닉
유리로 만들어진 렌즈를 통과할 때 빛의 굴절되는 정도는 빛의 파장에 따라 달라집니다. 볼록렌즈와 오목렌즈의 굴절 특성을 잘 이해하면 이 둘을 결합해 망원경의 색수차를 줄일 수 있습니다. 마지막 문제는 빛이 통과하는 두 매질이 공기와 유리에서 물과 유리로 바뀌면서 굴절률 차이가 더 줄었다는 점에 착안해 문제를 해결합니다.
빛이 꺾이는 이유는 무엇일까?
스넬의 법칙을 통해 빛의 굴절을 알아봅시다.
제시문
다음을 읽고 물음에 답하라
(가) 페르마 원리란 두 점 사이를 진행하는 빛은 진행시간이 짧게 걸리는 경로를 택해 진행함을 뜻한다. 반사나 굴절의 법칙은 이 원리를 적용해 유도된다. 빛이 통과하는데 걸리는 시간은 경로의 길이에 굴절률을 곱한 광학거리에 비례한다.
- 두산백과사전(www.encyber.com)
(나) 굴절이란 빛이 성질이 다른 두 매질을 지날 때 그 경계에서 속도가 변하고 진행 방향이 바뀌는 현상이다. 일반적으로 빛이 매질을 통과하는 속도는 진공에서보다 느리다. 이런 현상은 빛이 어떤 물질을 통과할 때 물질 내의 전자와 상호 간섭하기 때문이다. 빛의 굴절은 스넬의 법칙을 따른다. 굴절률이 n1과 n2로 서로 다른 두 매질이 맞닿아 있을 때 매질을 통과하는 빛의 경로는 매질의 경계에서 그림과 같이 꺾인다. 꺾인 정도를 각도로 표시하면 θ1과 θ2가 된다. 스넬의 법칙은 다음과 같이 정의된다.(다) 전반사는 빛이 광학적으로 밀한 매질(굴절률이 큰 물질)에서 소한 매질(굴절률이 작은 물질)로 입사할 때 입사각이 특정 각도 이상이면 경계면에서 굴절하지 않고 100% 반사되는 현상이다. 전반사가 일어날 수 있는 입사각의 최소값을 임계각이라 한다. 광섬유는 전반사의 원리를 활용한 대표적인 예다. 굴절률이 큰 유리섬유(코어)를 굴절률이 작은 유리층(클래딩)으로 덮어 만든 광섬유는 안쪽 유리로 입사한 빛은 전반사를 거듭하므로 광섬유가 구부러져 있어도 빛의 손실 없이 멀리까지 에너지를 전달할 수 있다. 전반사는 이 외에도 전반사프리즘이나 파이버스코프에 응용된다. 전반사프리즘은 빛의 입사각을 유리의 임계각인 42°보다 크게 해 빛이 유리를 통과하지 못하고 안쪽으로 반사되게 하는 원리다. 파이버스코프는 내시경과 같이 의학적인 목적으로 쓰인다.
(라) 갈릴레오 갈릴레이는 망원경을 만들어 천체관측을 한 성과를 인정받아 이탈리아 파도바대의 교수가 되었다. 그는 평생 동안 만든 대부분의 망원경을 피렌체의 대재벌 메디치 2세에게 바쳤다. 그 중 최대의 망원경은 대물렌즈의 지름이 56cm, 초점거리가 1.7m, 배율 30배였다. 갈릴레이가 만든 망원경은 모두 대물렌즈로 평볼록렌즈를, 접안렌즈로 평오목렌즈를 사용했다. 갈릴레이식 망원경은 상이 정립이지만 시야가 좁다는 단점이 있었다.
요하네스 케플러는 이런 단점을 보완해 대물렌즈와 접안렌즈가 둘 다 볼록렌즈인 망원경을 만들었다. 이것은 상이 거꾸로 보인다는 단점이 있지만 시야가 넓고 배율이 높았다. 케플러는 이 망원경에 볼록렌즈 1개를 더 쓰면 도립상을 정립상으로 할 수 있다는 이론을 내놓았다. 이 원리를 이용한 정립대안경 또는 지상용 대안경은 지상의 풍경을 보는데 특히 유용했다. 케플러식 망원경을 최초로 직접 만든 사람은 1615년 독일 제수이트파의 성직자 크리스찬 샤이너였다. 당시의 망원경은 대물렌즈가 한 개였기 때문에 렌즈의 프리즘 작용에 의해 백색광이 한 점에 모이지 않고 색에 따라 상을 맺는 위치가 달라 상이 흐리게 맺혔다. 또 망원경의 배율(대물렌즈의 초점거리를 접안렌즈의 초점거리로 나눈 값)을 높이기 위해 초점거리가 짧은 접안렌즈를 사용하다보니 빛이 꺾이는 각도가 커 상이 흐린 정도가 심했다. 망원경 통의 길이를 길게 하면 대물렌즈의 초점거리가 늘어나 배율을 높일 수 있었다.
(마) 가시광선은 전자기파 중에서 사람의 눈에 보이는 380~770㎚의 파장을 뜻한다. 가시광선 범위 내에서는 파장에 따라 색깔이 다르며 빨강색으로부터 보라색으로 갈수록 파장이 짧아진다. 700~610㎚는 빨강, 610~590㎚는 주황, 590~570㎚는 노랑, 570~500㎚는 초록, 500~450㎚는 파랑, 450~400㎚는 보라로 보인다. 빨강보다 파장이 긴 빛은 적외선, 보라보다 파장이 짧은 빛은 자외선이라고 하는데 대기를 통과해 지상에 도달하는 태양복사의 빛은 가시광선이 가장 많기 때문에 사람의 눈은 가시광선만 감지한다.
