최근 2002학년도 각 대학별 1학기 수시모집 결과가 발표됐다. 그 결과 연세대, 고려대, 이화여대 등 주요 대학에서 심층면접이 당락을 좌우했다는 신문보도가 있었다. 대학입시의 새로운 변수로 등장한 심층면접. 이번호 과학동아에서는 기존에 출제됐던 가로따로 세로따로에 대해 설명하고, 출제가 예상되는 크기와 표면적, 관성력∙원심력∙전향력에 대해 다뤘다.
1 크기와 표면적
‘규모’는 과학이나 공학에서 가장 기초적인 문제 가운데 하나다. 걸리버 여행기에 나오는 거인은 왜 불가능한지, 왜 하나의 세포가 계속 커지지 않고 세포분열을 통해 여러개의 세포로 나눠지는지 등의 문제는 자연현상을 이해하는데 가장 기본적 주제다.
문 : 수정란이 생긴 다음에 세포는 왜 계속 커지지 않지요? 하나의 세포가 계속 커지지 않고 어느 정도 자라면 분열하는 이유가 무엇입니까?
답 : 세포가 살아가기 위해서는 외부와 계속 물질교환을 해야 합니다. 영양분과 산소를 받아들이고 노폐물과 이산화탄소를 내보내는 것이죠. 이러한 물질교환은 물론 표면을 통해 이뤄집니다. 그런데 세포가 계속 커지기만 하면, 몸집이 커지는데 비해 표면적은 별로 커지지 않습니다. 그래서 외부와 물질을 교환할 수 있는 표면적이, 커진 몸집에 비해 상대적으로 좁아지지요. 그 결과 외부와 효과적으로 물질을 교환하기 어렵게됩니다.
문 : 예를 들어 보세요. 필요하다면 그림을 그려도 좋고….
답 : 편의상 세포가 정육면체 모양이라고 해보죠. 한 변의 길이가 1cm라면 부피는 1cm3인데비해 외부와 물질을 교환할 수 있는 표면적은 6cm2입니다. 그런데 세포가 자라서 한변의 길이가 2cm가 된다면 부피는 8cm3인데 비해 표면의 면적은 24cm2가 됩니다. 그 사이에 부피는 8배로 늘었는데 표면적은 4배밖에 안되는 거죠. 즉 몸집이 증가한 것에 비해서 표면적은 오히려 상대적으로 감소한 셈입니다. 이런 현상은 몸집이 커질수록 점점 심해지고, 이로 인해 외부와의 물질교환 효율이 떨어지게 됩니다. 이런 문제를 극복하는 길은 세포분열을 해서 각기 몸집이 작은 세포들로 나눠지는 겁니다(그림1).
문 : 그러면 몸집이 작을수록 표면적이 비교적 넓어지겠네요?
답 : 예, 그렇습니다.
문 : 그러한 특성을 세포뿐 아니라 개체에도 적용할 수 있겠네요? 몸집이 작은 동물과 큰 동물은 몸집에 비한 표면적의 비율이 서로 다를거고, 이로 인해 여러가지 면에서 중요한 차이가 나타날 텐데…, 이에 대해서 말해보세요.
답 : 몸집이 작은 동물은 몸집에 비해 상대적으로 표면적이 넓기 때문에 외부로 빼앗기는 열이 많습니다. 이를 보충하기 위해 체내에서 발열반응(즉 호흡)을 더 많이 하지요. 그래서 호흡 회수도 많고, 몸집에 비해 많은 에너지를 소비합니다. 즉 대사율이 높은 겁니다. 반면 몸집이 큰 동물은 상대적으로 표면적이 좁기 때문에 외부로 빼앗기는 열이 적습니다. 그래서 대사율은 낮은 편이고, 모든 게 작은 동물과 반대가 되지요.
문 : 그렇다면 서식지가 더운 곳이냐 추운 곳이냐에 따라 몸집이 달라져야 할 것 같은데…. 여기에 대해 어떻게 생각해요?
