d라이브러리

머피의 법칙이여, 잭을 지배하라!

드디어 2013년이 됐군. 작년 크리스마스 때 모든 어린이들의 희망과 꿈을 다 없애 버리려는 계획은 수포로 돌아갔으니, 새해에는 반드시 불운의 기운으로 세계를 지배하고야 말겠어! 먼저 겨울만 되면 흰 눈을 내려 사람들에게 즐거움을 주는 잭에게 불운의 기운을 불어 넣어야지. 흐흐흐….

‘머피의 법칙’의 시작은?

1949년 미국의 에드워드 공군 기지에서 일하던 머피 대위가 처음 사용한 말이다. 어떤 실험에서 번번이 실패한 머피는 그 원인을 무척 사소한 곳에서 찾게 되었다. 그때 머피는 ‘어떤 일을 하는 방법에는 여러 가지가 있고, 그 중 하나가 문제를 일으킬 수 있다면 누군가는 꼭 그 방법을 사용한다’는 말을 했다. 안 좋은 일을 미리 대비해야 한다는 뜻으로 한 말이었지만, 사람들은 일이 잘 풀리지 않고 오히려 꼬이기만 할 때 ‘머피의 법칙’이란 말을 쓰게 됐다. 반대로 일이 자꾸 잘 풀리는 것은 ‘샐리의 법칙’이라고 한다.

왜 잼 바른 쪽이 바닥으로 떨어질까?

피치 때문에 잭이 머피의 법칙에 사로잡혔어. 새해 첫날부터 이렇게 불운의 기운이 가득하면 안 되지! 어서 내가 나서야겠다. 잭~! 토스트의 잼 바른 쪽이 바닥으로 떨어진 건 머피의 법칙 때문이 아니야. 수학적으로 그럴 만한 이유가 있다구!

식탁 위에 놓은 잼 바른 토스트가 바닥에 떨어지면, 운이 없어서 그런걸까? 이와 같은 상황을 수학적으로 분석해 보자.

먼저 식탁 위에 놓인 토스트가 바닥에 떨어지면, 두 가지 경우가 생긴다. 잼을 바른 쪽이 바닥으로 떨어지는 경우와, 잼을 바른 쪽이 위를 향하는 경우다. 일어날 가능성이 같다면 확률은 똑같이 50%일 것이다.

그런데 토스트의 한쪽 면에는 잼을 발랐기 때문에 두 가지 경우의 확률이 똑같지 않다. 또 토스트가 잼 바른 쪽으로 떨어지는 요인으로는 다음과 같이 4가지를 생각할 수 있다.

❶ 잼 바른 토스트를 잡아당기는 중력
❷ 식탁의 평균 높이(사람의 키는 평균 1.5~2m 사이다. 식탁은 사람의 앉은키에 맞춰 약 1m 안팎으로 만들어진다.)
❸ 빵의 크기
❹ 초기 위치에서 떨어지는 각도(빵이 바닥과 수평으로 고스란히 떨어지는 일은 거의 불가능하다. 어느 한쪽으로 기울어진 채로 떨어지며, 반드시 회전하게 된다.)

여기서 중력과 식탁의 평균 높이는 떨어지는 시간을 결정하고, 토스트의 크기와 초기 위치에서 떨어지는 각도는 토스트의 회전운동을 결정한다. 이때, 토스트가 회전해 잼 바른 쪽이 바닥에 닿을지, 위를 향할지는 토스트를 회전시키는 힘에 영향을 받는다. 그리고 그 힘은 중력과도 관련이 있다. 그렇다면 보통 식탁 위에서 떨어뜨린 토스트는 바닥에 닿을 때까지 몇 바퀴를 회전할까? 중력과 식탁의 높이를 고려해 실제로 계산해 보면, 반 바퀴 돌고 바닥에 닿는다는 결론이 나온다.(고도의 물리학 공식을 적용해 계산하므로 생략한다.)

즉, 잼을 바른 토스트는 약 반 바퀴를 회전하고 떨어져, 잼 바른 쪽이 바닥에 닿도록 떨어진다는 결론을 얻을 수 있다.

