d라이브러리

“앗! 반지가 또 있잖아? 절대반지는 이미 불 속에 던져 버렸는데, 절대반지가 또 있는 걸까? 잠깐, 반지에 ‘Legend of Mathematics’라고 쓰여 있어. 수학의 전설?”

절대반지를 찾아 떠났던 프로도는 절대반지를 찾아 불 속에 던지고 돌아오는 길에 또 다른 반지 하나를 발견했다. 반지는 유난히 반짝거리며, 묘한 기운을 내뿜고 있었다.
“그래! 이번에도 용기를 내서 반지를 껴 보겠어!”


델로스 섬에 전해지는 수학의 전설

“아아악~, 어지러워. 여기가 어디지?”
반지를 끼자, 프로도는 반지의 거대한 힘에 의해 어디론가 빨려 들어갔다. 정신을 차리고 보니 프로도 눈앞에는 다른 세상이 펼쳐져 있었다. 그곳에는 거대한 신전이 있었는데, 그 앞에서 사람들이 모여 웅성거리고 있었다.
“이러다가 정말 델로스에 사는 사람들 모두가 전염병으로 죽겠어요. 어떡하죠? 아폴로 신이 낸 문제를 어서 풀어야 할 텐데….”

전설 1 모양은 같되, 크기가 2배인 제단을 만들라!

기원전 430년 경, 그리스의 델로스 섬에는 무서운 전염병이 돌고 있었다. 델로스 사람들은 아폴로 신의 노여움 때문에 전염병이 돌고 있다고 생각했다. 사람들이 아폴로 신의 화를 풀기 위해 간절히 기도하고 있을 때, 웅장한 신의 음성이 들렸다.

“지금 이 신전에는 정육면체 모양의 제단이 있다. 이 제단과 모양은 같되, 크기가 2배인 제단을 만들어라! 그러면 전염병에 걸린 사람들이 모두 나을 것이다.”

신의 음성을 들은 델로스 시민 중 한 사람이 이 문제를 풀겠다며 나섰다.

“내가 해결해 볼게요! 크기가 2배인 제단을 만드는 것이라면, 신전에 있는 정육면체 모양의 제단을 2개 붙이면 되는 거 아닌가요?”

문제를 잘못 푼 모습을 본 아폴로 신은 오히려 더 화가 났다. 아폴로 신은 사람들에게 다시 문제를 풀라고 말했다. 그러자 이번에는 또 다른 사람이 나섰다.

“이렇게 정육면체의 한 변의 길이를 두 배로 늘리면 되지 않을까요?”

이 사람은 원래 제단의 한 변의 길이에 2배인 정육면체 제단을 만들었다. 아폴로 신은 문제를 정확하게 이해하지 못하는 델로스 사람들의 모습을 보고 더욱 화가 났고, 전염병도 멈추지 않았다. 이후 사람들은 이 문제를 ‘델로스의 문제’라고 부르게 되었다.
 
전설 속 수학 1

델로스의 문제는 왜 풀리지 않은 걸까?

델로스의 문제를 간단히 표현하면 ‘원래 정육면체 부피의 2배인 정육면체를 작도할 수 있는가?’이다. 얼핏 들으면 간단하게 해결할 수 있는 문제처럼 보이지만, 사실은 그렇지 않다.

실제로 방정식을 이용하면 부피가 2배인 정육면체의 한 변의 길이를 어렵지 않게 구할 수 있다. 그러나 이 문제가 어려운 이유는 눈금 없는 자와 컴퍼스만으로 그 값을 찾아야 하는 ‘작도 문제’란 점에 있다.

고대의 전설에서 내려온 이 문제는 약 2000년이 지난 뒤에야 수학자들의 증명에 의해 풀 수 없는 문제로 밝혀졌다. 그런데 놀랍게도 수학자들은 오랫동안 풀지 못했던 기하학의 난제를 대수학을 이용해 증명했다. 어떻게 기하학 문제를 대수학★으로 증명한 걸까?

대수학★ 수학의 한 분야로, 수 대신 문자를 사용해 방정식을 푸는 방법을 연구하는 것에서 시작됐다.