답 : 물론 몸집이 클수록 추운데 살기 유리할겁니다. 표면적이 상대적으로 좁으니까 열을 덜빼앗길 거고, 따라서 체온을 유지하는데 유리하겠지요. 더운 곳은 그 반대이겠구요.
문 : 더운 곳은 표면적이 상대적으로 넓은게 유리하다, 이건가요?
답 : 예, 그래야만 체내의 열이 효과적으로 빠져나갈 거고, 체온이 지나치게 높아지는 걸 예방할 수 있지요.
문 : 표면적을 넓힐 수 있는 다른 방법은 없을까요?
답 : 있습니다. 올록볼록한 구조를 가지고 있으면 표면적이 그만큼 늘어나지요. 예를 들면 북극 지방에 사는 늑대는 귀가 뭉툭하고 짧은데 비해 사막 지방에 사는 여우는 귀가 길어서 마치 토끼처럼 보이는 종도 있거든요. 이런 식으로 몸의 말단부가 튀어나와 있으면 그로 인해 표면적이 넓어집니다.
문 : 주제를 바꿔 좀 다른 걸 물어보지요. 걸리버 여행기에 나오는 거인이 만약 실제로 존재 한다면 그 모습이 보통 크기의 사람에 비해 다리가 훨씬 두꺼운 형태여야 한다고 합니다. 왜 그렇지요?
답 : 아, 그건 이런 이유 때문입니다. 키가 2배 커지면서 몸의 각 부분이 비례해서 커진다면, 몸의 부피는 23배, 즉 8배 정도 증가할 겁니다. 그러면 무게도 대략 8배 커지지요. 그런데 지탱할 수 있는 무게는 기둥의 단면적에 비례하거든요. 몸이 비례해서 커졌기 때문에 다리의 굵기는 2배 커졌고, 따라서 다리의 단면적은 22배, 즉 4배 정도 커집니다. 무게를 지탱할 수 있는 다리의 단면적은 4배밖에 안커졌으니까 무게가 8배나 커진 몸을 지탱하긴 어렵겠죠. 그래서 다리가 상대적으로 더 두꺼워져야 하는 것입니다(그림2).
문 : 더 두꺼워지지 않게 하고서 만들 방법은 없을까요?
답 : 재질의 강도가 더 높은 걸 사용하면 됩니다. 아까 답변할 때는 작을 때나 클 때나 같은 재질을 사용하는 것으로 가정하고 말씀드렸는데요, 만약 충분히 높은 강도의 재질로 바꿀 수 있다면 다리를 더 두꺼워지지 않게 하고서도 거인을 만들 수 있습니다.
요약
몸집이 커지면 부피에 대한 표면적의 비율이 낮아진다. 즉 몸집에 비해 표면적이 상대적으로 좁아지는 것이다. 이로 인해 (세포에서) 외부와의 물질교환 효율이 떨어지며, (개체에서) 외부로의 열손실이 적어진다. 또한 몸집이 커지면 무게는 대략 길이의 3제곱에 비례해 커지는데 비해 이를 지탱할 수 있는 기둥(다리)의 단면적은 2제곱에 비례해 커지므로, 재질의 강도가 동일하다면 커진 몸집을 지탱할 수 없다.
관련단원
세포분열의 원인 및 표면적이 극대화되는 구조에 대해서는 공통과학과 생물Ⅱ의 여러 단원에서 다루고 있다. 또한 공통과학 및 화학Ⅱ의‘반응속도’단원에서 알갱이의 크기가 작아질수록 표면적이 넓어지므로 인해 반응속도가 빨라진다고 설명하고 있다.
생각해볼문제
■추운 지방에 사는 동물은 주변 환경에 적응하기 위해 어떤 특성의 신체 구조를 갖고 있는가?