이 상황을 증명하고 실험을 통해 확인한 사람이 있다. 영국의 수학자이자 과학자인 로버트 매튜는 토스트를 무려 9821번 식탁 위에서 떨어뜨려 보았다. 그 결과, 6101번이나 잼 바른 쪽이 바닥에 닿도록 떨어졌다. 즉, 잼 바른 쪽이 바닥으로 떨어질 확률이 62.1%로, 우연에 의한 확률인 50%보다 크게 나온 것이다. 이렇게 상당히 많은 횟수를 시행해 얻은 확률 값을 ‘경험적 확률’이라고 한다. 반대로 경험이 아닌 이론적인 확률은 ‘수학적 확률’이라고 한다.

머피의 법칙을 이용해 만든 자기부상열차?

몇해 전, 인터넷 ‘과학 유머 선발대회’에서 1등을 차지한 재밌는 아이디어가 있다. 머피의 법칙을 응용한 아이디어로, 고양이와 식빵을 이용해 자기 부상 열차를 만들 수 있다는 내용이다. 이 아이디어는 두 가지 가정을 기초로 한다.

❶ 고양이는 떨어질 때 항상 발부터 떨어진다.
❷ 잼을 바른 식빵은 항상 잼 바른 쪽이 바닥으로 떨어진다.
잼 바른 쪽을 위로 한 다음, 식빵을 고양이 등에 묶는다. 고양이를 공중에서 떨어뜨리면 지상에서 약 5cm 지점에서 고양이가 회전하면서 정지할 것이라는 주장이다. 고양이가 발과 잼 바른 식빵이 서로 충돌을 일으켜 계속 회전해, 비용을 들이지 않고도 자기 부상 열차를 만들 수 있다는 기발하고도 재밌는 아이디어다.

양말을 뽑으면, 왜 항상 짝짝이일까?

양말 문제라면 내가 자신 있지. 크리스마스마다 아이들의 선물을 양말에 넣기 때문에 양말은 내게 친숙한 물건이거든.
하하~. 양말 뭉치에서 2개의 양말을 뽑을 때 자꾸 짝짝이 양말이 나오는 건, 조합의 원리로 풀면 이해할 수 있다네!

양말이 뒤섞인 양말 뭉치에서 2개의 양말을 임의로 꺼내면, 대부분 짝짝이 양말이 나온다. 왜 그럴까? 수학의 조합 원리를 이용하면, 이런 상황의 확률 값을 구해 확인할 수 있다.

먼저 간단한 상황에서 확률 값을 구해 보자. 서랍 속에 완벽하게 짝이 맞는 6짝(3종류)의 양말이 있다. 양말은 마구 뒤섞여 있고, 이 양말 뭉치에서 2개의 양말을 꺼낸다고 가정해 보자. 짝짝이 양말을 뽑을 확률은 얼마일까?

먼저 6개의 양말에서 2개의 양말을 임의로 뽑는 경우의 수는 조합공식★에 의해 $ \frac{6!}{2!×4!} $=15가지다. 이 값이 전체 경우의 수가 된다. 이제 6개의 양말 중에서 2개를 뽑을 때, 그 2개가 서로 다른 양말일 경우를 생각해 보자.

3종류의 양말 중에서 서로 다른 2종류의 양말을 선택할 경우는 3가지다. 그런데 이 3가지에서 각각의 종류마다 양말이 2짝씩 있다. 예를 들어 양말 를 뽑았을 때, 서랍 속에는 모양 양말 2개, 모양 양말이 2개 있어 를 뽑는 경우의 수는 2×2=4(가지)가 된다. 그러므로 6개의 양말 중에서 2개를 뽑았을 때, 그 양말이 모두 짝짝이일 경우의 수는 4+4+4=12가지다.

전체 경우의 수는 15가지이므로, 6개의 양말 중에서 2개를 뽑았을 때 짝짝이 양말을 뽑을 확률은 $ \frac{12}{15} $로 80%다. 다시 말해 6개의 양말에서 2개를 뽑았을 때, 완벽한 짝이 나올 , , 를 제외한 나머지 경우는 모두 짝짝이인 것이다. 즉, 임의로 양말 2짝을 뽑았을 때 짝짝이가 나오는 것은 확률적으로 가능성이 큰 사건임을 알 수 있다.

