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“응, 맞아. 어서 와, 아밀리~! 네가 올해 첫 의뢰인이야. 말만 하라구. 뭐든 우리 앤드류가 해결해 줄 거야.”
“올해가 말의 해잖아요. 그래서 말과 관련된 수학 내용을 찾으려고 하는데…, 잘 모르겠어요.”
“설마 말안장 곡면을 몰라서 찾아온 건 아니지?”
“앤드류, 다 너 같지 않다고. 나도 몰랐단 말이야. 아밀리에게 자세히 소개해 줘~!”
수학의 고정관념을 깨는 말안장 곡면
말안장 모양과 비슷해 이름 붙은 말안장 곡면은 ‘쌍곡포물면’이라고도 불리는 이차 곡면이다. 3차원 좌표에서 z축에 수직인 평면으로 자르면 쌍곡선, x축과 y축에 수직인 평면으로 자르면 포물선이 생기는 특징을 갖고 있다. 여기서 이차 곡면이란 함수식으로 나타냈을 때 최고차항이 2차원이고, 그래프의 모양이 곡면인 형태를 말한다.
그런데 말안장 곡면은 독특한 수학적 성질을 갖고 있어 수학자들의 연구대상이 되어 왔다. 바로 곡면 위에 삼각형을 그리면 내각의 합이 180°보다 작다는 것이다. 학교에서는 어떤 삼각형을 그려도 내각의 합은 항상 180°라고 배우는데, 대체 이게 어떻게 된 걸까?
그 이유는 초 · 중 · 고등학교에서는 고대 그리스의 수학자 유클리드가 정립한 ‘유클리드 기하학’만을 배우기 때문이다. 유클리드 기하학은 기원전 3세기에 유클리드가 자신의 저서 <;원론>;을 통해 기하학을 정립한 것이다. 이후 2000년 넘는 세월 동안 전세계 기하학을 지배해 왔다. 그런데 19세기에 들어서 유클리드가 상상한 기하 공간이 우주를 설명할 수 없다는 것이 밝혀졌다. 아인슈타인의 상대성 이론에 따르면 우주 공간 자체는 휘어져 있는데, 유클리드 기하학은 휘어진 공간에서 성립하지 않기 때문이다. 이에 새로운 기하학이 싹트기 시작했고, 이것이 바로 ‘비유클리드 기하학’이다.
비유클리드 기하학이란, 유클리드 공간이 아닌 모든 기하학을 총체적으로 이르는 말이다. 여기서는 삼각형의 내각의 합은 180°보다 크거나 작고, 두 점을 지나는 직선은 한 개 이상일 수도 있다. 말안장 곡면 위에서 벌어지는 모든 기하학적 원리는 이 비유클리드 기하학을 따르고 있으며, 삼각형의 내각의 합은 180°보다 작다.
말안장 곡면은 건축, 디자인 등 다양한 분야에서 사랑받고 있다. 손으로 잡기에 편리하면서도 공간을 효율적으로 사용하기 때문이다. 여기에 튼튼함까지 갖추고 있어 물건 디자인에도 안성맞춤이다.
