d라이브러리

 

안녕하세요? 무한도전의 김PD입니다. 지난  하하와 홍철의 대결이 안타깝다는 의견이 아 대결 2탄을 준비했습니다.
무한도전 멤버 7명은 두 팀으로 나눠, 추석맞이 속도로 가요제가 시작되는 저녁 6시까지 가요제 소에 도착해야 합니다. 약속 시간 안에 도착하지 하는 팀은 가요제에 서지 못합니다. 그럼 지금부터 팀을 나눠 고속도로 가요제 장소로 출발~!

고속도로, 도대체 왜 막히는 걸까?

A-YO! 나는 공대 나온 홍철이야. 하나는 알고 둘은 모르는 우리 하하는 고속도로를 타고 가겠지? 고속도로는 넓은데다가, 신호등도 없으니까 말이야. 하지만 홍철팀은 국도로 간다! 뿅!

맞아. 고속도로가 막히면 시간이 훨씬 더 오래 걸릴지도 모른다고. 고속도로에 이유 모를 교통체증이 얼마나 많은데!

고속도로 교통체증의 원인은 ‘유령체증’

휴가철이나 명절이 되면 어김없이 고속도로가 꽉꽉 막힌다. 한정된 도로에 많은 차량이 동시에 몰리다 보니 교통체증이 생기는 것은 당연한 일이다. 그런데 가끔은 원인도 모를 교통체증을 겪기도 한다. 신호도 없는 고속도로에 이유도 모를 교통체증은 왜 생기는 걸까?

특별한 원인도 없이 교통체증이 일어나는 현상을 ‘유령체증’이라고 한다. 유령체증이 생기는 원인은 바로 운전자들의 ‘반응지체’ 때문이다. 가령 고속도로에서 맨 앞을 달리던 트럭이 있다고 하자. 달리던 트럭이 갑자기 차선을 바꾸면, 트럭 뒤에 있는 차는 브레이크를 밟아 속도를 줄이게 된다. 그러면 그 차 뒤에 있던 차 역시 영향을 받아 속도를 줄이게 되고, 뒤에 있는 차는 연속으로 앞에서 무슨 일이 일어났는지 모른 채 교통체증을 겪게 된다.

수학자들은 이런 유령체증을 해결하기 위해 수학적 모델을 개발하는 연구를 하고 있다. 2009년 미국의 매사추세츠공대의 수학자들로 이뤄진 연구팀은 교통체증이 ‘폭발 파동’을 나타내는 식과 매우 비슷하다는 사실을 밝혀냈다. 폭발 파동이란, 말 그대로 어떤 물체가 폭발할 때 생기는 파동현상을 뜻한다. 폭발할 때 입자가 연쇄적으로 퍼지는 현상이, 차량의 움직임이 연쇄적으로 다른 차량에 영향을 주는 교통체증과 비슷했다. 교통체증과 전혀 다른 물리학의 파동 방정식이 교통체증을 설명하는 데 중요한 열쇠가 된 것이다.

또 수학자들은 도로 위에서 달리는 자동차가 물과 같은 유체의 흐름과 비슷하다는 사실에도 주목한다. 이에 유체 역학을 이용해 교통체증을 해결하려는 수학적 모델을 계속해서 개발하고 있다.

내 차선이 옆 차선보다 더 막히는 과학적인 이유!

➊ 인지적인 착각 때문이다?!
1999년 캐나다 토론토대의 레델메이어와 스탠포드대의 팁시라니 교수는 인지적 차이에 의해 이런 현상이 생긴다고 주장했다. 연구팀은 컴퓨터 시뮬레이션으로 두 개의 차선을 만들어 차량의 위치와 행동, 속도의 변화를 살펴보았다. 그 결과, 일반적으로 다른 차에 의해 추월당할 때의 시간이 내가 다른 차를 추월할 때의 시간보다 오래 걸리기 때문에 내 차선이 더 막힌다는 착각을 하게 된다고 결론지었다.

