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돌아온 영웅 슈퍼맨을 수학적인 시선으로 파헤쳐 보자.


슈퍼맨의 두 가지 운명

나는 크립톤 행성에 살고 있는 조엘이라네. 크립톤 행성 최고의 과학자이자 당신들의 영웅 슈퍼맨의 친아버지이기도 하지. 슈퍼맨의 탄생 비화를 들려주려 왔네. 내 아들 칼엘이 막 태어났을 때, 난 우리 행성이 곧 예기치 못한 폭발로 위험에 처할 것이란 사실을 알게 됐어. 그래서 난 서둘러 칼엘을 우주선에 태워 지구로 보낼 수밖에 없었지.

다행히 칼엘은 기나긴 여행 끝에 지구에 잘 도착했어. 칼엘이 탄 우주선은 미국 캔자스 지방에 착륙했더군. 우주선을 처음 발견한 켄트 부부는 지금까지 칼엘을 잘 키워 주었지.

칼엘은 크립톤족의 DNA를 물려받아 영웅의 운명을 타고났어. 평생을 지구에 살게 됐지만 그 운명만큼은 거스를 수 없었지. 하지만 칼엘은 자신에게 지구인과 다른 능력이 있다는 사실을 알게 되면서 고민을 하더군. 아마 평범하지 않은 삶이 두려웠던 모양이야.

하루하루 선택의 갈림길에서 괴로워하던 칼엘은 어느 날 지구가 아닌 외계에서 날아온 메시지를 받게 돼. 이 메시지를 시작으로 칼엘과 악당 조드 장군의 대결이 시작 되지.

난 내 아들이 이 위기를 잘 극복하고, 영원히 당신들의 영웅으로 잘 살길 바란다네. 헌데 지구인 양아버지 켄트는 운명의 갈림길에서 고민하는 아들을 옆에서 안쓰럽게 지켜보더군. 하지만 자신의 운명은 자신만이 결정할 수 있는 것! 슈퍼맨의 피할 수 없는 운명의 선택을 지켜봐 달라고!


어느 날, 외계로부터 도착한 메시지

자신을 ‘조드’라고 밝힌 정체불명의 존재로부터 메시지가 도착했다. 아무래도 클락을 찾는 눈치다. 클락의 우주선을 처음 발견했을 때도 난 ‘대체 어떻게 이곳에 왔을까’ 하는 의문이 들었다. 그들은 어떻게 우주 공간을 지나 지구로 우주선과 메시지를 보낼 수 있는 걸까?

외계인의 메시지, 코딩이론으로 해독한다!

영화에서 조드는 전파를 이용해 우주 밖 행성에서 지구로 음성 메시지를 보낸다. 실제로 우리도 우주 탐사선이나 인공위성과 교신할 때 전파를 사용한다. 음성이나 문자와 같은 아날로그 신호를 0과 1로 이루어진 디지털 신호로 바꿔 전파를 이용해 주고받는 원리다.

하지만 우주공간에는 자연적으로 생기는 다양한 종류의 전파가 많기 때문에, 외계에서 보낸 신호가 오류 없이 전송되기가 쉽지 않다. 어떻게 오류를 잡아내고, 정확한 메시지를 확인할 수 있을까?

정보 이론의 아버지로 불리는 미국의 수학자 클로드 섀넌은 1948년에 <;통신의 수학적 이론>;이라는 논문을 발표했다. 이 논문에서 디지털 신호의 자릿수를 뜻하는 ‘비트’라는 단어를 처음 사용하며, 통신 과정에서 발생하는 오류를 잡는 해결책을 제시했다.