게다가 여기서 구한 80%란 확률 값은 양말이 6개, 고작 3켤레인 경우의 값이다. 양말의 개수를 10개로 늘이면 확률 값은 약 88.89%, 양말의 개수를 20개로 늘이면 무려 94.74%로 커진다.

짝짝이 양말을 뽑은 게 불운이 아니라 짝짝이를 뽑지 않은 것이 행운임에 분명하다.
 
내가 찾는 곳은 왜 가장자리일까?

유후~! 지도 문제는 내가 해결해 볼게. 한때는 나도 내가 찾는 곳마다 지도 구석이나 접힌 곳이어서 짜증났던 적이 있거든. 물론, 지금은 지도 따윈 필요없어졌지만 말이야. 이 문제는 간단한 확률 계산으로 설명할 수 있어.

지도에서 내가 찾는 곳은 왜 가장자리 또는 접힌 곳에 있는지 수학적으로 접근해 보자. 왼쪽 그림과 같이 한 변의 길이가 10인 정사각형 모양의 지도가 있다고 하자. 그리고 폭의 길이를 1이라고 정하자. 어두운 곳의 영역이 ‘머피의 영역(Murphy Zone)’이다. 지도의 가장자리 또는 접힌 곳을 뜻한다.

머피의 영역의 넓이는 정사각형의 넓이에서 2개의 직사각형의 넓이를 뺀 것과 같다. 계산하면 (머피의 영역의 넓이) = 100-(2×3×8)=52다. 전체 지도의 넓이인 100의 절반보다도 큰 값이다. 우연에 의한 임의의 가능성인 50%보다 크다는 것을 알 수 있다.

만약 가장자리를 정사각형의 길이의 1/10보다 크게 둔다면, 가능성은 더 커진다. 가장자리 또는 접힌 곳의 넓이가 생각한 것보다 전체에서 큰 부분을 차지하기 때문에, 내가 찾는 곳이 가장자리 또는 접힌 곳이 나오는 것은 확률적으로 가능성이 높은 일이다.
 
내가 계산하려고 선 곳은 왜 느릴까?

아무래도 악몽의 신, 피치가 잭에게 머피의 법칙에 사로잡히는 꿈을 꾸게 한 것 같아.
잭, 슈퍼마켓에서 줄을 섰을 때, 내가 선 곳이 느리다고 생각하는 것도 확률 값을 비교해 보면 당연한 일이야. 이제 그만 악몽을 털고, 행복한 꿈의 나라로 가자!


슈퍼마켓에 가면 여러 개의 계산대가 있다. 우리는 계산을 하기 위해 줄이 가장 빨리 줄어들 것 같은 곳을 선택한다. 그런데 왜 꼭 내가 계산하려고 선 곳은 좀처럼 줄이 줄어들지 않는 걸까? 확률을 직접 구해 보면, 그 이유를 알 수 있다.

슈퍼마켓에 3개의 계산대가 있고, 그 중 하나의 계산대에 줄을 섰다고 가정해 보자. 계산대가 3개 있으므로, 내가 선 줄이 가장 빨리 줄어들 확률은 1/3이다. 반면, 나머지 줄이 빨리 줄어들 확률은 2/3이다. 내가 선 줄이 가장 빨리 줄어들 확률의 2배다.



1. 머피의 법칙, 운이 아니라 하나의 사실일 뿐!

머피의 법칙이라고 생각되는 사건을 확률을 이용해 직접 그 값을 계산해 보면, 더 이상 운에 의한 결과가 아니라 하나의 사실이 된다. 잼 바른 토스트를 물리학의 이론을 활용해 수학적인 확률 값을 계산한 것이나, 슈퍼마켓에서 내가 선 줄이 줄어들 확률을 구한 것 등이 여기에 해당된다.

