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Q

도심 한복판에 악당이 설치한 폭탄을 찾기 위해 악당의 지시대로 분수대에 도착한 당신에게 다음 문제가 주어졌다. 어떻게 해야 할까?
‘3리터와 5리터짜리 물통 2개가 있다. 분수대의 물을 이용해 정확히 4리터를 담아라.’

A

브루스 윌리스, 제레미 아이언스, 새뮤얼 잭슨이 주연한 영화 ‘다이하드 3’에 등장해 유명해진 이 문제는 원래 19세기의 수학자 푸아송(Poisson)이 낸 문제와 유사하다. 영화에서는 두 주인공이 어찌어찌 하다 3리터들이 물통에 물 2리터를 남겼고, 5리터짜리 물통을 가득 채운 다음 1리터를 덜어내는 것으로 문제를 해결한다. 영화에서는 한참 걸려 문제를 해결하지만 사실 그리 어려운 문제는 아니다. 수학적으로는 미지수의 개수가 방정식의 개수보다 많은 ‘부정방정식’을 이용해 쉽게 풀 수 있다. 다시 말해 3x+5y=4의 정수해를 구하는 것으로 문제를 해결할 수 있다.

예를 들어 이 방정식의 해 가운데 3×(-2)+5×2=4를 생각할 수 있는데, 이 해를 이용하면 다음 절차에 따라 4리터를 만들 수 있다. 우선 5리터들이 통에 물을 가득 채웠다가 3리터짜리 물통에 덜어낸 뒤 그 물을 버린다(5-3). 그런 다음 5리터들이 통에 남아있던 물 2리터를 3리터짜리 물통으로 옮긴다. 이제 5리터들이 통에 물을 다시 가득 채운다. 이 물을 물 2리터가 들어있는 3리터짜리 물통에 가득 차게 옮기면 4리터가 남는다(5-3+5). 마지막으로 3리터짜리 물통에 담긴 물은 버린다(5-3+5-3=4).

푸아송이 남긴 원래 문제는 이것과 약간 달라서 3, 5, 8리터짜리 물통 3개를 주고 8리터짜리 물통에 가득 찬 물을 4리터짜리 둘로 나누라고 한다. 푸아송은 삼각형 좌표를 이용해 이 문제를 멋지게 해결했다.
 

(그림 1)에서 OA는 5리터짜리 물통에 남은 물의 양을, OB는 3리터짜리 물통에 남은 물의 양을 나타낸다.

3리터짜리 물통에 3리터보다 많은 물을 담을 수 없고 5리터짜리 물통에 5리터보다 많은 물을 담을 수 없다. 따라서 이 그림에서 표현할 수 있는 위치는 붉게 표시한 곳들뿐이다. 또 이 그림에서 물통을 채우거나 비우는 과정은 축을 따라 이동하는 것으로 나타난다. 처음에 물은 8리터짜리 물통에만 있으니까 OA와 OB 모두 O인 곳이 출발점이 된다(파란색). 우리가 원하는 결과는 5리터짜리 통에 물이 4리터 남는 것이니까 초록색으로 나타낸 점이 도착점이 된다(그림 1). 앞의 풀이에서 3×(-2)+5×2=4(그림 2)와 3×3+5×(-1)=4(그림 3)를 나타내면 오른쪽과 같다.