수학에서 ‘델로스의 문제’와 같이 풀 수 없다는 것을 증명하는 것은 매우 어려운 일이다. 게다가 델로스의 문제는 고대 기하학 문제로, 그림을 통해 풀 수 없다는 걸 증명하는 것은 더더욱 어렵다. 따라서 이 기하학의 문제를 풀기 위한 발상의 전환이 필요했는데, 19세기 프랑스의 수학자 방첼이 이를 해결했다.



전설 속 수학 +

절대 풀 수 없는 3가지 작도 문제

풀 수 없는 유명한 작도문제로는 ‘델로스의 문제’ 말고도 두 가지가 더 있다. 델로스의 문제를 포함해 이 세 문제를 가리켜 ‘3대 작도 불능 문제’라고 한다. 델로스의 문제를 포함한 3대 작도 불능 문제는 다음과 같다.
 
임의의 각을 삼등분하는 각을 작도하는 것은 불가능하다. 왜 그럴까? 어떤 각이더라도 삼등분하는 각은 작도할 수 없는 걸까?

결론부터 말하자면 삼등분이 되는 각도 무수히 많지만, 삼등분할 수 없는 각도 무수히 많다. 따라서 수학에서는 임의의 각을 삼등분하는 각은 작도할 수 없다고 말한다. 이 문제 역시 방첼의 이론에 따라 설명할 수 있다. 각을 대수적으로 표현하기 위해 방첼은 삼각비 중에서도 코사인을 이용했다. 어떤 각(θ)이 작도가능한지 알려면 cosθ의 값이 작도가능하다는 것을 밝혀야 한다.

예를 들어 60°의 삼등분 각인 20°를 살펴보자. cos20°를 근으로 갖는 최소다항식은 8x³-6x-1이다. 이 다항식은 차수가 3이므로 2의 거듭제곱이 아니다. 즉, cos20°는 작도할 수 없고 결국 20°도 작도할 수 없다.

수학에도 ‘불화의 사과’가 있다!

“이 반지를 끼면, 수학의 전설이 있는 곳으로 가는구나~. 전설로 배우는 수학 이야기, 정말 흥미진진해! 다시 반지를 끼우고 또 다른 전설을 찾아가 볼까? 앗! 그런데 반지가 어디 있지?”
“마이 프레셔스~, 특별한 반지라고? 그럼, 이 반지는 내 거야. 반지를 껴 봐야지.”
“골룸, 안 돼~! 그 반지를 끼면 어디론가 가 버린다고! 같이 가~.”
골룸과 프로도는 다시 반지의 힘에 이끌려 새로운 곳에 도착했다. 그곳에서는 화가 난 한 여인이 결혼식장 안으로 들어가고 있었다.
“나만 초대하지 않다니! 그렇다고 내가 안 갈 줄 알고?”

전설 2 아름다운 세 여인과 불화의 황금사과

바다의 여신인 테티스와 펠레우스의 결혼식 날, 올림포스의 모든 신들은 이 결혼식에 초대되었다. 하지만 단 한 명의 신만은 초대를 받지 못했다. 바로 불화의 여신 ‘에리스’다. 결혼식에 초대 받지 못한 에리스는 잔뜩 화가 난 얼굴로 결혼식장에 찾아갔다.

결혼식에 찾아간 에리스는 올림포스 최고의 세 여신인 헤라, 아테나, 그리고 아프로디테에게 다가갔다. 그리고 세 여신 앞에 ‘가장 아름다운 여신에게’라고 쓰여 있는 황금사과를 두고 사라졌다. 그러자 세 여신은 서로 황금사과의 주인이 자신이라고 주장했다.

“어? 황금사과잖아? 가장 아름다운 여신에게 주는 사과인 걸 보니 누군가 나, 헤라에게 주고 간 거네.”

“헤라, 지금 농담하는 거지? 가장 아름다운 여신이면 두말할 것도 없이 나 아테나지.”

“둘 다 무슨 소리야? 그 사과는 나 아프로디테 거야.”

황금사과의 주인이 정해지지 않자, 세 여신은 트로이의 왕자인 파리스에게 황금사과의 주인에 대한 결정권을 넘겼다. 그러자 헤라는 권력을, 아테나는 지략과 군사력을, 그리고 아프로디테는 가장 아름다운 여인을 걸고 자신을 선택해 달라고 말했다.

