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자연계논술에는 소재는 달리하면서 자주 출제되는 주제가 많다. 이번에 다룰 ‘로지스틱 곡선’은 보통 S-곡선이라고 불리며 특정 환경 속에서 개체수 변화를 나타낼 때 자주 이용된다. 벨기에의 수학자 베르휼스트가 1838년에 인구증가과정의 법칙을 설명하면서 이 원리를 밝혀냈다. 이 곡선의 배후에 놓여 있는 개념은 ‘어느 사물의 성장속도는 현재의 상태가 포화상태에서 멀수록 빠르고, 포화상태에 가까워질수록 느리다’라는 것이다. 로지스틱 곡선은 인구의 변동이나 내구 소비재의 보급과정 등 광범위한 자연과 사회현상을 설명하는데 이용된다. 주제별 유형에 대한 특징과 학습법을 점검하자.
※ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하라.
제시문_가
생물계에서 한 종의 시간에 대한 개체수 변화를 예측하기 위해 많은 요소를 고려해야 한다. 진화적 입장에서 한 개체는 더 많은 자손을 남기려는 단순한 목적을 가진다. 그러나 자손이 부모 세대의 도움 없이 살아가기 위해서는 충분한 시간이 필요하며 환경적인 요소도 무시할 수 없다. 이런 이유로 한 세대가 자손을 낳는 비율은 거의 일정하게 정해진다. 한 세대의 간격이 개체수의 변화를 살피는 시간에 비해 무시할 수 있을 만큼 짧은 경우에는 개체수 변화를 개체수의 증가율로 표현하는 간단한 모형을 고려해 볼 수 있다. 비례상수가 양수면 개체수가 기하급수적으로 증가하고 음수면 기하급수적으로 감소한다. 하지만 여러 변인에 의해 실제 종의 개체수는 좀 더 복잡한 양태를 나타낸다.
제시문_나
2000년 5월 4일 ‘러브버그’라는 별명을 가진 바이러스가 전 세계 컴퓨터 시스템에 과부화를 걸었고 전자업계는 큰 혼란에 빠졌다. 필리핀의 수도 마닐라의 한 개인 컴퓨터가 보낸 러브버그는 빠르게 확산됐고 전 세계 이메일 서버의 1/10정도를 마비시켰다. 바이러스는 ‘I Love You’라는 제목의 전자메시지를 통해 전 세계로 전해졌다. 수신자들이 바이러스가 포함된 메시지의 첨부 파일을 여는 순간 그들 모르게 바이러스가 컴퓨터에 침투했다. 러브버그는 컴퓨터 하드드라이브에 있는 정보와 파일을 공격하기 전에 자기복제를 해 자동으로 컴퓨터 e메일 주소록에 있는 모든 주소로 바이러스를 보냈다.
러브버그는 빠르게 확산되는 바이러스였지만 최초의 바이러스는 아니었다. 컴퓨터와 전자통신이 중요해지고 정교해지면서 전자 바이러스는 흔해졌고 위험한 존재가 됐다. 러브버그 바이러스가 기존 바이러스에 비해 매우 빠르게 전 세계로 확산된 이유는 그만큼 전 지구적 상호연관성이 높아졌기 때문이었다.
Q 1
제시문 (가)에 나온 종의 개체수에 대한 모형을 수리적으로 분석해 정리하라.
전문가 클리닉
보통 J-곡선이라 불리는 기하급수적 성장 모형으로 표현되는 상황을 이해하고 이를 수식적인 모형으로 표현하는 능력이 필요합니다.
예시답안
불연속 모형을 가정할 경우 n번째 세대 개체수를 an이라 가정하면 개체수가 일정하게 증가하는 관계는 다음과 같이 표현된다. 여기서 r은 세대 간 개체수 증가비율이다.
an+1=r·an
an+1- an=(r-1)·an
개체수의 변화를 연속으로 파악했을 때 시간에 따른 변화량(an+1- an)은 현재 개체수(an)에 비례한다. 세대 간의 간격이 무시할 정도로 짧다고 가정하면 시간에 따른 개체수 변화는 연속함수다. 시간 t에 따른 개체수를 N(t)라 할 때 시간에 대한 개체수의 증가율이 그 시간의 개체수에 비례한다. 식으로 표현하면 다음과 같다.
dN/dt=kN(t) (k는 비례상수)
1/N dN/dt=k
양변을 t로 적분하고 N(t)로 정리하면 다음과 같다.
그래프로 표현하면 기하급수적으로 증가하거나 감소하는 그래프가 나온다.