➋ 실제로 옆 차선의 차가 속도가 빠르기 때문이다!
미국 예일대의 보스트롬 교수는 실제로 일정한 구간의 도로에서 천천히 가는 차선의 차량이 빠른 차선의 차량보다 상대적으로 많기 때문이라고 설명했다. 도로에 있는 전체 차량 중 무작위로 자동차를 선택하면, 막히는 차선에 있는 차가 선택될 가능성이 높다. 이 때문에 조사를 하면 자신의 차선이 더 막힌다고 대답할 확률이 높다는 것이다. 이 내용은 2001년 ‘수학 플러스’라는 잡지에 발표됐다.

지름길인데 지름길이 아니다?!

유후~! 그럼 이제 슬슬 출발해 볼까? 준하 형, 여의도에서 목적지까지 빨리 가는 길을 내비게이션으로 찾아봐.

오~케이. 알았어. “딩동댕~. 목적지까지 가는 지름길을 찾았습니다.” 지름길 찾았으니까 출발하자. 후비고~!

야야야! 지름길이 왜 이렇게 막혀? 지름길로 가다가는 무대에 서지도 못하겠다. 급할수록 돌아가라는 말도 몰라?

길을 막으면 오히려 빠르다! ‘브래스의 역설’

교통체증이 심각한 도로가 있다. 이 도로의 교통체증을 완화하려면 어떻게 해야 할까? 가장 쉽게 생각나는 방법은 정체구간이 심각한 도로를 대신할 또 다른 도로를 하나 더 만드는 것이다. 도로가 하나 더 생기면 정체구간에 있던 차량이 분산될 수 있기 때문이다.

그런데 새로운 도로를 추가했을 때 교통 흐름이 개선되기는커녕 오히려 교통체증이 심해지는 경우도 있다. 이것을 ‘브래스의 역설’이라고 한다. 독일의 수학자 디트리히 브래스가 1968년 발표한 ‘교통계획의 역설’이라는 논문에서 이 내용을 다뤄 그의 이름을 따서 지었다.

그렇다면 브래스의 역설대로 교통체증을 더 유발하는 불필요한 도로가 있을까? KAIST 물리학과 정하웅 교수는 미국 샌타페이연구소와 함께 교통체증이 심각한 미국의 뉴욕과 보스톤, 그리고 영국의 런던을 선택해 브래스의 역설을 직접 확인하는 실험을 했다.

먼저 각 도시의 도로망을 컴퓨터에 입력하고, 특정한 두 지점을 출발점과 도착점으로 선택했다. 그런 다음 차량을 1대에서부터 점차 늘려가면서 운전자가 출발점부터 도착점까지 이동하는 데 걸리는 시간이 어떻게 변하는지 살폈다.
 

 

그 결과 출발점에서 도착점까지 가는 여러 가지 길이 있음에도 불구하고, 모든 운전자가 가장 유리한 몇몇의 지름길을 선택한다는 것을 알 수 있었다. 그리고 이러한 운전자의 선택은 곧 교통체증이라는 전체의 불이익으로 연결됐다. 모든 사람이 자신만의 욕심을 채우기 위해 상대방을 고려하지 않으면 모두 실패하게 된다는 *게임이론의 ‘내쉬평행’이 교통문제에서도 나타난 것이다.

더욱 재밌는 현상은 도로의 일부를 막아 보는 시뮬레이션 실험을 했을 때 나타났다. 세 도시 모두 특정한 도로를 없앴더니, 그 도로가 있을 때보다 교통흐름이 빨라졌다. 즉, 세 도시에 모두 교통체증을 더 유발하는 불필요한 도로가 있다는 뜻이다. 그리고 그 불필요한 도로 중에는 다른 도로에 비해 압도적으로 빨리 갈 수 있는 지름길도 포함돼 있었다. 지름길이 아닌 것을 확인한 셈이다.

*게임이론 : 경쟁하는 상대의 행동을 생각하면서 자신의 이익을 얻기 위해 합리적으로 행동하는 것을 수학적으로 분석하는 이론.

연속으로 켜지는 녹색 신호등의 비밀?

홍철아, 정말 돌아갔더니 더 빠르네? 이대로라면 우리가 가요제에서 노래 부를 수 있겠어.

하하하하, 난 럭키가이니까! 내가 가는 길은 언제나 녹색 신호등이라고. 유후~♬.

홍철아. 그건 아닌 것 같고, 원래부터 이 도로는 녹색 신호등이 연속으로 켜지도록 만들어졌어. 녹색 신호등이 연속으로 켜지는 건 너 때문이 아니라 수학 때문이라고!

