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도넛이 인기 있는 건 도넛이 ‘곡면’의 비밀을 알려주기 때문입니다. 우선 곡면이 무엇인지 살펴보지요. 곡면의 대표적인 예로 지구 표면을 들 수 있습니다. 우리가 사는 지구는 구에 가깝습니다. 지구 표면에 있는 우리 눈에는 주변이 평평하게 보일지라도 실제로는 둥근 모습이지요.

곡면은 2차원의 면으로 이뤄진 공간입니다. 지구 표면뿐만 아니라 모든 물체의 표면이 곡면이지요. 중요한 건 어떤 곡면이든 그 위의 한 점에 서서 주변의 좁은 영역을 둘러보면 모두 평평하고 똑같이 보인다는 사실입니다. 그래서 작은 곡면 조각들을 서로 ‘위상적으로 같다’고 합니다. 좁은 영역만 봐서는 그 영역이 속한 곡면이 어떤 곡면인지 구분하기 어렵거든요.

유한한데 끝이 없고 양면인 곡면이 있다?!
위상적으로 같은 곡면 조각을 이어 붙여서 큰 곡면을 만들 수 있습니다. 조각을 이어 붙이는 방법은 무한히 많고, 쓸 수 있는 조각 자체가 무한히 많을 수도 있습니다. 그래서 곡면의 성질도 다양 합니다.

무한히 많은 조각을 이어 붙여서 곡면을 만들었는데, 조각 몇 개만 골라 남기고 나머지 조각을 버리는 상황을 상상해 봅시다. 남은 조각 몇 개로 곡면 전체를 유지할 수 있는 경우, 이 곡면을 ‘유한하다’ 또는 ‘콤팩트하다’고 부릅니다. 반면 절대로 조각 몇 개로 만들 수 없는 곡면이 있습니다. 모든 방향으로 무한히 뻗어나가는 평면은 유한하지 않은 곡면의 대표적인 예이지요.

유한 개의 조각으로 만든 곡면이라면, 왠지 한 쪽 방향으로 계속 걸을 경우 곡면의 ‘끝’에 도달할 것 같습니다. 마치 옛날 사람들이 평평한 지구의 끝에 낭떠러지가 있을 거라고 상상했던 것처럼요. 그러나 유한하면서도 끝이 없는 곡면이 있습니다. ‘경계가 없는 곡면’이라면 가능합니다. 지구처럼 구 모양인 곡면 위에서는 어떤 방향으로 걸어가든 언젠가는 원래 위치로 되돌아옵니다. 절대 낭떠러지를 만나는 일은 없지요. 반면, 빨대는 경계가 있는 곡면의 대표적인 예입니다.

마지막으로, 양면이 없는 곡면과 양면이 있는 곡면을 생각할 수 있습니다(수학자들은 이것을 ‘방향이 있다, 없다’로 표현하기도 합니다). 양면이 없는 곡면 가운데 가장 널리 알려진 예가 뫼비우스의 띠입니다. 기다란 직사각형 띠의 한 쪽을 반 바퀴 꼰 다음 양끝을 붙인 뫼비우스의 띠 위에서는 어느 점에서 출발하든 걸어서 다른 어떤 점으로 갈 수 있습니다. 반면, 반 바퀴를 꼬지 않고 띠의 양끝을 그냥 붙이면 양면이 있는 원통이 됩니다. 안쪽 또는 바깥쪽 면의 한 점에서 출발했다면 경계를 지나지 않고는 걸어서 반대쪽 면에 있는 점으로 갈 수 없지요.

그렇다면 문제입니다. 유한하고 경계가 없으며 양면이 있는 곡면은 어떻게 생겼을까요?

도넛으로 모든 곡면을 아우르다!

일상에서 마주치는 거의 모든 물체의 표면이 유한하고, 경계가 없으며 양면이 있는 곡면입니다. 동그란 구와 구멍이 한 개인 도넛, 두 개인 도넛, 세 개인 도넛 모두 그렇습니다. 사실 구멍의 개수에는 제한이 없습니다. 구를 구멍이 없는 도넛으로 본다면, 0 또는 임의의 자연수만큼 구멍이 있는 도넛은 유한하고, 경계가 없으며 양면이 있는 곡면입니다. 즉, 유한하고 경계가 없으며 양면이 있는 곡면은 모두 구멍의 개수가 다른 도넛으로 구분할 수 있습니다.

구멍의 개수가 다른 도넛은 위상도 모두 다릅니다. 구멍의 개수가 서로 다른 도넛이 100개 있다면 서로 다른 위상도 100가지가 있지요. 그런데 위상이 서로 아무리 달라도 도넛을 크게 세 가지로 나눌 수 있다는 사실, 알고 있나요?

도넛을 나누는 기준은 곡면이 얼마나 휘어져 있는지를 나타내는 값인 ‘곡률’입니다. 곡률이 곡면위의 모든 점에서 같다는 조건을 추가하면, 모든 곡면은 곡률이 양수인 곡면, 0인 곡면, 음수인 곡면 중 하나입니다. 재미있게도, 모든 점에서 곡률이 양수인 곡면은 ‘구’뿐이며, 구멍이 한 개인 도넛은 유일하게 곡률이 0이 될 수 있습니다.

그 외에는 모두 곡률이 음수입니다. 특히, 곡률이 음수인 곡면을 ‘쌍곡기하를 가진 곡면’ 또는 ‘쌍곡 곡면’이라고 부릅니다. 쌍곡 곡면 위의 한 점에서 주변의 좁은 영역을 살펴보면 쌍곡 평면 위의 한 점에서 본 주변 공간과 똑같습니다.

모든 점에서 쌍곡 평면처럼 생긴 곡면이 쌍곡 곡면입니다(쌍곡 평면은 8월호 기사 ‘나 혼자 산다’를 참고하세요). 즉, 유한하고 경계가 없으며 양면이 있는 곡면은 모두 구멍이 없는 도넛과 구멍이 한 개인 도넛, 구멍이 두 개 이상인 도넛 이렇게 세 개의 그룹으로 묶을 수 있습니다. 그래서 곡면의 성질을 연구하는 위상수학자에게 도넛이 사랑받는답니다.