■건물을 높이 지을수록 기둥이 차지하는 비율이 높아져서 실제로 사용할 수 있는 면적은 생각만큼 증가하지 않는다. 왜 그러한가? 또 어떻게 하면 이런 현상을 막을 수 있겠는가?
■1999년 서울대에서는 실험실에서 알루미늄 가루가 폭발해 대학원생이 사망하는 사고가 있었다. 어떻게 알루미늄이 폭발할 수 있는가?
2 관성력·원심력·전향력
일반적으로 어떤 장치가 가속도운동을 한다면 그 안에 있는 물체엔 관성력이 작용한다. 그러나 엄밀히 봤을 때 관성력은 실제로 작용하는 힘이 아니며 편의상 설정해 놓은 힘에 불과하다. 물리Ⅱ에서 다루는 원심력과 지구과학Ⅱ에서 다루는 전향력도 관성력의 부분집합으로 간주할 수 있다.
문 : 버스가 등속운동하면 손잡이가 아래로 늘어뜨려져 있는데 버스가 빨라지면 손잡이가 뒤쪽으로 기울어지잖아요. 그 이유를 한번 설명해보세요.
답 : 일단 손잡이 부분을 버스와는 별도의 물체로 설정해보겠습니다. 만약 버스가 10m/초로 운동하고 있었다면, 손잡이도 관성의 법칙에 따라 10m/초로 등속운동을 하려 할겁니다. 버스가 계속 등속운동한다면 버스도 1초당 10m, 손잡이도 1초당 10m 운동하므로 결국 버스와 손잡이는 나란히 운동하게 되죠. 즉 기울어지지 않게 됩니다. 그런데 만약 10m/초로 운동하던 버스가 어떤 순간부터 빨라지기 시작하면, 이제 빨라진 이후 1초 동안에 버스는 10m 이상을 가게 될 겁니다. 그런데 손잡이는 버스와 별도의 물체로서 그냥 관성의 법칙에 따라 등속운동을 해서 10m만 가려 합니다. 그러면 버스의 이동거리와 손잡이의 이동거리 사이에 불균형이 생기고, 그로 인해 기울어지게 됩니다(그림1).
문 : 그런 식의 설명은‘관성력이 뒤쪽으로 작용했다’는 설명하고는 많이 다른데요. 관성력 개념을 이용해 설명해 보세요.
답 : 관성력이란 사실 진짜로 작용하는 힘이 아닙니다. 흔히들 이 경우에‘관성력이 뒤쪽으로 작용해 손잡이가 기울어졌다’고 말하곤 하는데, 실제로 어떤 힘이 뒤쪽으로 작용한 것은 아니잖아요. 단지 버스 안에 타고 있는 사람의 입장에서는 자연스럽게 버스를 기준으로 보게 되므로 손잡이가 마치 뒤쪽으로‘힘을 받는 것처럼’보일 뿐입니다. 여기서 편의상‘관성력이 작용했다’는 표현을 쓰는 것이죠.
문 : 아까 설명했던 방식과 지금 관성력을 이용한 설명한 방식은 정확히 뭐가 다른 거죠?
답 : 결국 버스 밖에 정지한 사람의 입장에서는 그냥‘관성의 법칙’으로 설명이 끝납니다. 즉‘관성력’이라는 개념은 전혀 필요가 없지요. 반면 버스 안에 타고 있는 사람의 입장에서는 버스를 기준으로 생각하게 되지 않겠습니까? 따라서 좀전에 말씀드린 것처럼 손잡이에 뒤쪽으로 무슨 힘이 작용한 것처럼 보이게 됩니다. 실제로 힘이 작용한 것은 아님에도 불구하고 편의상‘관성력’이라는 개념을 도입한거죠.
문 : 관성력은 어떤 경우에 나타난다고 보나요? 그리고 그 크기는 어떻게 나타내지요?