고민하던 파리스는 아름다운 여인을 얻기 위해 황금사과를 아프로디테에게 주었다. 약속대로 아프로디테는 파리스에게 지상에서 가장 아름다운 여인인 헬레네를 주었다. 그러나 헬레네는 이미 다른 사람의 아내였기 때문에, 이 일로 전쟁이 일어나게 되었다. 이것이 바로 트로이 전쟁이다.

이 전설은 그리스로마신화에 나오는 이야기로, 불화의 여신 에리스가 두고 간 사과 때문에 이런 일이 벌어졌다고 해서 이 황금사과를 ‘불화의 사과’라고 부른다.


전설 속 수학 2

수학에도 ‘불화의 사과’가 있다!

신화 속에서 나오는 불화의 사과처럼 불화를 몰고 온 것이 수학에도 있다. 수학에서의 ‘불화의 사과’는 다름 아닌 ‘사이클로이드 곡선’이다. 그런데 사이클로이드 곡선이 왜 ‘불화의 사과’란 별명을 갖게 됐을까?

사이클로이드 곡선이 세상에 등장한 것은 17세기였다. 당시 내로라하는 수학자들 중 상당수가 동시에 각지에서 사이클로이드를 발견하고 그 성질을 연구했다. 이 때문에 사이클로이드의 선구자가 누구인지를 두고 수학자들은 서로 논쟁을 삼았다. 사이클로이드가 전설 속 불화의 사과처럼 수학자들 사이에서 불화를 일으켰다고 해서, ‘수학의 불화의 사과’라는 별명이 붙었다.
 
원판을 모두 옮기면, 종말이 온다?

“휴~, 골룸 인생 987년 동안 가장 놀라운 경험이었어. 그런데 수학에도 불화의 사과가 있다니 재밌군! 그러고 보니 한때는 나도 수학을 참 좋아했었는데…. 또 재밌는 전설이 있는 곳으로 가는지 다시 반지를 껴 볼까? 프로도, 이번에도 같이 가자!”
반지는 다시 골룸과 프로도를 고대 인도의 한 사원 앞으로 데려갔다. 그곳에서는 승려가 깊은 한숨을 내쉬고 있었다.
“황금 원판을 모두 옮기면 종말이 온다고? 종말이 얼마 남지 않았구나. 휴~.”


전설 3 황금 원판을 옮겨라!

이곳은 인도 베라레스에 있는 한 사원. 승려들은 브라흐마 사제의 지시에 따라 황금 원판을 부지런히 옮기고 있었다. 이 사원 안에는 브라흐마를 모시는 제단이 있는데, 제단 위에 ‘브라흐마의 탑’이라 부르는 탑이 있었다. 이 탑은 다이아몬드로 된 3개의 바늘이 있었고, 바늘에는 황금으로 된 여러 개의 원판이 꽂혀 있었다.

어느날 브라흐마는 승려들에게 다음과 같은 방법으로 원판을 옮기라고 말했다.

“바늘에 꽂혀 있는 64개의 모든 원판을 다른 바늘로 옮겨라. 모든 원판을 옮기는 날에 탑은 무너질 것이며, 세상은 종말을 맞이하게 될 것이다. 단 원판을 옮길 때에는 다음과 같은 2가지 규칙을 꼭 지켜야 한다.”

브라흐마의 말에 따라 승려들은 부지런히 황금 원판을 옮겼다. 그런데 아무리 승려들이 옮겨도 이 일은 좀처럼 끝이 나지 않았다.

이 이야기는 베트남의 수도인 하노이에 있는 한 사원에서 전해져 오는 전설로, 1983년 프랑스의 수학자 루카스에 의해 ‘하노이의 탑’이라는 이름으로 세상에 알려졌다. 하노이의 탑 문제는 지금도 많은 사람들에게 사랑받는 수학 퍼즐이다.

<;규칙>;

➊ 한 번에 하나의 원판만 옮길 수 있다.
➋ 큰 원판이 작은 원판 위에 있어서는 안 된다.

전설 속 수학 3
아무리 원판을 옮겨도 왜 종말은 오지 않은 걸까?