기다리지 않는 녹색 신호등 만들기

바둑판처럼 직교한 도로에 여러 개의 교차로가 있다고 생각해 보자. 교차로 앞에서 녹색 신호등이 켜지기만을 기다리다가 신호등이 바뀌면, 다음 교차로를 향해 달려갈 것이다. 그런데 단지 교차로 앞에 설 때마다 적색 신호등에서 녹색 신호등으로 바뀌는 일이 일어났다면, 운이 좋은 걸까?

그 이유는 운이 아니라 수학으로 설명할 수 있다. 운전자가 교차로 앞에서 신호를 기다리지 않도록 도로에 적합한 차량의 속도와 교차로 사이의 거리, 신호주기, 제한속도 등을 수학적으로 정확하게 계산해 만들었기 때문이다. 이렇게 연속적으로 녹색 신호등이 켜지도록 만든 신호체계를 ‘연동신호체계’라고 한다. 신호를 기다리는 시간을 최대한 줄여, 도로에서 차량이 원활하게 움직이도록 하기 위해서다.

이제 연동신호체계를 사용하기 전과 후를 비교해 보자. 그림➊은 연동신호체계를 사용하기 전, 자동차가 이동할 때 교차로에서 신호와 어떻게 만나는지를 보여 주는 그래프다. 400m마다 있는 교차로는 같은 시각에 30초를 주기로 신호가 바뀐다. 시속 30km로 달리는 자동차는 교차로 앞에 설 때마다 적색 신호등에 걸려 신호를 기다려야 한다. 반면, 그림➋는 연동신호체계를 적용한 경우를 나타낸다. 모든 교차로의 신호주기는 30초로 같지만, 신호가 바뀌는 시기를 엇갈리게 만들어 자동차가 그 다음 교차로 앞에 섰을 때 녹색 신호등으로 바뀐다.

이렇게 연동신호체계로 바꾸면 도로에서 차량이 원활하게 움직여 교통체증을 줄일 수 있다. 또 깜깜한 밤이나 새벽과 같이 차량이 없는 경우에는 신호에 자주 걸리면 교통질서를 어기기 쉽다. 이때 연동신호체계로 신호를 기다리는 시간을 줄여주면, 운전자가 교통질서를 어기지 않고 지키게 된다.

동시신호 vs 비보호 좌회전, 효율성 승자는?

우리나라는 대부분 동시신호를 쓰고 있다. 한 번에 한 방향씩, 녹색 신호를 번갈아 주는 것이다. 십자형 교차로에서 네 방향 중 하나의 차로에 녹색 신호가 들어오면, 직진과 좌회전 그리고 우회전을 할 수 있어 동시신호라고 한다.

반면 비보호 좌회전은 좌회전 신호가 따로 없다. 녹색 신호가 들어왔을 때 직진 차량이 없는 틈을 타서 좌회전을 하는 방법이다. 눈치껏 좌회전을 해야 하기 때문에 자칫 사고가 날 우려가 있는 것은 사실이다.

그러나 비보호 좌회전이 동시신호보다 훨씬 효율이 높다. 동시신호는 네 번 신호의 방향을 바꾸기 때문에, 한 번 놓친 신호를 기다리려면 3번의 신호를 기다려야 한다. 반면 비보호 좌회전은 1번만 기다려도 다시 신호를 받을 수 있다. 즉 비보호 좌회전의 신호주기가 2라면, 동시신호의 신호주기는 4다. 따라서 비보호 좌회전은 동시신호에 비해 2배 효율이 높다. 이 때문에 실제로 우리나라를 제외한 대부분의 외국에서는 비보호 좌회전을 기본 신호체계로 사용하고 있다.

과속을 막는 도로의 비법은 S자 도로!

홍철이는 국도로 간다고? 그래도 고속도로가 빠르지 무슨 소리! 홍철이녀석, 이번에도 나한테 또 지겠는데? 고속도로가 이렇게 뻥뻥 뚫렸는데, 막히기는 무슨. 새에~!

하하야, 그러다가 교통사고라도 나면 어쩌려고. 아무리 빨리 가도 사고 나면 미션은 실패란 말야. 난 이번에 꼭 노래하고 싶다구!