답 : 일반적으로 가속도운동을 하는 물체에 타고 있을 때, 가속도운동하는 탈 것을 기준으로 보면 관성력이 나타납니다. 아니 정확히 표현하면‘나타나는 것처럼 보입니다’. 그리고 그방향은 가속도의 반대방향입니다. 크기는 질량(m)과 가속도(a)의 곱으로 나타냅니다.
문 : 질량과 가속도의 곱이라… 그건 운동 제2법칙과 같지 않나요?
답 : 운동 제 2법칙도 일반적으로 힘이 질량(m)과 가속도(a)의 곱으로 나타나니까 관성력의 크기를 나타내는 공식과 똑같아 보이는데, 그 의미는 전혀 다릅니다. 관성력 공식의 경우 질량은 안에 있는 물체의 질량이지만 가속도는 탈것의 가속도거든요. 그런데 운동 제2법칙에서는 질량도 물체의 질량이고 가속도도 그 물체의 가속도입니다.
문 : 그런데 원운동도 가속도운동이잖아요. 그러면 원운동할 때도 관성력이 나타날 텐데, 이때의 관성력에 대해서 말해 보세요.
답 : 원운동할 때 나타나는 관성력은 원심력입니다. 원심력이라는 이름을 붙이고 이런 힘이 작용하는 것처럼 말하지만, 이것은 원운동하는 물체에 작용하는 힘이 아닙니다(그림2).
문 : 그러면 원운동하는 물체에 작용하는‘진짜’힘은 무엇이죠?
답 : 원운동이 이뤄지기 위해서는 원궤도의 중심 방향으로 작용하는 힘이 필요한데, 이걸 구심력이라고 합니다. 이것이 바로 원운동하는 물체에 작용하는 알짜힘입니다.
문 : 아까 관성력은 가속도운동할 때 나타난다고 했죠. 지구도 계속 자전을 하고 있는데, 지구가 자전하기 때문에 마찬가지 현상이 나타나지 않나요?
답 : 북반구를 기준으로 볼 때, 운동하는 물체는 지구 자전으로 인해 항상 진행 방향의 오른쪽으로 휘어지는 경향이 나타납니다. 지구에 서있는 관찰자의 입장에서는 마치 오른쪽으로 힘을 받는 것처럼 보입니다. 이 상황이 바로 일종의 관성력이 작용한 경우인데, 여기에‘전향력’이라는 이름을 붙입니다. 물론 남반구에서의 전향력은 진행 방향의 왼쪽으로 작용합니다(그림3)
요약
가속운동하는 탈 것 안에서 물체에는 가속도의 반대 방향으로 힘이 작용하는 것처럼 보인다. 실제로 힘이 작용하는 것은 아니지만 가속운동하는 탈 것을 기준으로 볼 때 관성력이 작용한다고 간주한다. 원심력이나 전향력은 관성력의 부분집합으로 볼 수 있다. 관성력으로 설명되는 현상은, 탈 것 밖의 관찰자가 보기엔 그냥 관성의 법칙으로 설명되는 현상이다.
관련단원
관성력 및 원심력에 대해서는 공통과학에서도 일부 설명되고 있지만 엄밀한 해석은 물리Ⅱ에서만 소개된다. 전향력(코리올리의 힘)은 지구과학Ⅱ에서 지구 자전의 증거로 소개되며, 바람과 해류에 대한 분석에서 곧잘 나타난다. 예를 들어 고기압이나 저기압 중심 부근에서 바람이 휘어나가는 것은 전향력의 영향으로 해석된다.
생각해볼문제
■관성력은 반작용이 없다. 그 이유는 무엇인가?
■자동차가 빨라질 때, 자동차 안에 매달아 놓은 물체에 작용하는 힘을 ⅰ) 외부 관찰자의 입장에서, ⅱ) 자동차 안에서 봤을 때의 두가지 기준에서 분석해 보라. 마찬가지로 자동차가 회전할 때 안에 있는 물체에 작용하는 힘을 각각의 관점에서 분석해 보라.