막대에 $n$개의 원판이 있을 때, 하노이 탑의 규칙에 따라 원판을 모두 다른 막대에 옮기는 데 필요한 횟수는 2ⁿ-1 이다. 이 공식은 직접 원판을 옮겨보며 그 규칙을 찾아 구할 수 있다. 바늘에 꽂혀 있는 원판의 개수를 n이라고 가정해 보자.

n=1인 경우 : 1=2¹-1(회)
n=2인 경우 : 3=2²-1(회)
n=3인 경우 : 7=2³-1(회)
n=4인 경우 : 15=2⁴-1(회)
…
n=63인 경우 : 9,223,372,036,854,775,999=${2}^{63}$-1(회)
n=64인 경우 : 18,446,744,073,709,551,999=${2}^{64}$-1(회)

바늘에 꽂혀 있는 원판 64개를 모두 다른 바늘로 옮기려면, 무려 천경이 넘는 횟수가 나온다. 원판을 1회 옮기는 데에 걸리는 시간을 1초라 가정하고, 원판을 옮기는 데에 걸리는 시간을 계산해 보자. 1년은 31,536,000초이므로(1년=365일=365×24시간=365×24×3600초), $n$=64일 때의 값 ${2}^{64}$-1을 31,536,000초로 나누면 된다. (${2}^{64}$-1)÷31,536,000=약 5849억 4241년 7355년이란 값이 나온다. 원판 하나를 옮기는 데에 1초만 잡아도 무려 약 5800억 년이 넘게 걸린다. 어쩌면 전설 속 승려들은 지금까지도 황금 원판을 옮기고 있을지도 모른다.


거북 등에 새겨진, 마방진의 전설

“골룸, 정말 반지를 끼고 이곳저곳을 다니며 전설과 함께 수학을 공부했더니 어렵다고만 생각했던 수학이 재밌어졌어. 이참에 나도 수학공부 다시 열심히 해 볼까? 크크~.”
반지를 끼고 떠나는 수학의 전설 여행에 재미를 붙인 골룸과 프로도는 다시 한 번 반지를 꼈다. 그러자 이번에는 고대 중국의 한 강가에 도착했다. 저 멀리 강가에 서 있는 임금의 목소리가 들려오기 시작하는데….
“올해도 강물이 넘쳐서 마을 사람들이 많은 피해를 보았으니,걱정이로구나.”


전설 4 거북 등껍질에서 시작된 마방진

기원전 약 2000년, 고대 중국의 하나라 우임금은 강물이 자주 범람해 황하의 물길을 직접 점검하고자 강가에 나와 있었다. 바로 그때, 강가에 한 마리의 거북이 떠내려 왔다. 그런데 그 거북의 등껍질에는 묘한 그림이 그려져 있었다.

“폐하, 저기 저 거북을 좀 보십시오. 거북의 등껍질에 이상한 그림이 그려져 있습니다.”

“오호라~, 정말 거북 등껍질에 독특한 점이 찍혀 있구나. 그 거북을 이리 가져와 보거라.”

거북의 등껍질에는 총 9개의 그림이 그려져 있는데, 그림은 각각 여러 개의 점으로 이뤄져 있었다. 이를 자세히 살펴본 우임금은 뭔가를 발견한 듯 기뻐했다.

“이 거북의 등껍질에 그려진 그림은 매우 신비롭구나. 거북의 등껍질에는 1부터 9까지 숫자에 해당하는 점이 찍혀 있고, 가로와 세로 각각 세 줄씩 배열돼 있다. 가로와 세로, 대각선의 어느 방향으로 더해도 그 더한 값은 15가 되는구나.”

임금의 말대로 거북의 등껍질에 그려진 점의 개수에 해당하는 숫자는 신기하게도 가로와 세로, 대각선으로 더한 값이 모두 같았다.

“강물에서 내려 온 신비로운 그림이란 뜻으로, 앞으로 이런 그림을 ‘낙서’라 부르도록 하여라.”

이때부터 중국에서는 이런 수의 배열을 세상의 비밀과 진리를 담고 있는 신비로운 것으로 여기기 시작했다. 이 전설은 지금껏 많은 사람들이 좋아하는 퍼즐인 ‘마방진’의 시초로 알려져 있다.


전설 속 수학 4

3차 마방진은 세상에 단 하나뿐이다!

