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수학의 「수」자만 나와도 고개를 설레설레 흔드는 사람이 적지 않다. 그만큼 수학은 많은 사람에게 골치아픈 학문으로 낙인찍혀 있는 것이다. 바로 이런 수학알레르기 환자들을 위해 「과학동아」는 이번 호부터 계속해서 수학과 레크리에이션의 만남을 주선하고자 한다. 이 새 연재물을 통해 고질적인 수학알레르기증상을 치유하고 수학과 보다 친밀해지기를 기대하면서.

1. 필자는 '과학동아' 1990년 12월호에서 1991년을 맞아 1991=11*181(11,181은 각각 솟수)로 해부할 수 있으며 이밖의 다른 성질을 찾아 보자고 쓴 적이 있다. 이번에는 1992년을 맞이해 이 숫자의 성질을 연구해 보자. 1992를 구성하고 있는

1은 최소의 양의 정수다.
9는 최소의 홀수 솟수의 제곱이다.
2는 최소의 솟수다.
또 1+9/9=2다.

이와 같은 방법으로 1992에 대해 분석해 보면 어떤 결과를 더 얻을 수 있을까? 자, 이제부터 숫자 1992를 다섯가지 방법으로 해부해 보자.

2. 지도에서 이웃하는 모든 나라가 서로 다른 색깔을 갖도록 하려면 모두 몇가지 색깔이 필요한가? 단 그림과 같이 한 점에서 서로 만나는 경우는 고려하지 않는다.

① 3 ② 4 ③ 10 ④ 무한개
 

3. 여러분은 다음과 같은 식에서 어떤 오류때문에 틀린 결론을 얻었는지를 알아낼 수 있을 것이다. a=b 라 하자. 그러면

ab=a²,
ab-b²=a²-b²,
b(a-b)=(a+b)(a-b),
b=a+b,
b=2b,
1=2

이렇게 엉뚱한 결과가 나온 원인은 세 번째 식에서 (a-b)로 양변을 나누어 준 데 있다. 즉 a=b이면(a-b)=0이 되므로 양변을 0으로 나눠 주는 결과가 돼 오류가 발생하는 것이다. 그러면 다음 과정에서는 무엇이 잘못 됐는지 알아낼 수 있을까?

1. X는 ${e}^{x}$=-1 을 만족하는 수라고 하자.
2. 양변을 제곱하면 ${e}^{2x}$=1
3. 즉 2X=0, 또 X=0, 따라서 ${e}^{x}$=${e}^{0}$
4. 그런데 원래 ${e}^{x}$=-1 이라 했고, ${e}^{0}$=1이므로 -1=1

①1식이 원래 틀렸다.
②2식이 맞지 않는 단계다.
③3식이 틀린다.
④4식이 논리의 비약이다.

4. 만약 여러분이 요즈음 시판되는 공학용 계산기를 갖고 있다면, 다음과 같은 간단한 작업을 해볼 수 있을 것이다. 자, 이제 아무 숫자나 택해서 (예를들면 10) 제곱근을 구하고, 이 과정을 반복해 보자.
 

그 결과는 항상 1이다. 10이 아니라 어떤 숫자로 시작해도 마찬가지다. 또 어떤 값을 택해 이를 rad으로 놓고 계산기의 sin을 계속 두드려 보라.  이 경우 무한이 반복하면 0으로 간다. 똑같은 작업을 cos에 대해서 적용하면 어떤 숫자로 귀착이 될까? 여러분은 이미 cos가 최소값 -1, 최대값 1을 갖는 함수임을 알고 있을 것이다.

① 0 ② 0.5 ③0.739085 ④1.0

맞춰보고

1. ① 1992=8*3*83
=2³*3*83
=2*2*2*3*83

② 1992=24*83
+  2991=3*997
4983=3*11*151
83 ,997, 11, 151은 솟수

③ 1992991=7*11*11*13*181

④  1+9+9+2=21
    19+9+2=30
    1+99+2=102
    1+9+92=102
    19+92=111
    199+2=201
    모두 0,1,2,3으로 구성된다.