맞아. 그래서 사람들이 너처럼 과속하지 말라고 이렇게 도로를 S자로 만든 거라니깐.

원호와 완화곡선으로 이뤄진 ‘S’자 도로

고속도로를 달리다 보면 도로가 S자로 구부러져 있는 것을 종종 볼 수 있다. 두 지점을 잇는 가장 짧은 거리는 단연 직선이다. 직선도로는 만들 때 공사비도 적게 들고, 건설하기도 쉽다. 그런데 왜 고속도로에 S자 모양의 곡선도로를 만드는 걸까?

우선 아무리 직선이 최단거리더라도 두 지점 사이에 강이나 산, 또는 문화재처럼 보호해야 할 유물이 있는 경우에는 직선으로 도로를 만들 수 없다. 이럴 경우에는 어쩔 수 없이 굽은 곡선도로를 만들어야 한다. 또 모든 도로가 직선으로 돼 있으면 달리는 동안 운전자가 단조로워 졸음운전을 할 수도 있고, 과속을 하기도 쉽다. 따라서 이런 위험을 막기 위해 곡선으로 도로를 만든다.

이때 곡선은 어떤 모양이어야 할까? 같은 곡선이더라도 굽은 정도에 따라 그 모양이 다르다. 굽은 정도가 너무 심하면 위험한 도로가 될 수 있기 때문에, 안전한 곡선도로를 만들려면 수학적인 원리를 따라 정확한 계산을 해야 한다.

먼저 자동차는 운전대를 똑바로 잡은 상태에서는 직선으로 움직인다. 그리고 일정한 각도로 운전대를 잡고 있으면 자동차는 원을 그리며 돈다. 그래서 도로의 곡선은 원을 사용하는 것이 일반적인 원칙이다.

아래의 그림➊과 같은 도로가 있다고 가정해 보자. 직선도로를 지나 첫 번째 원곡선이 나타나면, 운전자는 운전대를 살짝 왼쪽으로 꺾게 될 것이다. 첫 번째 원곡선이 끝나고 두 번째 원곡선에 진입하는 순간, 운전자는 반대 방향으로 운전대를 틀어야 한다. 이때, 무리하게 운전대를 꺾게 되면 사고가 일어날 위험이 높다. 따라서 갑자기 운전대를 조작해야 하는 어려움을 피하기 위해 ‘완화곡선’을 쓴다.

이 같은 완화곡선은 그림➋와 같이 직선도로와 원곡선으로 된 도로 사이에 넣는다. 그리고 그 모양은 ‘클로소이드’라 부르는 곡선을 이용한다. 클로소이드는 *곡률이 변하는 정도가 일정하다는 특징이 있어, 원곡선에 진입하기 전에 무리하지 않고 운전대를 움직일 수 있다. 또 운전대를 계속 조금씩 움직여 졸음운전과 과속도 막을 수 있다.

*곡률 : 곡선의 굽은 정도를 나타내는 수학적인 개념. 직선의 곡률은 0이다.

꼼수 잡는 과속 카메라가 있다?!

휴~. S자 도로 덕분에 졸지도 않고, 과속도 하지 않게 됐어. 이제 직선 도로가 나왔으니 속도를 좀 더 내 볼까? 스피드 업!

앗. 저기 과속 카메라다! 하하야, 얼른 속도 줄여!

걱정 마. 카메라에 지나가기 전에만 속도를 줄이면 안 걸려. 아…, 아닌가?

‘평균속도’를 이용한 구간 과속 탐지기

잘 뻗은 고속도로를 달릴 땐 가속기를 밟은 발에 힘이 들어가게 마련이다. 그런데 제한속도를 훌쩍 넘은 속도로 달리는 경우에도 속도위반을 크게 걱정하지 않는 사람들이 많다. 요즘은 내비게이션이 친절하게 과속 카메라의 위치를 알려 주기 때문이다. 카메라 근처에서 브레이크를 밟아 속도를 줄이면 된다고 생각하는 것이다. 이런 눈속임으로 과속 단속을 정말 피할 수 있을까?

과거에는 이런 눈속임이 가능했다. 특정 지점을 지나가는 순간속도로만 과속 여부를 판단했기 때문이다. 과속 카메라의 위치를 보고 갑자기 브레이크를 밟아 속도를 줄이면, 과속 카메라에서 측정한 순간속도는 제한속도보다 아래로 나왔다.

