똑같은 지구라도 적도지방보다는 극지방에서 몸무게가 더나간다. 그 이유를 알아보고 공기마찰력을 고려한 낙하운동의 실제 모습을 살펴보자.
우리는 목욕탕에서 몸무게를 잰다. 몸무게가 60kg이라고 하는 것은 정확하게 60kg중이라고 해야 한다. 질량 60kg을 지구가 당기는 힘을 60kg중이라고 한다. 따라서 kg은 질량의 단위이고 kg중은 무게의 단위이다.
질량은 물질 고유의 변하지 않는 양이고 무게는 지구가 당기는 힘이기 때문에 상대적인 양이다. 즉 60kg중은 약 5백88N(뉴턴)에 해당되며, 질량이 60kg인 사람이 달에 가면 달에서는 만유인력이 지구의 1/6이기 때문에 무게는 1/6로 줄어 98N밖에 안된다. 물론 목성에 가면 훨씬 무거워진다.
무게와 질량
심지어 지구 위에서도 무게는 장소에 따라 다르다. 즉 극에 있는 사람이 적도에 있는 사람보다 두 가지 요인 때문에 더 무겁다. 첫번째 이유는 극방향으로의 지구반경이 적도방향으로의 지구반경보다 더 짧기 때문이다. 만유인력의 법칙은 거리의 제곱에 반비례하므로 거리가 짧을수록 당기는 힘이 세다. 지구가 지상의 물체를 끄는 힘은 거리에 따라 차이가 난다(표1).
두번째 이유는 지구의 자전 때문이다. 만약에 우리가 지구본을 돌리듯이 거인이 지구를 점점 빠르게 돌린다면 우산을 받고 다니다가 우산을 돌리면 빗방울이 밖으로 튀어나가는 것과 같이 적도지방에 있는 사람부터 지구를 떠날 것이다. 자전 속도가 빨라짐에 따라 지구를 떠나는 사람이 점차로 극쪽으로 옮겨와 마침내 극에까지 이를 것이나 양쪽 극의 자전축상에 서 있는 사람은 지구가 아무리 빨리 돌아도 지구에서 튀어 나가지 않는다. 이러한 가상의 힘을 원심력이라 한다. 그 원심력이 적도에서 제일 크게 작용하므로 적도에서는 약간 들뜨려는 경향이 있다. 이러한 효과가 물체의 무게를 작게 만든다.
첫번째 이유와 두번째 이유가 상쇄되는 방향으로 작용하는 것이 아니라 보강되는 방향으로 작용하기 때문에 양쪽 극에 있는 사람이 적도에 있는 사람보다 무겁다.
이렇게 무게는 장소에 따라 얼마든지 변하지만 질량은 물질 고유의 양이기 때문에 달에서나 목성에서나 60kg으로 변함이 없다.
구체적으로 소고기 장사를 하는 사람은 다른 조건이 같다면 적도에서 고기를 사다가 극지방에 팔면 이익이 될 것이다. 왜냐하면 적도에서 산 고기의 무게가 극지방으로 가면 더 늘어날 것이기 때문이다. 이 경우 양팔저울로 고기를 달면 안된다. 양팔저울은 질량을 다는 저울이기 때문에 적도에서나 극지방에서나 고기의 질량은 같게 측정이 된다. 만약 적도에서 양팔저울의 왼쪽에 고기를 놓고 오른쪽에 1kg짜리 추를 놓아서 평형이 됐다면 극지방에서도 역시 1kg을 놓아야 평형이 되고 달에 가도 1kg을 놓아야 평형이 된다. 달이 당기는 힘이 6분의1로 작지만 똑같은 비율로 추를 당기는 힘도 작기 때문에 한번 평형을 이룬 양팔저울은 어디로 가져가도 한쪽으로 기울지 않는다.
한편 용수철 저울은 무게를 재는 저울인데 용수철은 세게 당길수록 많이 늘어난다는 후크의 법칙을 이용한 것이다. 용수철에 물체를 달았을 때 지구가 당기는 힘이 크면 많이 늘어날 것이고 당기는 힘이 적으면 적게 늘어날 것이므로 용수철이 늘어난 길이로 무게를 알 수 있는 것이다. 적도에서보다 극지방에서 당기는 힘이 크기 때문에 용수철이 많이 늘어난다. 달에서는 지구에서 늘어나는 길이의 6분의 1이 된다.
갈릴레이의 사고실험
옥상에서 물체를 가만히 놓았을 때 그 물체는 중력을 받아 아래로 낙하하게 되는데 이를 자유낙하운동이라고 한다.