■엘리베이터가 일정한 가속도로 하강운동을 할 때 안에 타고 있는 사람에 작용하는 힘을 ⅰ) 외부의 관찰자의 입장에서, ⅱ) 엘리베이터를 기준으로 봤을 때의 두가지 기준에서 분석해보라. 특히 엘리베이터가 자유낙하할 때는 어떻게 되는가?
3 가로따로 세로따로
제목 그대로 물체의 운동을 가로 방향과 세로 방향 성분으로 따로따로 나눠 파악하는 것은 2차원 운동을 분석하는 가장 중요한 방법이다. 고등학교 교과과정까지는 3차원 공간에서의 운동 분석은 다뤄지지 않는다. 대신 2차원 운동은 매우 자세히 다뤄지며, 출제 비율도 높은 편이다. 2000학년도 서울대 공대 수시전형에‘마이클 조던의 체공 시간을 계산하는 방법’을 묻는 문제가 출제됐고, 2002학년도 1학기 한양대 공대 수시전형에 빗면에서의 운동과 관련된 문제가 출제된 적이 있다.
문 : 이건 한 물체를 떨어뜨리면서 자유낙하시키는 동시에 다른 물체를 옆으로 던진 뒤 찍은 다중섬광사진입니다(그림1).
자유낙하한 것이나 옆으로 던진 것이나 바닥에 동시에 떨어지는 것을 볼 수 있는데, 왜 그렇지요?
답 : 옆으로 던진 투사체의 운동도 연직 방향만 보면 자유낙하와 똑같기 때문입니다.
문 : 옆으로 계속 진행하면서 떨어지잖아요. 그런데도 어떻게 자유낙하와 똑같다는 거죠?
답 : 옆으로 던져진 물체는 손에서 떨어진 직후부터 가로 방향으로 아무런 힘도 받지 않습니다. 따라서 가로 방향으로는 관성의 원리에 따라 등속운동을 하게 됩니다. 물론 연직 방향으로는 일정한 크기의 힘(즉 중력)을 받게 되며, 이로 인해 자유낙하와 동일한 운동(즉 일종의 등가속도운동)을 하게 됩니다. 결국 이 물체의 운동을 연직 방향만 파악해 보면 완전히 자유낙하와 똑같다는 결론이 나오지요(그림2).
문 : 그러면 가로 방향하고 세로 방향은 완전히 따로네요?
답 : 예. 세로 방향으로 받는 힘은 가로 방향의 운동에 영향을 주지 않습니다. 마찬가지로 가로 방향으로 받는 힘은 세로 방향의 운동에 영향을 주지 않고요.
문 : 그럼 일반적으로 v0의 속도로 지면에 대해 θ의 각도로 포탄을 발사한다면 어떤 운동을 하 게 되나요? 출발할 때 방향이 가로도 아니고 세로도 아닌 비스듬한 방향이잖아요.
답 : 그건 출발할 때의 속도 벡터를 가로 방향 성분과 세로 방향 성분으로 나눈 뒤 두 방향의 운동을 각각 파악하면 됩니다. 말씀하신 것처럼 초기 속도가 θ방향으로 v0이면, 그걸 두 성분으로 나눠서 가로 방향의 초기속도 v0cosθ와 세로 방향의 초기속도 v0sinθ로 설정할 수 있습니다. 이후 가로 방향으로는 힘을 받지 않으니까 등속운동이 계속돼서 가로 방향의 속도는 vx = v0cosθ가 되고, 가로 방향의 이동거리는 Sx = v0cosθ∙t가 됩니다. 세로 방향으로는 일정한 힘(중력)이 계속 작용해 가속도 -g의 등
가속도 운동을 하게 됩니다. 즉 세로 방향의 속도는 vy= v0sinθ- gt 가 되고, 세로 방향의 높이는 Sy = v0sinθ∙t- $\frac{1}{2}$g${t}_{2}$ 이 됩니다(그림3).