Q 2
바이러스에 감염된 컴퓨터 한 대가 네트워크를 통해 바이러스를 퍼트리는 속도는 일정하다. 초반에 네트워크에서 바이러스에 감염된 컴퓨터의 증가율은 바이러스에 감염된 컴퓨터의 수에 비례한다. 하지만 바이러스가 높은 비율 로 감염된 뒤에는 바이러스에 감염된 컴퓨터의 증가율이 감염되지 않은 컴퓨터의 수에 비례한다. 이런 특징을 활용해 시간에 따라 감염된 컴퓨터의 수가 어떻게 변할지 추정하라. 단 네트워크에 연결된 컴퓨터 총 수는 K대다.
전문가 클리닉
문제에서 언급된 내용을 미분방정식 형태로 수식화해야 합니다. 수식을 그래프로 나타낸 다음 그를 활용해 전체적인 추세를 분석합니다.
예시답안
시간에 따른 감염된 컴퓨터의 수를 N(t)라 하면 초반에는 시간에 따른 감염 컴퓨터 수의 증가율이 감염된 컴퓨터의 수에 비례한다고 했으므로 이를 식으로 나타내면 다음과 같다.
dN/dt ∝ N(t)… ①
네트워크의 대부분이 감염된 후반부에는 감염 컴퓨터의 증가율이 감염되지 않은 컴퓨터의 수에 비례하므로
dN/dt ∝ (K-N(t))… ②
이다. 이를 종합하면 다음과 같다.
dN/dt = kN(t)(k-N(t)/K)(k는 비례상수) … ③
N(t)가 K보다 훨씬 작은 감염 초반에는 K-N(t)?K가 돼 식 ①로 근사된다. 감염 후반에는 N(t)?K가 돼 식 ③이 식 ②로 근사된다. 0?N(t)≤K일 때 다음 식이 성립한다.
이 식을 도식하면 <그림 2>와 같이 S자 형태의 그래프가 그려진다. 그래프에 따르면 K가 증가함에 따라 증가율의 변화가 감소해 결국 K값에 수렴한다.
생각해 보기 1
dN/dt= kN(t)(k-N(t)/K)와 같은 미분방정식의 결과로 나오는 N(t) 그래프를 로지스틱 곡선이라고 한다. 로지스틱 곡선과 관련된 문제는 2008학년도 입시에서 여러 번 출제됐고 올해에도 출제될 것으로 보인다. 아직 미분방정식을 풀어서 N(t)를 구하는 문제는 출제되지 않았으나 최상위권 대학에서는 미분방정식을 푸는 단계까지 요구할 수 있다.
직접 N(t)를 구하지 않더라도 dN/dt= kN(k-N/K)
의 그래프를 이용해 N(t)의 특징을 추론할 수 있다. N에 따른 dN/dt 의 변화를 그래프로 그리면 다음과 같다. 좌표축이 N과 dN/dt 인 점에 유의한다.
kN(K-N/K)은 최고차항이 음수인 N의 이차함수이고 x축과 교점은 0과 K이다. 0＜N(t) ≤K 범위 내에서 dN/dt ≥0이므로 항상 증가함수다. N(t)→0으로 접근하거나 N(t)→K로 접근하면 dN/dt →0으로 접근해 기울기는 궁극적으로 0에 근접하고 함수값이 수렴한다. 또 N(t)=K/2 일 때 N(t)의 기울기는 최대가 된다.
생각해 보기2
로지스틱 방정식 dN/dt= kN(t)(k-N(t)/K)에 대한 두 가지 근사에 대해 더 자세히 살펴보자.
1) t가 작아서 N(t)≪인 경우
주어진 식에서 K-N/K ? K/K=1이므로
dN/dt= kN(t)
이고 N(t)를 정리하면 다음과 같다.
N(t)=N(0)ekt
2) 충분한 시간이 지나서 N(t)?K인 경우
로지스틱 방정식은 다음과 같이 근사가 가능하다.
dN/dt ?k(K-N)
이를 N(t)로 정리하면 다음과 같다.
N(t)=(N(0)-K)e-kt+K
로지스틱의 S-곡선을 포함해 3가지 곡선을 한 그래프에 표현하면 <그림 4>와 같다.
생각해 보기3
로지스틱 곡선에서 특정 개체군의 개체수 변화를 설명하는 모형을 유도해 낼 수 있다. 로지스틱 곡선을 만드는 모형의 경우 개체수의 변화(dN/dt)가 현재의 개체수 N(t)의 함수인 N(K-N/K)에 비례하는 연속된 모형이였다면 개선된 모형은 불연속적 모형이다.
이 모형에서 (n+1)번째 개체수는 그 이전인 n번째 개체수에 영향을 받는다. 또 식의 형태도 로지스틱 곡선의 식과 비슷하다.
