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올림픽 금메달이 진짜가 아니라는 것은 모두가 아는 사실이다. 금메달은 단지 겉에 금을 입힌 것일 뿐이다. 당연히 비중이 다르기 때문에 똑같은 모양의 순금 메달과 그 무게가 다르다. 다음 세가지 문제에 도전해 보자.

(문제1)
50개짜리 금화 꾸러미가 5개 있다. 그 중 한 꾸러미에는 진짜 금화와 겉모습이 같은 가짜 금화만 들어 있다. 진짜 금화 하나의 무게는 5g이고, 가짜 금화 하나의 무게는 4g이라고 하자. 앉은 저울을 한번만 써서, 곧 무게를 한번만 재어 어느 것이 가짜 금화 꾸러미인지 맞춰 보자. 단 꾸러미끼리는 섞어도 된다.

(문제2)
앞의 문제가 너무 싱겁다면 다음 문제를 풀어보자. 5개의 꾸러미 가운데 몇개가 가짜 꾸러미인지 모르는 경우 어떻게 가짜 꾸러미들을 찾을 수 있을까? 앉은 저울을 한번만 써서 가짜 금화 꾸러미들을 찾아보자.

(문제3)
이제 한층 어려운 상황으로 가볼까. 2백개씩 금화가 들어있는 5개의 무더기가 있다. 각각의 무더기에는 1g, 2g, 3g, 4g, 5g짜리 금화로 채워져 있다. 진짜 금화의 무게는 5g이다. 앉은 저울을 한번만 써서 진짜 금화가 들어 있는 무더기를 찾아보자. 또 각각 어떤 무더기가 몇 g짜리 금화로 이뤄졌는지 알아보자.

■풀이
마지막 문제는 현실성이 떨어져 보인다. 그렇지만 1, 2, 3번 문제로 넘어갈수록 점점 더 일반적인 성격을 띠고 있는 것을 볼 수 있다. 그렇다면 그 일반적인 방법을 좀 더 발전시키면 어떤 상황이 주어지더라도 문제될 것이 없을 것이다. 이러한 것이 수학적 사고의 한 모습이다.
1. 5개의 꾸러미를 마음대로 각각 A, B, C, D, E라고 하자. A에서 1개, B에서 2개, C에서 3개, D에서 4개, E에서 5개를 꺼내 한데 모아 앉은 저울에 얹는다. 전부가 진짜라면 75g이 된다.

(문제1)은 그보다 몇 g 가벼울까로 어느 것이 가짜 금화인지 알 수 있다. 만일 1g이 가벼우면 A, 2g이 가벼우면 B, …, 5g이 가벼우면 E가 가짜 금화이다.

2. (문제1)과 마찬가지로 5개의 꾸러미를 각각 A, B, C, D, E라고 하자. A에서 1개, B에서 2개, C에서 4개, D에서 8개, E에서 16개를 꺼내어 한데 모아 앉은 저울에 얹는다.

전부가 진짜라면 1백55g이 된다. 이보다 몇 g이 가벼운지로 어느 것이 진짜 금화인지 알 수 있다. 만일 21g이 가벼우면 21=16+4+1이므로 A, C, E가 가짜 금화 꾸러미가 된다. 만약 15g 가벼우면 15=8+4+2+1이므로 A, B, C, D가 가짜 금화다.

지금까지의 풀이에서 기본원리를 생각해 보자. (문제2)의 방법으로 (문제1)도 풀 수 있다. 그렇다면 (문제3)은 어떻게 풀어야 할까. 해답은 다음 호에.