프랙털은 전체 구조와 같은 모양의 작은 구조가 반복되며 전체 모양을 만드는 기하학적 형태를 말합니다. 브로콜리부터 유리에 생기는 성에까지 자연에서 쉽게 관찰할 수 있습니다. 프랙털의 성질을 탐구하고, ‘톡톡블럭’으로 아름다운 프랙털 모형을 함께 만들어 봅시다.
프랙털 구조에서 찾은 수학
프랑스 수학자 브누아 만델브로는 1967년 ‘영국의 해안선 길이는 얼마일까?’라는 질문에 대한 자신의 생각을 발표했다. 그는 코끼리가 해안선을 성큼성큼 걸어가면서 거리를 잴 때와 개미가 샅샅이 지나가며 잴 때는 많은 차이가 있다고 생각했다. 다리가 크고 긴 코끼리는 세세한 지형을 지나치므로, 개미가 세밀한 곳까지 다니며 거리를 재는 것보다는 전체 길이가 짧아진다고 여긴 것
이다.
이처럼 똑같은 해안선이라도 어떤 자로 재는지에 따라 길이가 달라지기 때문에 결과적으로 아주 작은 자를 이용하면 해안선의 길이가 무한대로 늘어난다는 것이 만델브로의 주장이었다. 그럼에도 불구하고 개미가 지나간 해안선의 모양과 코끼리가 지나간 해안선의 모양이 서로 비슷하다는 사실을 발견한 뒤 이런 구조를 ‘프랙털(fractal)’이라고 불렀다.
프랙털은 단순한 구조가 끊임없이 반복되면서 복잡하고 묘한 전체 구조를 만드는 것으로 ‘자기유사성’과 ‘순환성’이라는 특징을 가지고 있다. 특히 자연계에서 프랙털 구조가 자주 발견된다.
예를 들어 나뭇가지 모양과 창문에 성에가 자라는 모습 등이 모두 주변에서 관찰 가능한 프랙털이다. 프랙털의 원리를 잘 이용하면 부피가 큰 사물을 최소한으로 줄여 보관하거나 이동시킬 수도 있다. 프랙털이 우리 생활에 어떤 모습으로 존재하며 또 어떻게 활용될 수 있는지에 대해 살펴
보자.
● 시어핀스키 카펫(Sierpinski carpet)이란?
질문 1 : 단계가 올라갈수록 생기는 파란색 정사각형의 개수는 어떻게 변할까?
질문 2 : 단계가 올라갈수록 노란색 부분의 넓이는 어떻게 변할까?
질문 3 : 단계가 올라갈수록 노란색 부분 둘레의 길이는 어떻게 변할까?
● 시어핀스키 카펫 ‘2단계’ 만들기
톡톡블럭을 이용해 시어핀스키 카펫 2단계를 만들어보자.
● 프랙털 그리기
자신이 만든 시어핀스키 카펫을 보며 프랙털을 생각해 보자.
1 프랙털이란 무엇인지 친구들과 이야기해 보자.
2 자연현상에서 프랙털 구조를 갖는 것은 어떤 것들이 있을까?
3 프랙털을 그려보자. 사각형의 모눈 그림에서 자를 이용해 사각형의 각 변을 3등분하는 점을 확인하고 서로 마주보는 점을 이어 사각형 내부에 전체와 닮은 작은 사각형을 그리고 색칠한다.
작은 사각형에서 같은 과정을 반복하면서 2단계, 3단계의 시어핀스키 카펫을 그리고 색칠한다.
4 직접 만든 시어핀스키 카펫을 관찰해 시어핀스키 카펫(0단계~)에 필요한 블록의 개수를 구해 보자.남는 부분(노란색)과 블록이 없어지는 부분(파란색)을 서로 다른 색 블록으로 채우기 때문에 전체 개수에서 남는 부분을 빼는 방식으로 없어지는 부분의 개수를 구한다.