그런데 이렇게 어떤 사건의 확률을 수학적인 방법으로 계산할 때는 조심해야 할 것이 있다. 문제를 해결하는 데에 필요한 가정을 신중하게 결정해야 한다는 점이다. 예를 들어 토스트를 떨어뜨렸을 때, 앞 또는 뒤로 떨어지는 확률은 같은 확률일 거라고 생각하기 쉽다. 한쪽에 잼을 바른 것을 무시하고 동등한 조건으로 생각한 것이다. 따라서 정확한 확률 값을 구하기 위해 가정을 잘 정해야 한다.

2. 머피의 법칙과 샐리의 법칙은 존재한다?!

왼쪽에 있는 두 개의 그림을 보자. 어느 것이 임의로 점을 찍었다고 볼 수 있을까? 그림❶은 골고루 점이 찍혀 있는 반면, 그림❷는 몰려 있는 곳과 드물게 찍힌 곳이 있다. 그림❶이 무작위로 점을 찍었다고 생각하기 쉽지만, 사실 이렇게 점을 찍으려면 신중하게 점을 골고루 떨어뜨려 찍어야 한다. 즉, 흔한 경우가 아닌 특별한 경우인 셈이다.

여기서 종이에 찍은 점을 우리 생활에서 일어나는 안 좋은 일이라고 생각해 보자. 그림❶은 안 좋은 일이 규칙적으로 골고루 일어나는 경우고, 그림❷는 안 좋은 일이 몰아서 일어나는 경우다. 어느 것이 더 자연스러운 상황일까? 당연히 그림❷다. 통계학자는 이러한 현상을 ‘군집현상’이라고 한다. 어떠한 사건이 여러 번 일어날 때, 골고루 분포하기보다는 몰려서 일어난다는 뜻이다.

예를 들어 동전을 10번 던진다고 해 보자. 상황❶처럼 나오는 것이 쉬울까? 아니면 상황❷처럼 나오는 것이 쉬울까? 실제로는 규칙적으로 앞, 뒤가 번갈아 나오는 상황❶보다, 상황❷처럼 앞 또는 뒤가 몰려서 나오는 경우가 훨씬 더 많다.
 
3. 조건부 확률로 생각해 본 머피의 법칙!

머피의 법칙은 안 좋은 일이 일어났는데, 또 일어난 상황이다. 이렇게 엎친 데 덮친 격은 어떤 사건이 일어났다는 조건 아래에 다른 사건이 일어날 확률로 나타낼 수 있는데, 이것을 수학에서는 ‘조건부 확률’이라고 한다. 어떤 일이 한 번 일어난 다음, 또 일어날 확률은 처음 그 사건이 한 번 일어날 확률보다 값이 커질 가능성이 크다.

예를 들어 전체 집단에서 교통사고를 낼 사람의 확률이 10%라고 하자. 100명 중 10명이 교통사고를 낸 것이다. 그런데 교통사고를 낸 사람이 또 한 번의 사고를 더 낼 확률을 생각해 보자. 교통사고를 낸 10명 중에서 2명만 사고를 더 내더라도 그 확률은 20%로, 한 번 사고를 낼 확률보다 훨씬 커진다.

‘군집현상’, 실험으로 확인해 볼까?

동전을 이용한 간단한 실험으로 군집현상을 확인해 볼 수 있다. 앞서 소개한 것처럼 동전을 50회 던져 보자. 그리고 각 시행에서 나온 결과를 표로 정리해 기록해 보자. 앞과 뒤가 3회 이상 몰려서 나오는 경우가 상당히 많다는 것을 경험하게 될 것이다.
 
머피의 법칙을 수학으로 증명한 ‘로버트 매튜’

그런데 말이야, 앞에서 너희들이 말해 준 그런 증명은 모두 누가 한 거지? 머피의 법칙을 수학적으로 증명한 그 사람을 꼭 만나 보고 싶어졌어. 왠지 그 사람을 만나면, 내가 머피의 법칙에 사로잡혔단 생각을 이겨낼 수 있을 것 같아.
머피의 법칙을 수학적으로 증명한 사람은 영국의 수학자, 로버트 매튜란 사람이야. 로버트 매튜는 일상생활에서 일어나는 여러 가지 상황을 수학적으로 증명해 보였어. 지금 만나러 가 볼까?