⑤ 1=-1*9/9+2
    9=(1/$\sqrt{9}$*9)²
    9=(1/$\sqrt{9}$*9)²
    2=(1*9/9)*2

2. ②문제는 수학사에 있어서 유명한 '4색문제'다. 1852년에 처음 제기된 이래 수많은 학자들이 증명하려고 노력했지만 오랫동안 수학적 증명은 이뤄지지 않고 있었다. 여러분이 직접 해보면 네가지 색이면 충분하다는 것을 금세 알게 되지만, 엄밀한 증명이 어려운 문제인것만은 사실이다.

그러나 1976년에 미국 일리노이대학의 아펠(Appel)과 하켄(Haken)이 컴퓨터를 사용해 증명하는데 성공했다. 이를 기념해 1978년 일리노이대학의 우체국은 '4색이면 충분하다'(foru colors Suffice)라고 쓰여진 스탬프를 사용하기도 했다. 그러나 컴퓨터를 사용한 증명은 전통적인 증명방법과는 사뭇달라서 아직도 논의의 대상이 되고 있다.
 

3. ① 시작부터 틀렸다. ${e}^{x}$은 0에서 ∞의 값을 갖는 양의 함수이므로 ${e}^{x}$=-1 을 만족하는 수는 없다. 즉 (${e}^{-∞}$=0) 0<;${e}^{x}$<;∞ (${e}^{-∞}$=0)이다. 잘못된 가정으로부터 출발한 모든 과정은 중간과정에서 오류가 없을지라도 틀린 결론에 도달하게 된다. 이러한 '오류의 문제'는 여러가지가 있는데, 다음 문제에서 과연 어디에 오류가 있는지 한번 찾아보라.

1. 우리는 $\sqrt{a}$×$\sqrt{b}$=$\sqrt{ab}$ 임을 알고 있다.
2. 그러므로 $\sqrt{-1}$×$\sqrt{-1}$=$\sqrt{(-1)(-1)}$
3. 따라서 ($\sqrt{-1}$)²= $\sqrt{1}$
4. 즉 -1=1

4. ③ 어떤 값을 택하더라도 cos을 계속누르면 0.739085라는 숫자로 간다. 우리가 c(X) =cos X라고 놓고 cos(cos X)를 c²(X)로 표시하기로 하자.
예를 들어 X=18.84(rad)으로 놓고 cos을 계속 취하면 다음과 같이 된다.

c(18.84)=0.999…
c²(18.84)=0.540…
c³(18.84)=0.857…
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${c}^{99}$=0.739085
${c}^{100}$=0.739085
${c}^{101}$=0.739085
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즉 어떤 값을 X로 택하더라도 0.739085라는 값으로 수렴한다. 이 결과는 동적(dynamic) 시스템을 연구할 때 시스템의 안정성 문제와 관련해 매우 중요하게 취급된다. 또한 혼돈(Chaos)이론 프랙탈(Fractal)이론 등으로 연결되는 가장 기본적인 수학내용이다. 여러분이 베이직(BASIC)프로그램을 짤 줄 안다면 다음과 같은 함수가 각각 안정한지를 쉽게 판별할 수 있을 것이다.

F(x)=cx(1-x)라하고 x=0.5일 때 다음의 각 c값에 대한 F값을 계산해 보면, 각각 다른 형태의 결과를 나타내는 것을 확인할 수 있을 것이다.
c=1.5 c=3.2 c=3.5
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${F}^{31}$ 0.333333333 0.79945549 0.82694071
${F}^{32}$ 0.333333333 0.51304451 0.50088421
${F}^{33}$ 0.333333333 0.79945549 0.87499726
${F}^{34}$ 0.333333333 0.51304451 0.38281968
${F}^{35}$ 0.333333333 0.79945549 0.82694071
：
：
이를 베이직(BASIC) 프로그램으로 짜보면 다음과 같다.

INPUT"C"; C
INPUT"XO" ;XO
FOR i=1 TO 35
X1=C*XO*(1-X)
PRINT i, X1
NEXT i
END