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운동량과 충격량의 원리를 알아두면 일상생활과 관련된 많은 현상들을 이해할 수 있다. 운동량 보존법칙은 마찰이 없는 우주공간에서 확실하게 증명된다.

시멘트 바닥에 떨어진 유리컵은 금방 깨지는데 이불 위에 떨어진 것은 깨지지 않는다. 그 이유를 설명해 줄 수 있는 것이 운동량과 충격량으로 불리는 물리량이다. 운동량은 물체의 질량에다 속도를 곱한 양이고, 충격량은 힘과 그 힘이 작용한 시간을 곱한 양이다.

지금 마찰이 없는 평면 위에 질량이 m인 물체가 ${V}_{0}$라는 속력으로 등속운동하고 있다고 하자. 그 물체에 일정한 힘 F를 가하면 이 물체는 속력이 일정하게 변하는 등 가속운동을 시작한다. 이렇게 t초간 힘이 작용하여 마침내 V라는 속도가 되었다면 그 사이의 가속도는 나중속도에서 처음속도를 빼서 시간으로 나누면 된다. 즉

a=(V-${V}_{0}$)/t
F=ma=m(V-${V}_{0}$)/t
Ft=mV-m${V}_{0}$

위 식의 좌변이 충격량이고 우변이 운동량의 변화이므로 충격량은 운동량의 변화와 같다는 것이다.

유리컵을 떨어뜨렸을 때 위치에너지가 운동에너지로 바뀌면서 속도가 증가하는 것에 비례하여 운동량도 커진다. 바닥에 부딪칠 때 바닥으로부터 힘을 받으면서 일시에 정지하여 운동량이 0이 된다.

이때 바닥으로부터 받는 힘에다 힘이 작용한 시간을 곱한 것이 충격량이며 바닥에 부딪치기 직전의 속도에다 질량을 곱한 것이 부딪치기 직전의 운동량이다. 따라서 운동량의 변화는 같은 높이에서 떨어뜨리면 이불이나 시멘트 위나 같다. 그러나 이불 위는 푹신푹신하기 때문에 운동량이 0이 되는 시간이 시멘트에 부딪치는 것보다 훨씬 길다.

운동량의 변화는 같은데 시간이 길면 힘은 작아야 하므로 이불 위에 떨어진 유리컵은 깨지지 않을 수 있다.

야구공을 맨손으로 받을 때 아프지 않게 받는 방법은 야구공이 손바닥에 접촉되는 순간 손을 뒤로 빼는 것이다. 야구공을 정지시키는데 시간이 걸리고 그 길어진 시간에 반비례해서 손에 미치는 힘은 적어지는 것이다. 물렁물렁한 축구공을 찰 때가 딱딱한 축구공을 찰 때보다 발등이 덜 아픈 것도 물렁물렁한 공일수록 발등과 접촉하는 시간이 길기 때문이다.

마찰과 에너지 보존
 

청룡열차의 운동에 있어 역학적에너지는 보존된다. 역학적에너지라 함은 운동에너지와 위치에너지를 말하는데 청룡열차의 궤도운동에서 위치에너지가 커지면 운동에너지는 작아지고 운동에너지가 큰 곳은 위치에너지가 작다. 쉽게 말해서 속도가 빠른 곳은 낮은 곳을 지날 때이고 속도가 느린 곳은 높은 곳을 지날 때다.

자유낙하운동은 위치에너지가 일방적으로 운동에너지로 바뀌는 것이고 그네는 주기적으로 위치에너지와 운동에너지를 바꾸어 취한다.

그러나 실제는 마찰 때문에 청룡열차가 갖는 역학적에너지는 보존되지 않는다. 한번 밀어놓은 그네는 시간이 지남에 따라 진폭이 점점 줄어 정지하게 되고, 자유낙하한 물체가 땅에 떨어진 후에는 운동에너지도 위치에너지도 존재하지 않는다.

역학적에너지 보존법칙은 마찰이 있는 경우 성립되지 않는다. 우리는 이제 마찰이 있는데도 보존되는 물리량에 대해서 생각해 보기로 하자.