메시지를 주고받는 통신 과정에서 발생할 수 있는 오류란 0과 1로만 구성된 신호가 때에 따라 0이 1로, 1이 0으로 인식될 때를 말한다. 예를 들어 1010이라는 신호가 1000으로 바뀌어 전송되었다면 이때는 1비트(자릿수) 오류가 발생한 것이다. 그래서 섀넌은 전송하는 신호 맨 뒤에 1비트를 추가해 신호를 나타내는 다섯 개 숫자의 합이 무조건 짝수가 되도록 ‘짝비트’를 추가했다. 따라서 1010은 10100이 되고, 1000은 10001이 된다. 혹시 전송돼 온 신호가 10101이라면, 이 신호는 숫자의 합이 홀수이므로 잘못된 신호임이 확실하다. 하지만 짝비트만으로는 몇 번째 자리에서 생긴 오류인지는 추측할 수 없으므로, 신호를 재송신해야 한다.

그러나 이 연구를 더욱 발전시켜 오류를 수정하도록 새로운 ‘부호’를 만든 수학자가 있다. 바로 미국의 수학자 리처드 해밍이다. 해밍은 벨 연구소에서 일하다가 오류 검출과 수정에 관심을 갖게 돼, 1950년 <;오류 검출 및 오류 정정 부호>;라는 논문을 세상에 발표했다. 해밍은 새로 발견한 부호에 자신의 이름을 본떠 ‘해밍 부호’라 불렀다.

해밍 부호는 다음과 같이 이진법 원리를 이용한다. 가장 간단한 [7, 4] 해밍 부호를 살펴보자. [7, 4] 해밍 부호는 일곱자리 수 중에 아래 표에서 색칠한 네 자리에 원하는 정보를 담고, 나머지에 정해진 계산식에 의해 만든 자릿수를 끼워 넣는 방식이다(표1). 예를 들어 보내고자 하는 메시지가 1010이라고 하면, 일곱 자리 수는 1011010이 된다(표2).

해밍 부호는 일곱 자리 중 한 자리가 오류가 나더라도 원래 정보를 복구할 수 있다. 만약 전송된 정보가 1010010이라고 하면, 정해진 계산 값에 각 자릿수를 대입해 C₄자리만 잘못됐다는 사실을 알 수 있다(표3). 이처럼 해밍 부호를 이용하면 적어도 일곱 자리 중 한 자리 오류는 찾아낼 수 있다.
 
이처럼 정보 교류 중 발생하는 오류를 탐지하고 교정하는 이론을 수학에서는 ‘코딩이론’이라고 부른다. 지나친 추상수학으로 여겨져 수학자들이 외면했던 코딩이론은 우주 탐사분야에서 빛을 발하기 시작했다. 1979년에 미국의 무인 우주 탐사선 보이저 호에서 보내온 화상신호를 코딩이론을 이용해 완벽한 컬러 사진으로 복원했기 때문이다. 그 이후로 오늘날에는 CD에 음악을 저장하거나, 인터넷에서 전세계의 신호를 구분해 정확히 전송하는 일에 코딩이론이 사용되고 있다.

슈퍼맨의 초능력, 정말 가능할까?

클락에게 비범한 능력이 있다는 걸 알게 된 건 그 사고 때문이었다. 학창시절 같은 반 친구들이 물에 빠져 모두 위험에 처했을 때, 클락의 능력이 발휘됐기 때문이다. 물에 빠진 버스를 한 손으로 건져낸 힘, 대체 클락에겐 어디서 그런 힘이 나올까? 헐크처럼 몸집이 유독 큰 것도 아닌데 말이다.


슈퍼맨의 힘

슈퍼맨의 ‘힘’에 대해 제대로 이해하려면, 질량과 무게를 구분할 줄 알아야 한다. 질량은 물체가 가지고 있는 고유의 양을 나타낸다. 반면 무게는 물체에 가해지는 중력의 크기를 말한다. 고유한 물체는 어떤 행성에서도 그 질량이 변하지 않는다. 슈퍼맨을 구성하는 본질의 양은 항상 일정하기 때문에, 크립톤 행성이든 지구든 그 질량은 같다. 하지만 무게는 그가 서 있는 행성이 그를 얼마나 강하게 잡아당기느냐, 즉 중력에 따라 달라진다. 이 때문에 중력의 세기에 따라 무게도 달라진다.