Q 어떻게 머피의 법칙을 연구하게 됐죠?

사실 ‘일이 한 번 꼬이기 시작하면, 자꾸 더 꼬인다’는 머피의 법칙은, 하나의 농담과도 같아요. 하지만 공학자들에게 이러한 머피의 법칙은 무척 진지하게 고민할 문제이기도 합니다. 왜냐하면 머피의 법칙으로 인해 공학자들이 다리를 건설하거나, 항공기를 만들 때 매우 놀라운 일이 벌어질 수 있거든요.

그래서 저는 이 머피의 법칙을 일상생활에서 일어나는 모든 상황을 두고 생각해 봤어요. 대표적인 예가 ‘왜 잼을 바른 토스트는 식탁에서 떨어질 때, 보통 잼 바른 쪽이 바닥에 닿도록 떨어질까?’와 같은 현상을 수학과 물리학을 이용해 밝혀보기로 한 것이에요.

그 결과, 그것은 우연이 아니라 하나의 사실이었어요. 토스트를 떨어뜨리면 바닥에 떨어질 때, 앞 또는 뒤로 떨어질 가능성이 똑같을 거라고 생각하지만 그렇지 않았던 것이지요.

Q 머피의 법칙 연구를 통해 어떤 걸 알게 됐나요?

여러 가지 상황을 수학적인 방법으로 증명한 것을 통해, 우연이나 신화처럼 여겼던 머피의 법칙이 우연이나 신화가 아니란 것을 알게 됐어요. 하나의 사실이 되는 것이지요. 뿐만 아니라 연구를 통해 알게 된 것을 실제 생활에 적용하기도 하죠. 여러 개의 전자제품을 포장할 때, 서로의 끈이 엉키지 않도록 전자제품의 줄을 미리 나눠 두죠. 일정한 시간이 지나면 끈은 분명히 엉키게 될 테니까요.

Q 요즘도 머피의 법칙을 증명하고 있나요?

요즘은 말의 경주 결과를 통계적으로 예측하는 것에 관심을 가지고 있어요. 이 역시 머피의 법칙과 마찬가지로 흥미롭고, 호기심을 발동하는 연구 주제기 때문이에요.

또 수학이나, 확률에 관련된 재밌는 이야기를 엮은 책을 쓰고 있어요. 예를 들어 한 반에 23명의 학생이 있다면, 최소 2명의 학생이 생일이 같을 확률은 50%에 가깝다는 생활 속에서 생각할 수 있는 확률 문제지요.

Q 로버트, 당신도 운을 믿나요?

운에 대해 특별히 생각해 본 적은 없어요. 우연과 같은 상황이 나에게도 일어나지만 말이에요. 우연 같은 일이 일어나면, 운을 탓하기보다는 합리적으로 생각하려고 한답니다. 어떤 상황을 수학적으로, 또는 과학적으로 생각해 보면 그것이 또 하나의 재밌는 연구 주제가 되기도 하니까요.

한 걸음 더! 이것도 머피의 법칙?!

머피의 법칙과 비슷한 또다른 생활 속 법칙에는 여러 가지가 있다. 이 중 재밌는 법칙 몇 가지를 소개한다. 로버트 매튜처럼 수학적으로 증명해 보면 어떨까?

❶ 라디오의 법칙 : 라디오를 틀면 언제나 좋아하는 노래의 마지막 부분이 나온다.
❷ 바코드의 법칙 : 사면서 좀 창피하다는 생각이드는 물건일수록 계산대에서 바코드가 잘 찍히지 않는다.
❸ 수면의 법칙 : 코를 심하게 고는 사람이 항상 가장 먼저 잔다.
❹ 질레트의 이사 법칙 : 지난 이사 때 없어진 것은 다음 이사할 때 나타난다.
❺ 치통의 법칙 : 치통은 병원 문을 닫는 토요일 오후부터 시작된다.