Q
양수 n에 대해서 1과 n 사이에 숫자 1이 나오는 횟수를 나타내는 함수를 f(n)이라고 한다. 예를 들어 f(1)=1, f(2)=1, f(13)=5이다. f(n)=n이 되는 첫 번째 양수는 1이다. 두 번째 양수는 무엇인가?
A
이 문제는 미국의 인터넷 검색 기업으로 유명한 구글(google.com)이 2004년 적성검사에 출제한 것으로 최근 몇몇 일간지를 통해 국내에도 알려졌다. 수학적인 아이디어로 출발한 회사여서 그런지, 구글은 이런 식으로 수학적인 문제 해결력을 평가하는 독특한 문제를 입사시험에 자주 낸다.
이 문제를 푸는 방법은 별로 어렵지 않다. 하나하나 체계적으로 세어보면 된다. 물론 요령은 좀 필요하다. 우선 1~9에서는 1이 1번 나오고, 10~99에서는 19번(1×9+10), 100~999에서는 280번(20×9+100)…. 이런 식으로 나타난다. 즉 f(9)=1, f(99)=20, f(999)=300이므로 이를 일반적인 함수로 표현하면 f(10n-1)=n×10n-1 이 된다.
f(n)의 값은 n이 커지면서 급격히 늘기도 하고 계속 변하지 않기도 한다. f(n)보다 f(n+1)이 더 빨리 커지는 경우는 앞자리에 1이 많을 때다. 따라서 n이 1로 시작하는 경우를 조사해 보면 f(19)=f(9)×2+10=12, f(199)=f(99)×2+100=140, f(1999)=f(999)×2+1000=1600, f(19999)=f(9999)×2+10000=18000, f(199999)=f(99999)×2+100000=200000이 된다. 따라서 문제의 정답이 199999보다 약간 작다는 것을 알 수 있다. 계산해보면 정답은 199981이다.
구글은 2004년 ‘{자연상수 e를 십진 전개할 때 연속된 10개의 숫자로 이뤄진 첫 번째 소수}.com’이라는 수학 문제만 담긴 간판을 실리콘밸리 중심가를 통과하는 고속도로에 세워 놓기도 했다. 정답은 7427466391이다. 이 문제를 풀어 http://7427466391.com에 접속하면 2번째 관문인 다른 문제가 제시된다.
구글은 퍼즐풍의 수학 문제뿐만 아니라 검색 기술의 발전 방향을 묻는 다소 노골적인(?) 문제를 내는가 하면 특정 계절에 발생하는 검색 트래픽을 묘사하는 하이쿠(5·7·5조의 일본 전통시 양식)를 쓰라는 재기발랄한 문제를 내기도 했다.
또 무한히 넓은 정사각형 모양의 격자에서 두 교차점 사이의 저항이 1Ω일 때, 한 점과 그 점에서 장기의 마(馬)가 움직여서 도착한 점 사이의 저항을 구하라는 문제가 있었는데, 이는 아예 논문의 일부를 문제로 바꾼 것이다. 정답은 Ω인데, 이 값을 얻으려면 꽤 복잡한 식을 적분해야 한다.
참고로 구글 면접에는 네 사람이 하나의 손전등으로 다리를 건너는 최단시간을 구하라(과학동아 2005년 9월호 수학퍼즐)는 문제도 있었다고 하니, 이 코너 열심히들 보시길.
지난달 정답 _ <; 180 >;