<;슈퍼맨>; 원작에는 크립톤 행성의 중력이 지구의 중력보다 훨씬 강하다고 설명돼 있다. 또 슈퍼맨은 크립톤 행성 중력에 익숙한 근육과 골격을 지니고 태어나, 지구의 중력쯤은 가볍게 이겨내고 큰 힘을 발휘한다고 말한다.

F(힘)=m(질량)×a(가속도) 공식을 이용해, 슈퍼맨이 200m 건물 위로 뛰어오를 때 필요한 힘을 직접 계산해 보자.

슈퍼맨의 몸무게가 100kg이라고 가정하자. 먼저 슈퍼맨이 200m 건물 위로 뛰어오르는 동안 발생하는 가속도를 구해야 한다. 이때 가속도는 속도의 변화량을 시간으로 나눈 값이다.슈퍼맨이 점프하는 데 필요한 속도의 변화량은 v²(속도)=2×g(중력가속도)×h(높이)로 구할 수 있다. 그러면 점프하는 데 필요한 속도 변화량은 약 63m/s가 된다. 슈퍼맨이 몸을 움츠렸다가 펴면서 지면을 다리로 밀어내는 동안 걸린 시간을 0.25초라고 가정하면, 가속도는 252m/s²이다. 이 정도 가속도로는 자동차가 출발점에서 100km 떨어진 거리까지 도달하는 데 0.1초 정도가 걸린다. 다시 말해 슈퍼맨이 200m 높이의 건물 위로 뛰어 오르는 데 필요한 힘은 100kg×252m/s²=2만 5200kg·m/s²≒2만 5000N이 된다.

지구 중력 가속도가 9.8m/s²이므로, 질량이 1kg인 물체의 무게는 1kg×9.8m/s²=9.8N≒10N이다. 즉 2만 5000N은 질량 2.5톤의 물체를 들어올릴 수 있는 힘과 같다.


만약 슈퍼맨이 지구인이었다면?

칼엘(클락)이 만약 지구인이었다면, 슈퍼맨처럼 엄청난 힘을 발휘하기 위해선 그의 몸집 자체가 달라져야 한다. 이때는 몸이 커지면서 늘어나는 몸의 부피와, 몸을 구성하고 있는 뼈의 밀도도 고려해야 한다. 사람의 몸은 뼈가 몸무게를 지탱해야만 자유롭게 움직일 수 있기 때문이다.

계산을 편리하게 하기 위해서 슈퍼맨을 길이, 높이, 넓이가 모두 1m인 정육면체 상자라고 생각해 보자. 그럼 그 부피는 1m³(=1m×1m×1m)이다. 이때 슈퍼맨의 키를 10배 늘인다면 그 몸집은 1000배, 단면적은 100배로 커진다.

그럼 몸무게는 어떨까? 만약 슈퍼맨이 키와 몸집이 커질 때 몸을 구성하고 있는 뼈의 밀도도 동일하게 증가한다면, 밀도 역시 부피와 같은 비율인 세 제곱배로 증가한다.

보통 건장한 성인 남자는 최대 자신의 몸무게만큼 힘을 발휘한다. 따라서 슈퍼맨의 몸무게가 2.5톤에 해당하려면, 슈퍼맨의 키와 몸집은 얼마나 커져야 할까? 슈퍼맨이 현재 키 180cm, 몸무게 100kg의 신체조건이라고 가정하고 몸무게를 2.5톤 정도로 늘여 보자. 몸무게 100kg에 3³을 곱하면 그 값이 약 2.7톤이 된다.

따라서 지구인으로서 영웅의 힘을 발휘하려면 적어도 키를 3배 정도로 키워야 알맞다. 키 5.4m, 몸무게 약 2.7톤, 단면적은 약 9배로 커져야 슈퍼맨의 활약을 이어갈 수 있다는 얘기다.