전설 속에 등장한 마방진과 같이 가로 세 칸, 세로 세 칸으로 이뤄진 마방진을 ‘3차 마방진’이라고 한다. 이런 3차 마방진에는 또 어떤 것이 있을까?
 
위의 마방진은 모두 3차 마방진이다. 하지만 자세히 보면 위의 마방진은 좌우대칭, 상하대칭, 회전대칭했을 뿐 근본적인 수의 배열은 같다. 또 항상 마방진의 가운데 있는 숫자가 5라는 것도 같다. 결론적으로 말하자면, 3차 마방진은 단 하나뿐이다. 그 이유는 다음과 같다.

오른쪽 아래와 같이 3차 마방진에 A부터 I까지 배열한다. 그러면 A+B+C+D+E+F+G+H+I=45(식➊)이다. 또 가로줄의 세 수를 모두 더한 값이 서로 같아야 하므로, A+B+C=D+E+F=G+H+I이다(식➋). 그런 다음, 식➊에 식➋를 대입하면 (A+B+C)+(A+B+C)+(A+B+C)=45이다. 즉, A+B+C=15이다. 같은 방법을 세로줄과 대각선에도 적용하면 A+D+G=B+E+H=C+F+I=15이다. 이제 가운데 E를 포함한 가로, 세로, 대각선 두 줄을 더해 보자.

(D+E+F)+(B+E+H)+(A+E+I)+(C+E+G)=(A+B+C+D+E+F+G+H+I)+3E=60. 그런데 A+B+C+D+E+F+G+H+I=45이므로, E=5이다. 즉, 맨 가운데 위치한 수는 항상 5라는 얘기다.

이제 나머지 칸에 수를 적절히 배열해야 한다. 이를 위해 정사각형의 꼭짓점에 해당하는 A, C, G, I에 어떤 수가 와야 하는지를 생각해 보자.

만약 A가 1이라면 I는 9가 되고, 이 상태에서 F에 6을 넣으면 D에는 4가 와야 한다. 그런데 여기서 A=1, D=4이므로 G=10이 되어야 하는데, 10이란 수는 넣을 수 없다. 따라서 마방진이 만들어지지 않는다.

이와 같은 방법으로 가운데 수 5를 기준으로 수를 배열해 보면 오른쪽과 같이 1은 모서리 가운데에, 6은 꼭짓점에 위치해야만 한다는 것을 알 수 있다. 그리고 나서 빈 칸에 나머지 수를 채우면 3차 마방진은 오직 한 가지뿐이다.

수학자들은 마방진에 따른 해법과 그 개수를 연구하고 있다. 4차 마방진의 해는 프랑스의 수학자 베르나르 프레니클 드 베시가 880개라고 알아냈고, 5차 마방진은 미국의 수학자 리처드 슈로펠이 1973년에 275,305,224개라고 계산했다. 그러나 6차 마방진의 개수는 현대수학으로도 아직 해결하지 못한 상태다.


숫자에 감춰진 또다른 이야기

“Legend of Mathematics! 반지에 쓰여 있는 이 말의 뜻을 이제야 알겠어! 반지를 낄 때마다 전설이 담긴 곳으로 이동해 주는 수학의 절대 반지였던 거야. 골룸~, 우리 기왕 이렇게 된 거 숫자와 관련된 이야기도 더 찾아보자!”


투란도트 공주의 수수께끼 5

이탈리아의 유명한 오페라 투란도트에는 숫자와 관련된 재밌는 이야기가 있다. 투란도트 공주와 결혼하려면 수수께끼를 풀어야 하는데, 이것은 무척 위험한 모험이었다. 수수께끼를 풀지 못하면 공주에게 죽음을 면치 못하기 때문이다.

한 왕자가 공주에게 청혼을 하자, 공주는 아무 말도 하지 않고 귀고리에서 똑같은 진주 2개를 꺼내어 왕자에게 주었다. 왕자는 공주에게 받은 진주를 유심히 관찰했다. 그리고는 저울로 2개의 진주의 무게를 잰 다음, 같은 무게인 3개의 진주를 더해 모두 5개의 진주를 공주에게 보냈다.