N(n+1)=kN(n)(K-N(t)/K)
앞의 식과 같은 모형은 현재 개체수가 x, 다음 시기의 개체수를 y로 표현할 때 y=kx(k-χ/K) 로 구하는데 N(t) 또는 y의 값을 추적하면 개체수의 변화를 알 수 있다. 이를 로지스틱 사상이라고 한다.
<그림 5>와 <그림 6>은 로지스틱 사상 모형에서 k=2.8일 때와 k=4일 때 N(t)값을 추적해 n과 N(n)을 축으로 나타낸 것이다.
※ 다음 제시문을 읽고 물음에 답하라.
제시문_가
생물계에서 한 종의 시간에 대한 개체수 변화를 예측하기 위해 많은 요소를 고려해야 한다. 진화적 입장에서 한 개체는 더 많은 자손을 남기려는 단순한 목적을 가진다. 그러나 자손이 부모 세대의 도움 없이 살아가기 위해서는 충분한 시간이 필요하며 환경적인 요소도 무시할 수 없다. 이런 이유로 한 세대가 자손을 낳는 비율은 거의 일정하게 정해진다. 한 세대의 간격이 개체수의 변화를 살피는 시간에 비해 무시할 수 있을 만큼 짧은 경우에는 개체수 변화를 개체수의 증가율로 표현하는 간단한 모형을 고려해 볼 수 있다. 비례상수가 양수면 개체수가 기하급수적으로 증가하고 음수면 기하급수적으로 감소한다. 하지만 여러 변인에 의해 실제 종의 개체수는 좀 더 복잡한 양태를 나타낸다.
제시문_나
2000년 5월 4일 ‘러브버그’라는 별명을 가진 바이러스가 전 세계 컴퓨터 시스템에 과부화를 걸었고 전자업계는 큰 혼란에 빠졌다. 필리핀의 수도 마닐라의 한 개인 컴퓨터가 보낸 러브버그는 빠르게 확산됐고 전 세계 이메일 서버의 1/10정도를 마비시켰다. 바이러스는 ‘I Love You’라는 제목의 전자메시지를 통해 전 세계로 전해졌다. 수신자들이 바이러스가 포함된 메시지의 첨부 파일을 여는 순간 그들 모르게 바이러스가 컴퓨터에 침투했다. 러브버그는 컴퓨터 하드드라이브에 있는 정보와 파일을 공격하기 전에 자기복제를 해 자동으로 컴퓨터 e메일 주소록에 있는 모든 주소로 바이러스를 보냈다.
러브버그는 빠르게 확산되는 바이러스였지만 최초의 바이러스는 아니었다. 컴퓨터와 전자통신이 중요해지고 정교해지면서 전자 바이러스는 흔해졌고 위험한 존재가 됐다. 러브버그 바이러스가 기존 바이러스에 비해 매우 빠르게 전 세계로 확산된 이유는 그만큼 전 지구적 상호연관성이 높아졌기 때문이었다.
Q 1
제시문 (가)에 나온 종의 개체수에 대한 모형을 수리적으로 분석해 정리하라.
전문가 클리닉
보통 J-곡선이라 불리는 기하급수적 성장 모형으로 표현되는 상황을 이해하고 이를 수식적인 모형으로 표현하는 능력이 필요합니다.
예시답안
불연속 모형을 가정할 경우 n번째 세대 개체수를 an이라 가정하면 개체수가 일정하게 증가하는 관계는 다음과 같이 표현된다. 여기서 r은 세대 간 개체수 증가비율이다.
an+1=r·an
an+1- an=(r-1)·an
개체수의 변화를 연속으로 파악했을 때 시간에 따른 변화량(an+1- an)은 현재 개체수(an)에 비례한다. 세대 간의 간격이 무시할 정도로 짧다고 가정하면 시간에 따른 개체수 변화는 연속함수다. 시간 t에 따른 개체수를 N(t)라 할 때 시간에 대한 개체수의 증가율이 그 시간의 개체수에 비례한다. 식으로 표현하면 다음과 같다.
dN/dt=kN(t) (k는 비례상수)
1/N dN/dt=k
양변을 t로 적분하고 N(t)로 정리하면 다음과 같다.
그래프로 표현하면 기하급수적으로 증가하거나 감소하는 그래프가 나온다.
Q 2
바이러스에 감염된 컴퓨터 한 대가 네트워크를 통해 바이러스를 퍼트리는 속도는 일정하다. 초반에 네트워크에서 바이러스에 감염된 컴퓨터의 증가율은 바이러스에 감염된 컴퓨터의 수에 비례한다. 하지만 바이러스가 높은 비율 로 감염된 뒤에는 바이러스에 감염된 컴퓨터의 증가율이 감염되지 않은 컴퓨터의 수에 비례한다. 이런 특징을 활용해 시간에 따라 감염된 컴퓨터의 수가 어떻게 변할지 추정하라. 단 네트워크에 연결된 컴퓨터 총 수는 K대다.