하지만 이제는 더 이상 이런 꼼수가 통하지 않게 됐다. 한 지점이 아니라 일정한 구간의 *평균속도를 측정하는 구간단속시스템이 도입됐기 때문이다.

기존의 과속 카메라는 그림➊과 같이 카메라 한 대로 자동차의 순간속도만을 측정했다. 그러나 구간단속시스템은 그림➋와 같이 2대의 카메라로 단속한다. 첫 번째 카메라가 1차로 측정하고, 두 번째 카메라가 다시 2차 측정을 한다. 각각의 카메라로 잰 순간속도 외에도 두 카메라 사이의 거리와, 자동차가 구간을 이동하는 데 걸리는 시간으로 평균속도를 구한다.
 

*평균속도 = 구간의 거리/구간을 이동하는 데 걸린 시간

이와 같이 구간을 나눠 평균속도를 측정하면, 운전자가 과속카메라 바로 앞에서 순간속도를 줄이는 꼼수로는 과속 단속을 피할 수 없다. 실제로 우리나라는 2007년 영동고속도로 둔내터널 강릉방면의 편도 2차로 7.4km 구간을 시작으로 구간단속시스템을 도입하고 있다. 이후로도 구간단속시스템을 지속적으로 확장해 서해안고속도로의 서해대교, 중앙고속도로의 죽령터널, 중부내륙고속도로와 미시령터널, 거가대교 등 전국 각지에서 구간단속시스템을 적용하고 있다.

구간단속시스템은 해외 여러 나라에서도 과속을 막기 위한 방법으로 쓰이고 있다. 구간단속시스템을 최초로 도입한 영국은 구간단속시스템을 도입한 뒤 차량의 평균속도가 시속 8~10km 줄어들었고, 교통사고도 40% 가량 감소했다.

네덜란드 역시 구간단속시스템을 도입한 이후 과속차량의 비율이 6%에서 0.6%로 90% 이상 감소했으며, 평균 주행속도도 시속 115km에서 시속 106km로 감소해 교통사고도 10%나 감소했다. 우리나라는 영국, 네덜란드, 호주에 이어 4번째로 구간단속시스템을 도입했다.

자동차의 움직임에서 탄생한 ‘택시 기하학’

홍철이와 하하의 두 번째 대결 결과, 두 팀 모두 정해진 시간 내에 들어왔기 때문에 고속도로 가요제 무대에서 노래를 부를 수 있게 됐습니다. 그렇지만 대결은 대결이니까 그래도 승자를 결정해야겠죠? 그래서 도로와 관련된 퀴즈 하나를 내겠습니다. 맞춘 사람은 대결의 승자로 이번 고속도로 가요제의 MC를 맡게 됩니다.

문제 MBC 방송국 정문에서 국회의사당역까지 차량으로 이동하려고 할 때, 가장 짧은 거리를 구하시오.

이거 미션치고는 너무 쉬운데? 내가 아무리 수학엔 자신이 없다지만, 나 이래봬도 석사라고! 이번 문제만큼은 쉽게 풀 수 있을 것 같아. MBC 문화방송과 국회의사당역의 최단거리는 바로 두 지점을 점으로 찍은 다음, 직선으로 연결해 거리를 재면 되지. 이런 거리를 ‘유클리드 거리’라고 해! 유클리드 거리로 계산하면 MBC 문화방송부터 국회의사당의 거리는 총 3km야. 어때? 정확하지? 홍철아, 이번 MC는 내가 맡는다아~!

음…. 이게 MBC 문화방송국에서 국회의사당까지 직선의 거리를 재는 거라면 문제가 너무 쉽잖아? 뭔가 다른 게 있을 거야! 옳지! ‘차량으로 이동할 때의 최단 거리’가 바로 이 문제의 핵심이야. 물론 MBC 문화방송국에서 국회의사당까지의 최단거리는 두 점을 잇는 직선이 되겠지. 그러나 실제로 이동하는 거리라면 상황이 조금 달라져. 도시에는 도로도 있고 건물도 있기 때문에 두 점을 연결하는 직선으로 이동할 수 없으니까. 이 문제는 ‘택시 거리’를 구하라는 거였어! 오예~!