8월 29일, <;수학동아>; 편집팀에 한 통의 이메일이 날아왔습니다.
이성진 서울 양화중학교 수학 선생님께서 ‘자연수 세제곱의 합 공식’의 말이 필요 없는 증명을 발견했다는 내용이었지요.
어찌된 일인지 <;수학동아>;가 알아봤습니다.
‘말이 필요 없는 증명’은 말 그대로 추가적인 설명 없이 그림만 봐도 관계식이 왜 성립하는지 알 수 있는 것을 말해요. 미국수학회에서 발간하는 <;수학 매거진>;과 <;대학 수학 학술지>;의 말이 필요 없는 증명이라는 연재 코너에서 여러 방법이 소개됐어요.
이성진 선생님이 발견한 자연수 세제곱의 합 공식은 고등학교 <;수학Ι>; 교과서 ‘수열의 합’ 단원에 나와요. 여기서 자연수 거듭제곱의 합에 대한 공식에 대해 다루거든요. 즉, 1부터 n까지 자연수를 더한 값(①), 자연수의 제곱을 더한 값(②), 자연수의 세제곱을 더한 값(③)을 공식으로 어떻게 구하는지 알아보지요. 관계식은 아래와 같습니다.
각 공식은 서로 관련이 없어 보이지만 자세히 들여다 보면 자연수의 합 공식(①)을 제곱하면 자연수 세제곱의 합 공식(③)이 나온다는 사실을 알 수 있습니다. 이성진 선생님은 우연히 유튜브에서 이와 관련한 영상을 보게 됐고, 그동안 ‘왜 이 사실을 인지하지 못했을까’하는 생각이 들었다고 해요. 이후 <;수학 매거진>;에 연재된 말이 필요 없는 증명을 묶은 책을 봤고, 곧바로 자연수 세제곱의 합 공식의 새로운 말이 필요 없는 증명법에 도전했지요.
수와 함께 놀다 보면
수에 대한 두려움이 사라져요!
Q 이번 결과를 8월 27일 1시 4분에 공개하셨어요. 이때 공개한 특별한 이유가 있나요?
A 8월 13일 새벽에 발견했지만, 재미있고 의미있는 시각에 공개하고 싶다는 생각이 들었어요. 그래서 8(23)월 27(33)일 0(03)시 64(43)분에 공개했지요. 이를 결정하는 데 양화중학교 학생들이 많이 도와줬어요. 8월 27일은 명확하게 정할 수 있었지만, 시각은 4의 세제곱인 1시 4분(64분)과 5의 세제곱인 1시 25분 중 고민됐거든요. 반 친구들에게 투표한 결과 3개의 반에서 1시 4분이 뽑혔어요.
Q 이번 발견 외에 다른 관계식도 말이 필요 없는 증명을 시도해 보셨나요?
A 평소에도 개념 하나에 꽂히면 더 좋은 증명 방법을 찾기 위해 끊임없이 고민하는 편이에요. ‘자연수 세제곱의 합 공식’보다 앞서 ‘자연수 제곱의 합 공식’에 관한 말이 필요 없는 증명을 발견했답니다. 제가 고민한 수학 내용들은 제 블로그 ‘2S진 수학’에서 확인할 수 있어요! 2S진은 제 또 다른 이름이랍니다!
Q 수학을 주제로 다양하게 생각하는 걸 중요하게 여기시네요. 수업에서도 이를 강조하시나요?
A 그럼요. 어떤 개념의 원리를 스스로 고민해 보는 것은 수학적 사고력을 길러주거든요. 수업에서는 ‘나만의 연립방정식 풀이법’을 만들도록 했어요. 학생들은 직접 풀이법을 만들어 보면서 왜 교과서에서 그런 방법을 가르치는지를 새롭게 깨달을 수 있지요. 이 방식이 꽤 효과적이라 생각해서 수업에 계속 활용하고 있어요.
Q 수를 가지고 노는 것을 좋아하시는 것 같아요.
A 맞아요. 제가 333이라는 숫자를 정말 좋아해서 일상 속에서 찾기도 하고, 수를 더하고 빼고 곱하고 나누고, 또 여러 식을 사용해 계산해 보면서 333을 찾아요. 이를 수업에서도 활용해요. ‘평면은 왜 360°일까?’라는 개념을 설명할 때, 360은 333+3×3×3이라는 것을 보여주면 아이들이 꽤 흥미로워해요. 수업 내용과 엄청난 관련이 있는 내용은 아니지만 수 자체에 관심을 가지게 하는 거죠. 이런 점이 수학을 재미 없어 하는 학생들에게 좋은 영향을 미쳐요. <;수학동아>; 독자들도 간단한 개념을 사용해서 수를 가지고 놀아보면 좋겠어요!
말이 필요 없는 증명을 발견했다고 논문을 내는 것이 아니라서 선생님의 방법이 최초인지 확인할 방법은 없어요. 하지만 수학의 원리를 즐겁게 사고할 수 있다는 점에서 도전해 보는 것 자체로 의미 있는 활동이에요. <;수학동아>;나 <;미국수학회>;에 제보하면 잡지에 실릴 수도 있고요. 여러분도 직접 나만의 말이 필요 없는 증명을 만들어 보는 건 어떨까요?