태양이 희게 보이는 이유는 일곱 가지 색으로 나타나는 빛을 모두 합치면 흰색으로 보이기 때문이다. 또 태양광선 아래에서 흰색의 종이가 희게 보이는 이유는 일곱 가지 색을 모두 반사하기 때문이고 파란색의 종이가 파랗게 보이는 이유는 가시광선 중에서 파란색만을 반사해 그 색깔만 눈에 감지되기 때문이다.
Q1
제시문 (가)의 원리를 이용해 제시문 (나)의 굴절의 법칙을 유도하려 한다.
1) 두 매질 I, II에 점 A, B가 있다. 어떤 입자가 매질 I에서 속력 v1, 매질 II에서 속력 v2로 직선운동을 한다. 그림과 같이 점 P를 지나서 A에서 B로 운동했을 때 걸린 시간 T를 P의 위치 x의 함수로 표시하라.2) 함수 f(x)는 =0을 만족하는 x에서 극점을 가진다. 이 정리를 이용해 1)에서 구한 운동시간을 최소화하는 점 P가 하나만 존재함을 증명하라. (단 매질 I에서 운동경로가 법선을 이루는 각을 θ1, 매질 II에서 운동경로가 법선과 이루는 각을 θ2라고 한다.)
3) 2)의 결과를 이용해 점 P를 지나는 빛의 궤적을 통해 제시문 (나)에 언급된 스넬의 법칙을 유도하라. (단 매질 I의 굴절률을 n1, 매질 II의 굴절률을 n2라 한다.)
전문가 클리닉
빛의 기본 성질을 이용해 굴절의 법칙을 유도해 내는 과정입니다. 빛의 입자가 움직이는 경로는 그림의 직각삼각형에서 빗면에 해당합니다. 입자의 위치를 이용해 입자의 운동시간을 식으로 나타내고, 이 식이 하나의 극점을 가지려면 도함수가 단순증가 함수여야 함을 증명합니다. 극점에서는 도함수의 값이 0이라는 사실을 잘 활용해야 합니다. Q2
제시문 (다)를 참조해 다음 물음에 답하라.
1) 논제 1에서 증명한 스넬의 법칙을 사용해 그림과 같이 전반사가 일어날 경우의 임계각 θ1을 굴절률 n1, n2로 표현하고 n1, n2가 가져야 하는 조건을 말하라.2) 그림과 같이 서로 섞이지 않는 액체 I, II가 있다. 액체 I, II의 굴절률은 각각 n1, n2 (n1>n2)이고 액체 II의 두께는 b다. 액체 I에서 깊이 a인 곳에 점광원이 놓여 있고 점광원에서 사방으로 고르게 빛이 방출되고 있다. 만일 방출된 빛이 공기 중으로 나오지 못하도록 공기와 액체 II의 경계면 위에 불투명한 원판을 놓을 때 원판의 반지름이 최소 얼마가 돼야 하는지를 a, b, n1, n2로 표현하라. (단 공기의 굴절률을 1로 한다.) 전문가 클리닉
스넬의 법칙을 이용해 전반사가 일어나기 위한 조건을 찾는 문제입니다. 그림에서 알 수 있듯이 전반사가 일어났다는 점은 굴절파의 굴절각이 90°임을 의미합니다. 이렇게 스넬의 법칙을 이용하면 전반사가 일어나게 하기 위한 임계각도 구할 수 있습니다.
예시답안
1) 입사각이 θi이고 굴절각이 90°인 경우이므로 스넬의 법칙에서n1sinθ1=n2sin90°=n2가 된다. 즉 sinθ1=n2/n1나 θ1=sin-1 n1/2가 된다. 이때 0‹sinθ1‹1이 성립하므로 n2‹n1의 조건이 나온다.
Q3
제시문 (라)와 (마)를 읽고 다음 물음에 답하라.
1) 볼록렌즈를 지날 때 색수차가 생기는 원인을 파장과 굴절률의 관계를 들어 설명하라. (단 f는 가시광선 영역의 중간 값인 약 575nm 파장의 빛이 모이는 지점이다.)
2) 오목렌즈를 지날 때 파장에 따른 빛의 경로를 오목렌즈의 초점 변화를 들어 설명하라. (단 f는 약 575nm 파장의 빛이 지날 때 오목렌즈의 초점이다.)
3) 1), 2)를 바탕으로 망원경의 색수차를 줄이는 방법을 고안하라.
4) 물속에서 망원경을 볼 때 망원경의 색수차 변화를 설명하라. (단 유리의 굴절률>물의 굴절률>공기의 굴절률이라 한다.)
전문가 클리닉
유리로 만들어진 렌즈를 통과할 때 빛의 굴절되는 정도는 빛의 파장에 따라 달라집니다. 볼록렌즈와 오목렌즈의 굴절 특성을 잘 이해하면 이 둘을 결합해 망원경의 색수차를 줄일 수 있습니다. 마지막 문제는 빛이 통과하는 두 매질이 공기와 유리에서 물과 유리로 바뀌면서 굴절률 차이가 더 줄었다는 점에 착안해 문제를 해결합니다.