자유낙하에서 가장 먼저 문제가 된 것은 물체의 무게가 그 물체가 떨어지는데 걸리는 시간과 어떠한 관계가 있는가 하는 것이다. 직관적으로 판단하면 무거울수록 빨리 떨어지는 것처럼 느껴진다. 돌멩이를 자유낙하시키면 순식간에 떨어지지만 솜처럼 가벼운 것은 펄럭이면서 느리게 떨어지기 때문에 우리의 직관은 무거울수록 빨리 떨어질 것이라는 무의식적인 결론을 내리게 된다. 고대의 철학자인 아리스토텔레스도 무거운 물체일수록 빨리 떨어진다고 주장했다.
그러나 갈릴레이는 무게에 관계없이 같은 속도로 낙하한다는 자기 학설의 정당함을 설명하기 위해 그의 저서 '신과학대화'에서 다음과 같이 논리를 펴고 있다.
지금 큰 돌과 작은 돌을 같은 높이에서 동시에 자유낙하시켰다. 아리스토텔레스의 이론에 의해 큰 돌이 10이라는 속력으로 낙하하고 작은 돌이 5라는 속력으로 낙하했다고 가정하자. 이제 이 두개의 돌을 가벼운 끈으로 묶어 하나로 만들었다. 이 돌을 같은 높이에서 자유낙하시킬 때 과연 어떤 속력으로 떨어질 것인가? 아리스토텔레스의 이론을 계속 적용하면 당연히 돌이 더 무거워졌으므로 15라는 속력으로 떨어져야 한다. 그러나 작은 돌 하나만 보면 5라는 속력으로 낙하하므로 큰 돌의 속력을 끈을 통해 뒤로 당겨서 저지하는 노릇을 할 지언정 큰 돌의 속력을 더 빠르게 할 수 없을 것이다. 따라서 하나가 된 물체의 속력은 7.5가 되어야 한다. 이 두가지의 해석이 모두 가능하면서 결과가 서로 모순이 되는 것은 물체가 무거울수록 빨리 떨어진다는 전제 자체가 잘못됐다는 것이다.
따로 떨어지면 10과 5라는 속력을 내는데 이를 묶어서 하나로 만들었다고 해서 속력이 15가 된다면 명백하게 운동에너지가 공짜로 늘어나게 되므로 에너지보존법칙에 위배된다.
닭털이 펄럭이며 느리게 떨어지는 것은 공기의 저항 때문이다. 돌멩이는 받지않는 공기의 저항을 닭털만 받는다는 뜻이 아니라 닭털이 더 큰 영향을 받는다는 것이다. 극단적으로 웬만한 상승기류에 돌멩이가 밀려올라 가는 경우는 없지만 솜털은 쉽게 올라간다.
공기의 저항이 없으면 동전과 솜털이 같은 속도로 떨어져야 하고, 이를 실험으로 증명하는 기구도 있다. 즉 밀폐된 유리관에 동전과 솜털을 같이 넣고 하나는 진공펌프로 공기를 모두 뽑아 진공상태를 유지한다. 이 유리관을 갑자기 뒤집어 동시에 자유낙하시키면 공기가 있는 유리관 안에서는 동전이 먼저 떨어지지만 진공속에서는 신기하게도 동전과 솜털이 동시에 떨어진다.
이를 이론적으로 설명하면 다음과 같다. 질량이 m인 물체를 지구가 당기는 힘의 크기는 mg이다. 따라서 그 물체를 놓았을 때 가속도 운동을 한다. 뉴턴의 운동 제2법칙에 의해서 그 가속도의 크기는 작용한 힘에 비례하고 질량에 반비례한다. 즉 가속도 a=mg/m=g가 되어 질량에 관계없이 항상 가속도 g로 낙하한다. 이를 중력 가속도라 하고 그 값은 대략 9.8m/${s}^{2}$이다.
따라서 자유낙하 1초 후의 속력은 9.8이고 2초 후에는 다시 9.8이 빨라져서 19.6, 3초 후에는 29.4, t초 후에는 9.8t의 속력이 된다. 또 1초 동안 낙하한 거리는 평균속력에다 1초를 곱하면 되고 속력이 0부터 9.8까지 연속적으로 증가했으므로 그 사이 평균속력은 4.9가 되고 여기에 1초를 곱해서 4.9m 낙하한다. 2초간 낙하한 거리는 평균속력 9.8에 2초를 곱해서 19.6m, 3초에는 14.7×3=44.1m, t초 후에는 평균속력 4.9t에다 t를 곱하여 4.9${t}^{2}$만큼 낙하한다. 만약 어느 다리 위에서 돌을 자유낙하시켜 2초 후에 물속으로 떨어졌다면 그 다리의 높이는 대략 19.6m라는 것을 알 수 있다.