지금 질량 m인 물체가 속도 v로 운동하면서 V라는 속도로 운동하고 있는 질량 M인 물체와 충돌하여 속도가 각각 v'와 V'가 되었다고 하자. 두 물체가 충돌하는 과정에서 서로에게 힘을 주었을 것이고, 작용과 반작용의 법칙에 의해서 그 힘은 크기는 같고 방향은 반대가 될 것이다(그림 1).

힘이 미치는 짧은 시간(t)동안 두 물체는 가속도운동 했을 것이다. 작은 물체의 가속도 a=(v'-v)/t가 되고 큰 물체의 가속도 A=(V-V')/t가 된다.

작은 물체가 받는 힘 f=ma=m(v'-v)/t
큰 물체가 받는 힘 F=MA=M(V'-V)/t

작용과 반작용의 법칙에 의해 f=-F이므로 위 두식을 더하면 좌변이 0이 되고 우변을 정리하여 t를 양변에 곱하면 다음과 같이 된다.

mv+MV=mv'+MV'

이 식의 좌변은 충돌 전의 운동량이고 우변은 충돌 후의 운동량을 나타내고 있다. 즉 충돌 전과 후에 있어 운동량의 합은 보존된다. 충돌과정에서 마찰이 있으나 없으나, 서로에게 방향이 반대이면서 같은 크기의 힘을 미친다는 것은 변하지 않기 때문에 운동량이 보존되는 것은 마찰에 관계없이 성립한다.

정지해 있던 폭탄이 폭발하여 사방으로 파편이 튀어 나갔을 경우 그 모든 파편의 운동량 벡터들은, 폭발 전의 운동량이 0이었으므로 모두 상쇄돼야 한다. 가만히 있던 폭탄이 폭발하여 두개의 파편이 동쪽과 북쪽으로 날아갔다면 보이지는 않았더라도 제3의 파편이 남서 방향으로 가야 한다는 것이 운동량 보존 법칙이 의미하는 것이다.
 

우주공간에서 움직이려면

로켓의 추진원리는 비행기와 근본적으로 다르다. 비행기는 공기가 없으면 뜨지 못하지만 로켓은 공기중이나 진공중이나 관계없이 추진된다. 비행기는 공기속에 있는 산소를 취하여 연료를 태움으로써 생기는 에너지로 프로펠러를 회전시켜 공기를 뒤로 밀고 가기 때문에 공기가 없으면 추진할 수 없다.

그러나 로켓은 연료와 산소를 가지고 움직이기 때문에 공기가 없어도 연료를 태울 수 있고, 프로펠러를 돌리는 것이 아니라 연소된 배기가스를 뒤로 힘차게 뿜어냄으로써 그 반작용으로 운동량을 얻는다.

마찰이 없는 우주공간에 있는 우주인이 이동하기 위해서 아무리 손과 발을 놀려봐야 한치도 움직이지 않는다. 이 경우 이동할 수 있는 유일한 방법은 자기가 지니고 있은 물건중에서 필요가 없는 것을 가고자 하는 반대방향으로 던지는 것이다.

예를 들어 신발을 던지면 내가 신발에 준 힘만큼 신발로부터 나도 힘을 받는다. 물론 내가 신발보다 질량이 크기 때문에 얻는 속도는 신발보다 작지만, 마찰이 없으므로 조금만 움직여도 그 속도가 유지된다. 따라서 기다리기만하면 어디든지 갈 수 있다.
질량이 M인 사람이 질량 m인 신발을 v의 속력으로 던졌을 때 사람이 갖게되는 속력을 V라고하면 운동량보존법칙에 의해 MV=mv가 되어 v:V=M:m이다.

신발은 두개밖에 없으므로 두 개를 전부 던지고 나면 속도를 바꾸기가 곤란할 것이므로 총을 쏘는 것이 훨씬 편할 것이다. 앞으로 가고 싶으면 뒤로 한방, 위로 가고 싶으면 아래로 한방, 제자리에 서고 싶으면 가는 방향으로 한방 쏘면 될 것이다.