문 : 그러면 이 포탄의 궤적을 방정식으로 나타내려면 어떻게 하면 되지요?
답 : Sx와 Sy를 연립해 t를 소거하면 됩니다. 그러면 일종의 포물선을 나타내는 식이 나타납니다.
문 : 이건 콤프턴 효과를 보여주는 그림인데, 이걸 역시 가로 방향과 세로 방향으로 나눠서 파악해 보세요(그림4).
답 : 이건 hν의 에너지를 가지는 빛이 전자에 부딪혀서 산란되는 상황입니다. 이때 운동량 보존법칙에 따라 충돌 전의 총 운동량과 충돌 후의 총 운동량이 같습니다. 그런데 이걸 가로 방향과 세로 방향으로 나눠서 파악할 수 있습니다. 즉‘충돌 전 광자의 운동량 + 충돌 전 전자의 운동량 = 충돌 후 광자의 운동량 + 충돌후 전자의 운동량’이라는 관계식을 가로 방향으로 한개, 세로 방향으로 또 한개를 만들어낼 수 있죠.
문 : 그럼 이런 걸 생각해봅시다. 경사 θ인 빗면에서 물체가 내려오고 있을 때, 이 물체에 작용하는 힘을 어떻게 파악할 수 있지요?
답 : 이 경우에는 빗면 방향을 편의상 가로로 보고, 수직 방향을 세로로 보면 됩니다. 물체에는 중력 mg가 작용하는데, 이걸 빗면 방향과 수직 방향으로 나누면 각각 mgsinθ와 mgcosθ로 나눌 수 있습니다. 그런데 수직 방향 성분인 mgcosθ는 수직항력과 비기므로, 결국 물체를 움직이는 알짜힘은 mgsinθ가 됩니다(그림5).
문 : 그러면 이 물체에 마찰력이 작용할 때에는 어떻게 되지요?
답 : 그땐 이 물체에 작용하는 알짜힘은 ‘mgsinθ- 마찰력’이란 식이 되겠지요. 빗면에서의 운동마찰력이나 최대정지마찰력의 크기는 μmgcosθ로 나타나니까, 알짜힘은 mgsinθ - μmgcosθ가 될 겁니다.
요약
옆이나 비스듬한 방향으로 던진 포물선 운동체의 운동은 가로 방향과 세로 방향을 각각 나눠 분석할 수 있다. 그리고 각 방향의 위치를 표현하는 식에서 시간을 소거하면 궤적을 나타내는 포물선 방정식이 나타난다. 일반적으로 힘이나 초기속도가 비스듬한 방향일 때는 삼각비를 이용해 이것의 세로방향 성분과 가로방향 성분을 구분하고 각각의 성분을 따로 나눠 분석한다. 이런 분석 방법은 특히 빗면에서의 운동을 파악하는데 유용하다.
관련단원
옆방향 또는 비스듬한 방향으로 던진 물체의 운동은 물리Ⅱ의‘중력장 내의 운동’단원에서 자세히 다룬다. 운동량 보존은 물리Ⅱ의‘운동량과 그 보존’단원에서, 콤프턴 효과는‘빛과 물질의 이중성’단원에서 다루며 빗면에서의 운동은 공통과학‘힘의 법칙’단원에서 다룬다.
생각해볼문제
■직선으로 등속운동하는 우주선이 있다. 여기에 운동 방향에 대해 수직 방향으로 로켓을 분사해 일정한 힘을 가하면 로켓의 운동은 어떤 궤적을 그리며 어느 방향으로 변화하는가?
■(+)로 대전된 두 금속 구가 실에 매달린 채로 각각 수직에 대해 θ방향으로 기울어져 있다. 이때 금속구에 작용하는 힘 관계를 분석하고, 중력과 전기력의 관계식을 세워보라.
■빗면을 이용하여 마찰계수를 구하는 방법을 말해보라.