전문가 클리닉
문제에서 언급된 내용을 미분방정식 형태로 수식화해야 합니다. 수식을 그래프로 나타낸 다음 그를 활용해 전체적인 추세를 분석합니다.
예시답안
시간에 따른 감염된 컴퓨터의 수를 N(t)라 하면 초반에는 시간에 따른 감염 컴퓨터 수의 증가율이 감염된 컴퓨터의 수에 비례한다고 했으므로 이를 식으로 나타내면 다음과 같다.
dN/dt ∝ N(t)… ①
네트워크의 대부분이 감염된 후반부에는 감염 컴퓨터의 증가율이 감염되지 않은 컴퓨터의 수에 비례하므로
dN/dt ∝ (K-N(t))… ②
이다. 이를 종합하면 다음과 같다.
dN/dt = kN(t)(k-N(t)/K)(k는 비례상수) … ③
N(t)가 K보다 훨씬 작은 감염 초반에는 K-N(t)?K가 돼 식 ①로 근사된다. 감염 후반에는 N(t)?K가 돼 식 ③이 식 ②로 근사된다. 0?N(t)≤K일 때 다음 식이 성립한다.
이 식을 도식하면 <그림 2>와 같이 S자 형태의 그래프가 그려진다. 그래프에 따르면 K가 증가함에 따라 증가율의 변화가 감소해 결국 K값에 수렴한다.
생각해 보기 1
dN/dt= kN(t)(k-N(t)/K)와 같은 미분방정식의 결과로 나오는 N(t) 그래프를 로지스틱 곡선이라고 한다. 로지스틱 곡선과 관련된 문제는 2008학년도 입시에서 여러 번 출제됐고 올해에도 출제될 것으로 보인다. 아직 미분방정식을 풀어서 N(t)를 구하는 문제는 출제되지 않았으나 최상위권 대학에서는 미분방정식을 푸는 단계까지 요구할 수 있다.
직접 N(t)를 구하지 않더라도 dN/dt= kN(k-N/K)
의 그래프를 이용해 N(t)의 특징을 추론할 수 있다. N에 따른 dN/dt 의 변화를 그래프로 그리면 다음과 같다. 좌표축이 N과 dN/dt 인 점에 유의한다.
kN(K-N/K)은 최고차항이 음수인 N의 이차함수이고 x축과 교점은 0과 K이다. 0＜N(t) ≤K 범위 내에서 dN/dt ≥0이므로 항상 증가함수다. N(t)→0으로 접근하거나 N(t)→K로 접근하면 dN/dt →0으로 접근해 기울기는 궁극적으로 0에 근접하고 함수값이 수렴한다. 또 N(t)=K/2 일 때 N(t)의 기울기는 최대가 된다.
생각해 보기2
로지스틱 방정식 dN/dt= kN(t)(k-N(t)/K)에 대한 두 가지 근사에 대해 더 자세히 살펴보자.
1) t가 작아서 N(t)≪인 경우
주어진 식에서 K-N/K ? K/K=1이므로
dN/dt= kN(t)
이고 N(t)를 정리하면 다음과 같다.
N(t)=N(0)ekt
2) 충분한 시간이 지나서 N(t)?K인 경우
로지스틱 방정식은 다음과 같이 근사가 가능하다.
dN/dt ?k(K-N)
이를 N(t)로 정리하면 다음과 같다.
N(t)=(N(0)-K)e-kt+K
로지스틱의 S-곡선을 포함해 3가지 곡선을 한 그래프에 표현하면 <그림 4>와 같다.
생각해 보기3
로지스틱 곡선에서 특정 개체군의 개체수 변화를 설명하는 모형을 유도해 낼 수 있다. 로지스틱 곡선을 만드는 모형의 경우 개체수의 변화(dN/dt)가 현재의 개체수 N(t)의 함수인 N(K-N/K)에 비례하는 연속된 모형이였다면 개선된 모형은 불연속적 모형이다.
이 모형에서 (n+1)번째 개체수는 그 이전인 n번째 개체수에 영향을 받는다. 또 식의 형태도 로지스틱 곡선의 식과 비슷하다.
N(n+1)=kN(n)(K-N(t)/K)
앞의 식과 같은 모형은 현재 개체수가 x, 다음 시기의 개체수를 y로 표현할 때 y=kx(k-χ/K) 로 구하는데 N(t) 또는 y의 값을 추적하면 개체수의 변화를 알 수 있다. 이를 로지스틱 사상이라고 한다.
<그림 5>와 <그림 6>은 로지스틱 사상 모형에서 k=2.8일 때와 k=4일 때 N(t)값을 추적해 n과 N(n)을 축으로 나타낸 것이다.