지금 우주복과 총을 포함해서 전체 질량이 1백㎏인 우주인이 한개에 0.1㎏인 총알 1백개를 가지고 2초 간격으로 연속해서 한쪽 방향으로만 1천m/초의 일정한 속력으로 발사했을 경우 이 우주인이 최종적으로 얼마의 속력을 갖게 되며, 그때까지 움직인 거리를 계산해 보자. 이 경우 총알 1백개를 한꺼번에 던진 것과 결과가 같다고 생각하면 안된다. 왜냐하면 총알을 하나씩 발사함에 따라서 우주인의 전체 질량이 1백10㎏에서 0.1㎏씩 줄어들므로 같은 속도로 발사하더라도 나중에 발사하는 것에 의해 더 큰 속력을 얻는다.

우선 처음에 발사된 총알에 의해서 얻게되는 속도 ${v}_{1}$은 운동량보존법칙에 의해 109.9×${v}_{1}$=0.1×1000에서 ${v}_{1}$=100/109.9이 된다. 이 속력으로 2초간 이동할 것이므로 처음 2초간 이동거리 ${s}_{1}$=${v}_{1}$×2가 된다.

또 두번째 발사하고 나서 증가한 속도를 ${dv}_{2}$라면 109.8${dv}_{2}$=0.1×1000에서 ${dv}_{2}$=100/109.8이므로 두번째 총알을 쏘고 난 후의 속력${v}_{2}$=${v}_{1}$+${dv}_{2}$이고 다음 2초간 이동한 거리 ${ds}_{2}$=${v}_{2}$×2이므로 4초간 이동한 거리 ${s}_{2}$=${s}_{1}$+${ds}_{2}$이 될 것이다.

마찬가지로 세번째 발사한 후의 속력 ${v}_{3}$=${v}_{2}$+${dv}_{3}$ 이동거리 ${s}_{3}$=${s}_{2}$+${ds}_{3}$이다.

일반적으로 n번째 발사 후
속력증가 ${V}_{n}$=100/{100+(10-0.1n)},
속력 ${V}_{n}$=${V}_{n-1}$-1+${V}_{n}$
이동거리 증가 ${S}_{n}$=${V}_{n}$×2
이동거리 Sn=${S}_{n-1}$+Sn

계산 방식이 비슷하므로 이를 베이식을 이용하여 다음과 같이 프로그램화하였다.

10N=0:V=0:S=0
20N=N+1
30DV=100/{(100+(10-0.1×N)}
40V=V+DV:S=S+V×2
50PRINT N, DV, V, S
60IF N=100 THEN END ELSE GOTO 20

이 프로그램의 실행결과를 보면 33번째 총알이 발사 된 후에 우주인의 속력은 30.47m/s이고 이동한 거리는 1030.99m이다. 또 1백m를 다 던지고 나면 속력이 95.36m/s가 되고 이동거리는 9479.41m가 된다. 1백개를 모두 발사하는데 2백초, 즉 3분 20초가 소요되므로 평균가속도는 0.47m/${s}^{2}$ 평균속력은 47.39m/s가 될 것이다.

함께 생각합시다

1. 위의 예에서 우주인이 1백개의 총알을 한꺼번에 1천m/s의 속력으로 발사했을 경우 우준인이 얻게 되는 속력은?

2. 모든 총알을 한꺼번에 쏜 경우에 우주인이 얻는 속력이 하나씩 모두 쏜 경우보다 크다. 그 이유는?

해설

1. 운동량 보존의 법칙에 의해 발사전의 운동량이 0이고 총알 1백개 전체 질량이 10kg이므로 100×V=10×1000에서 V=100m/s가 된다. 이 값은 1개씩 따로 쏘았을 때보다 약간 크다.

2. 한꺼번에 발사한 총알은 모든 총알이 지면에 대해서 1천으로 일정하다. 그러나 하나씩 발사한 총알은 지면에 대해서 첫번째만이 1천이고, 그 다음부터는 우주인이 뒤로 움직이면서 발사하기 때문에 우주인에 대해서는 1천으로 발사했지만 지면에 대해서는 1천에서 우주인의 속력을 빼야한다. 극단적으로 우주인이 1천이라는 속력으로 달리면서 총을 쏘면 그 총알은 우주인에게 충격량을 주어 우주인을 가속시킬 수는 있지만 지면에 대한 속력은 0이다. 따라서 지면에 대한 모든 총알들의 운동량의 합은 한꺼번에 같은 속력으로 쏜 경우보다 적으므로 운동량 보존법칙에 의해 우주인이 얻는 속력도 적어진다.