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Q
도형과 관련된 퍼즐은 여러 종류가 있지만 그 중 분할 퍼즐의 일종인 렙타일(rep-tile)은 특히 인기가 높다. 렙타일은 주어진 도형을 그와 닮은 도형으로 나누는 것이다. 만약 어떤 도형을 n개의 도형으로 나누면 원래의 도형을 ‘렙-n’ 이라고 한다. 렙타일이란 이름도 ‘반복되는 타일’(repetitive tile)에서 딴 것으로 수학 퍼즐 분야의 대가 중 대가인 솔로몬 골룸 교수가 만들었다. 아마 가장 간단하고 흔한 렙타일 도형은 프린터 용지로 많이 쓰이는 A4다. A4를 절반으로 자르면 A5가 되는데, 이는 원래 도형인 A4와 닮은 도형이다. A4는 렙-2 도형인 것이다.

6개의 정삼각형을 모아 옆 그림과 같이 만든 도형은 스핑크스로 불린다. 이 도형을 똑같은 크기의 스핑크스 4개로 분할할 수 있을까? 즉 스핑크스는 과연 렙-4 도형일까?
 

A
렙타일 도형을 분할하는 문제는 상당히 기교적인 경우가 많기 때문에 모든 경우에 적용되는 간단한 방법은 없다. 하지만 이 문제의 경우 스핑크스를 24개의 작은 정삼각형으로 나눈 다음 6개의 정삼각형을 적당히 모아 작은 스핑크스를 만들면 문제를 해결할 수 있다.
 

스핑크스가 렙-4 도형이라는 사실을 처음 발견한 사람은 골룸 교수였는데, 이것은 지금까지 발견된 유일한 렙-4 오각형이기도 하다(그림 1). 같은 요령으로, 6×9=54 개의 작은 정삼각형으로 스핑크스를 나눴다가 다시 6개의 정삼각형을 모으면 스핑크스가 렙-9 도형임을 확인할 수 있다(그림 2).

이런 방법을 이용하면 퍼즐 책에서 흔히 볼 수 있는 오른쪽 도형 또한 렙-4(그림 3)면서 동시에 렙-9(그림 4)가 됨을 알 수 있다.

이 외에도 지금까지 발견된 모든 렙-4 도형은 모두 렙-9 도형이 되고, 역으로 지금까지 발견된 모든 렙-9 도형은 모두 렙-4 도형이 된다. 하지만 이것이 단순한 우연의 일치인지 아닌지에 대해서는 알려져 있지 않다. 다만 도형이라도 다각형이라는 조건이 없으면 렙-4 도형(그림 5)과 렙-9 도형(그림 6)이 일치하지 않는 경우도 있다. (그림 5)는 렙-4지만 렙-9가 아닌 도형이고 (그림 6)은 렙-9지만 렙-4가 아닌 도형이다.

혹시 모든 렙-4 다각형이 항상 렙-9 다각형이 됨을 증명했거나 그 반례를 발견하신 분은 필자에게 메일을 보내주기 바란다. 새로운 렙-4 오각형을 발견한 경우도 마찬가지.