미래 예측하기
인공지능(AI)은 어떻게 과거의 데이터를 바탕으로 미래를 예측할까요? 마치 마법처럼 보이지만 그 기본에는 간단한 두 가지 수학 원리가 숨어있습니다.
첫 번째 원리는 ‘대수의 법칙’입니다. n개의 사건이 있을 때 A의 성질이 r번 일어나면 A가 일어날 비율은 r/n입니다. 그런데 이때 n이 크면 클수록 A가 일어날 확률이 일정한 확률 P에 가까워 진다는 겁니다. 동전의 앞면이 나올 확률은 1/2인데, 동전을 4번 던진다고 앞면이 꼭 2번 나오지 않지요. 동전을 많이 던질수록 앞면이 나올 확률이 1/2에 가까워 진다는 거예요.
두 번째 원리는 ‘마르코프 연쇄’입니다. 특정 상태의 확률은 오직 바로 직전의 상태에 의존한다는 가정 아래 미래를 예측하는 원리입니다. ‘대수의 법칙’을 적용해 과거의 데이터로 확률을 구한 뒤, 결과를 예측하는 모형으로 쓰입니다. 이때 어떤 상태에서 다른 상태로 변화하는 것을 ‘전이’라고 부르며, 상태 전이를 나타낸 그림을 ‘상태 전이도’라고 합니다.
예를 들어 과거의 데이터를 통해 맑은 날의 다음 날에도 날씨가 맑을 확률이 0.6이고, 흐릴 확률은 0.4임을 알고 있습니다. 흐린 날의 바로 다음 날에도 흐릴 확률이 0.7이고, 맑을 확률은 0.3입니다.
이를 알아보기 좋도록 표로 나타내면 다음과 같습니다.
표로 정리한 값들을 다음과 같이 행렬로 표현할 수 있으며 이를 ‘전이확률 행렬’이라고 부릅니다.
행렬곱을 통해 다음 날 또는 더 이후의 날씨를 예측할 수 있습니다. 예를 들어 지난 3년간 특정일의 날씨 중 80%가 맑았다면, 특정일 기준으로 다음 날이 맑을 확률은이므로 54%라고 예측할 수 있습니다.
이틀 후인 모레의 날씨는 오늘과 내일의 전이가 연속해서 일어나는 마르코프 연쇄이므로, 다음과 같이 전이확률 행렬의 행렬곱을 통해 구할 수 있습니다.
문제 날씨에 대한 ‘전이확률 행렬’을 바탕으로, 행렬곱을 통해 3일 후의 전이확률 행렬을 구하고 그 결과를 출력해 보세요.
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