이와 같은 사실은 물론 공기의 저항을 무시했을 경우이다. 실제로는 공기의 마찰을 받아 시간이 더 걸릴 것이기 때문에 다리의 높이는 19.6m보다 작을 것이다.
물체에 작용하는 공기의 저항은 물체의 속력에 비례한다. 따라서 낙하초기에는 공기의 저항이 거의 없어서 중력 가속도 9.8로 등가속운동하지만 속력이 빨라짐에 따라서 공기의 마찰이 점점 커지고 가속도는 작아진다. 마침내 마찰력의 크기가 물체의 무게와 같아지면 물체에 작용하는 알짜의 힘이 0이 되고 속력은 더 이상 빨라지지 않고, 등속으로 내려오게 되는데 이 때의 속도를 '종단속도'(terminal velocity)라고 한다.
만약에 공기의 저항의 없다면 빗방울의 속도가 엄청나서 비닐우산은 더 이상 빗방울을 막을 수 없고 큰 빗방울은 사람에게 심각한 상처를 줄 것이다. 더구나 작은 얼음 덩어리인 우박이 내릴 경우에는 우박맞아 죽는 경우도 비일비재하게 생길지 모른다. 다행히 공기의 마찰은 하늘에서 낙하하는 모든 물체의 속력이 어느 정도 이상 빨라지는 것을 막아준다.
높이 20km의 구름에서 떨어지는 빗방울의 속력은 마찰이 없다면 약2백m/s이어야 하지만 실제로는 50-60cm/s의 속력으로 내려온다. 마찰력이 속력의 제곱에 비례한다고 가정하고 비례상수를 k, 아래쪽을 +방향으로 정하면 가속도 a=g-k${v}^{2}$으로 표시된다. 시간이 지나면 속도가 커지고 따라서 마찰력도 커져서 가속도는 작아지고, 그 작아진 가속도가 앞서와는 다른 속도의 변화를 유발한다. 따라서 시간의 변화에 따른 속도의 변화를 한번에 계산할 수 없고 시간을 잘게 쪼개어 단계적으로 계산해야 한다. 만약에 빗방울의 속력이 50cm/s에서 종단속도에 이르렀다면 그 속도에서 물체에 작용하는 알짜의 힘이 0이 된 것이므로 g=k${v}^{2}$에서 k=980cm/${(50cm/s)}^{2}$≒0.4${s}^{2}$/cm이다.
빗방울의 처음 속력이 0일 때부터 시작해서 속도와 가속도의 변화과정을 0.01초 간격으로 점차 늘려가면서 다음과 같이 계산한다.
${a}_{0}$=980-k${v}_{0}^{2}$
${v}_{1}$=${v}_{0}$+${a}_{0}$×0.01×0.5
${h}_{1}$=${h}_{0}$+${v}_{1}$×0.01
${a}_{1}$=980-k${v}_{1}^{2}$
${v}_{2}$=${v}_{1}$+${a}_{1}$×0.01
${h}_{2}$=${h}_{1}$+${v}_{2}$×0.01
${a}_{2}$=980-k${v}_{2}^{2}$
${v}_{3}$=${v}_{2}$+${a}_{2}$×0.01
${h}_{3}$=${h}_{2}$×${v}_{3}$×0.01
비슷한 계산을 반복하여 5번 계산할 때마다 즉 0.05초간격으로 결과를 표시한 것이(표2)다.
이를 보면 0.1초가 지나면 종단속도에 가까워지고 0.2초 후에는 더 이상 속도가 증가하지 않는다는 것을 알 수 있다.
함께 생각해 봅시다
비슷한 계산을 반복해서 하는 것은 컴퓨터를 이용하여 프로그램화하는 것이 효율적이다. 속력의 제곱에 비례하는 마찰력을 받아 낙하하는 빗방울의 속력과 가속도 낙하거리의 변화를 추적하는 계산이 그것이고, 다음과 같이 BASIC으로 프로그램화 했다. 130번행에 알맞은 내용을 넣어 프로그램을 완성해라.
① GOTO 80 ② GOTO 70 ③ GOTO 60 ④ END ⑤ PRINGEND
10 → 제목을 인쇄한다.
20 → 모든 변수를 초기화한다.
30 → K값을 다양하게 줄 수 있다.
40 → 변수 제목 인쇄
50 → 처음값 대입
60 → 처음값 인쇄
70 → 처음에는 시간 간격을 반으로 줄여 계산
80~100 → 0.01초 간격으로 5번 계산 반복
110 → 5번마다 결과 인쇄
120 → 1초가 되면 계산 끝
130 → 1초가 안되면 80번으로 가서 다시 5번 계산한다.
∴ 0.05초 간격으로 1초가 될 때까지 20번 인쇄한다.