공주가 준 2개의 진주는 수수께끼였다. 2는 최초의 짝수로 여성을 뜻하고, 3은 최초의 홀수로 남성을 뜻한다. 따라서 2와 3을 더한 5는 여자와 남자의 결합을 뜻하는 수다. 왕자는 공주가 준 2개의 진주에 담긴 의미를 정확히 이해하고, 완성의 수 5개를 뜻하는 진주 5개를 줌으로써 공주의 수수께끼를 푼 것이다.


초대받지 못한 손님 13

13은 흔히 불운의 숫자로 잘 알려져 있다. 어디서부터 이런 의미를 갖게 되었을까?

고대 노르웨이의 신화에서 그 유래를 찾을 수 있다. 노르웨이의 ‘반할라’ 신전에서는 신들을 초대하는 잔치가 열리고 있었다. 12명의 신은 모두 초대되었는데, 가장 사악한 신인 ‘로키’는 유일하게 초대받지 못했다. 로키는 초대받지 못했음에도 잔치에 갔고, 그래서 신들의 수는 모두 13명이 되었다.

로키가 잔치에 오자, 신들은 로키를 몰아내기 위해 싸움을 벌였다. 하지만 그 결과로 북유럽 사람들에게 가장 사랑받는 신이었던 ‘발더’가 죽게 되었다. 이 때문에 13은 불운을 의미하는 수가 되었다.

이 밖에도 잠자는 숲속의 공주 이야기에서도 13번째 요정은 초대 받지 못했고, 기독교에서도 최후의 만찬에 13번째 손님은 배신자 유다였다. 이처럼 13은 여러 이야기 속에서 불길한 숫자로 등장하고 있다.


153마리의 물고기 153

성경에는 특별한 의미를 담고 있는 여러 가지 수가 등장한다. 그 중에서 153은 성경에서 축복과 시작의 의미를 담고 있다. 153이 이런 의미를 갖게 된 것은 예수와 그의 제자 베드로와의 일화로부터 시작되었다. 예수의 제자인 베드로는 어부였다. 어느 날 예수와 함께 바닷가에서 고기를 잡기 위해 그물을 던졌는데, 그물에 큰 물고기 153마리가 잡혔다.

훗날, 성자 아우구수티누스는 예수와 함께 잡은 153마리의 물고기에 특별한 의미를 부여하고자 153이란 수를 두 고 153은 17과 9의 곱이자, 1부터 17까지의 모든 자연수를 더한 값이라고 해석했다.

그런데 이 뿐만이 아니라, 153은 수학적으로도 특별한 성질을 갖는다. 153은 153은 1과 3과 5의 각각 세제곱을 한 값의 합이며, 1!+2!+3!+4!+5!=153를 만족하는 수이기도 하다.


택시번호의 비밀을 밝힌, 라마누잔 1729

수학자는 가끔 아무런 의미가 없어 보이는 숫자에서도 수학적인 의미를 찾는다. 인도의 수학자 라마누잔이 바로 그런 수학자 중 한 사람이다. 라마누잔과 숫자에 관련해서 재밌는 일화가 한 가지 전해진다.
라마누잔이 아파서 병석에 누워있을 때였다. 절친이었던 수학자 하디는 라마누잔을 찾아와 ‘자신이 타고 온 택시의 번호가 1729인데, 이 숫자에는 아무리 생각해도 별 다른 의미가 없다’고 말했다.

그러자 라마누잔은 ‘1729는 9와 10을 각각 세제곱해서 더한 수이며, 또 1과 12를 각각 세제곱해 더한 수이기도 하다’라고 말했다. 실제로 1729는 두 가지 방법으로 두 수의 세제곱의 합으로 나타낼 수 있는 최소의 수다.


“프로도, 전설이랑 수학을 같이 공부하니까 수학도 이야기처럼 술술 이해가 잘 되네? 수학의 절대반지, 정말 근사해! 그렇지 않아도 반지의 제왕이 끝나서 앞으로 뭐 할까 고민이었는데, 수학의 절대반지를 많이 만들어야겠어.”
“오~, 좋은 생각이야. 수학의 절대반지를 많이 만들어서 사람들에게 무료로 나눠 주면 모두들 수학하고 금세 친해질 거야. 수포자도 사라지겠어!”
“뭐? 무료라니 무슨 소리! 많이 만들어서 팔면 대박이 날 걸?”
“뭐어? 골룸, 너 정말~!”