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안녕하세요, ‘퍼즐박물관’이라는 블로그와 유튜브 채널 ‘퍼즐러갱TV’를 운영하며 ‘신기한 종이 퍼즐’이라는 책도 집필한 KPP의 ‘퍼즐러갱’입니다. 
오늘은 ‘경우의 수’를 이용해 종이 퍼즐을 분석하는 방법을 소개할게요! 

‘12개의 별 찾기’는 20세기 초 런던에서 열린 로버츠경 추모 워크숍*에서 임무 수행 중 몸을 다친 군인이 선보인 퍼즐을 제가 쉽게 변형해 만든 종이 퍼즐입니다. 이 퍼즐은 한 정사각형의 상하좌우에 4개의 정사각형이 날개처럼 붙어있어, 면이 1개 부족한 정육면체의 전개도와 비슷합니다. 4개의 날개에는 서로 다른 위치에 별이 그려져 있고, 작은 사각형 구멍이 나있죠. 

이 퍼즐의 목표는 4개의 날개를 안쪽으로 접어 포갰을 때 별 12개가 보이게 하는 겁니다. 아래에 놓인 날개의 별의 위치가 위에 포갤 날개의 구멍 위치와 같아야만 별이 보이겠죠? 날개마다 별과 구멍의 위치가 달라서 날개를 어떤 순서로 접느냐에 따라 마지막에 보이는 별의 수가 달라집니다. 즉 경우의 수가 퍼즐을 재밌게 만드는 MSG인 셈이죠. 

접는 방법에 따라 여러 경우의 수를 만드는 퍼즐은 다양합니다. 서로 다른 모양이 새겨진 판을 겹쳐 마지막에 원하는 모양이 보이도록 하는 ‘실루엣 퍼즐’이 대표적이죠. 판을 1개만 살짝 회전하거나 뒤집어도 마지막에 보이는 모양이 바뀌니까요!

MSG 넣는 2가지 방법

곱셈만 알면 12개의 별 찾기와 토끼의 질문 모두 경우의 수를 구할 수 있지만, 계산 방법이 서로 다릅니다.

토끼의 질문에서 각 정팔각형 조각을 원래 모양과 겹치게 시계 또는 반시계방향으로 회전하는 방법은 8가지고, 각 경우에 한 축을 기준으로 뒤집을 수도 있으므로 한 조각을 놓는 방법은 16(=8×2)가지입니다. 이때 다른 조각에 상관없이 모든 조각을 16가지 방법으로 놓을 수 있으니 ‘독립시행’이고, 5개 조각을 포개는 방법은 총 1,048,576(=165)가지 입니다. 독립시행은 앞서 한 조작이 다음 조작에 영향을 주지 않는 걸 말합니다.

반면 12개의 별 찾기는 처음에 날개 4개 중에서 1개를 골라 접을 수 있고, 두 번째에는 앞서 접은 1개를 뺀 3개 중에 하나를 접을 수 있습니다. 비슷하게 세 번째는 2개 중 1개를, 마지막엔 1개뿐입니다. 결국 날개를 접는 순서의 수는 24(=4×3×2×1)가지입니다. 고를 수 있는 날개의 수가 1개씩 줄어들죠? 이렇게 앞서 한 조작이 뒤에 하는 조작에 영향을 주는 경우를 ‘종속시행’이라고 합니다.
결국 12개의 별 찾기는 24가지 순서를 모두 시도하면 그중 하나에서 반드시 12개의 별이 보이게 됩니다. 그런데 이렇게 풀면 재미가 없겠죠? 진정한 재미를 느끼려면 각 날개에 있는 별과 구멍의 위치를 잘 관찰해서 어떤 순서로 접어야 할지 추론해 보세요. 이렇게 시도해야 할 경우의 수를 줄이는 것이 이 퍼즐의 진짜 재미입니다! 

★폴리매스 홈페이지→[주니어 폴리매스]→[KPP의 퍼즐라이프] 해당 게시물에 풀이를 남겨주세요. 

※ 편집자 주. KPP는 ‘퍼즐을 좋아하는 사람들의 모임’입니다. 저희들의 퍼즐 이야기를 통해 신기한 퍼즐과 그 속에 숨은 수학을 즐겨보세요!

용어정리

* 로버츠경 추모 워크숍 : 퇴역 군인 후원에 앞장섰던 영국군 최고 장교를 지낸 프레더릭 로버츠 경을 추모하는 행사로, 퇴역 군인이 만든 수공예품이나 장난감을 전시하고 팔았다.