함수와 그래프는 마치 실과 바늘처럼 떼려야 뗄 수 없는 사이입니다. 그렇지만 늘 어려운 숙제이기도 하죠. 만약 ‘함수와 그래프’를 게임으로 공부할 수 있다면 정말 좋겠죠? 그래서 오늘 여러분의 ‘함수 공포증’을 시원하게 날릴 수 있는 재미있는 문제를 하나 준비했습니다. 오늘의 주인공은 전 세계인의 사랑을 한 몸에 받고 있는 스마트폰 게임인 ‘앵그리 버드(Angry Birds)’입니다. 지금부터 앵그리 버드와 함께하는 함수 문제를 만나 볼까요?
어때요? 교과서에서만 보던 골치 아픈 그래프와는 느낌이 다르죠? 앵그리 버드와 같이 ‘포물선’이나 ‘직선’으로 날아가는 게임을 이용하면, 함수의 그래프와 친해질 수 있어요. 또, 이런 종류의 게임은 그래프뿐만 아니라 제작과정 속에서도 ‘함수’를 만날 수 있어요. 손으로 새를 잡아당기는 힘과 각도, 방향에 따라 새가 알맞게 날아가도록 게임을 설계하려면 함수식은 필수거든요!
선생님, ‘함수’는 왜 배우나요?
학생들에게 ‘수학이 뭘까?’라는 질문을 하면, 학생들은 대부분 ‘수(數)를 배우는 학문’이라고 간단하게 대답합니다. 하지만 사실 수학은 알고 보면 ‘수를 공부하는 데 필요한 도구’로 더 많이 쓰이죠.
예를 들어 수학은 종종 일정한 규칙과 관계를 설명하는 도구로 사용되는데, 이런 것들을 모아 공부하는 단원이 바로 ‘함수’입니다. 함수의 눈으로 주위를 둘러보면 생각보다 다양한 곳에서 활용되는 수학을 발견할 수 있어요.
텔레비전 리모컨만 해도 함수의 원리를 따르죠. 1번을 누르면 1번 채널로, 2번을 누르면 2번 채널로 변경되니까요. 또한 우리가 자주 사용하는 인터넷에도 함수가 이용된답니다. 인터넷 주소창에 수학동아 홈페이지 주소(math.dongascience.com)를 입력하면, 다른 페이지가 아닌 수학동아 홈페이지로 연결되잖아요. 다른 페이지와 동시에 연결되지도 않고요.
이러한 예시들이 바로 교과서에서 배우는 함수와 같습니다. 함수는 정의역의 원소 x값이 정해지면, 그 값에 따라 y값이 정해지는 관계를 말합니다. 리모컨에서 누르는 버튼에 따라 채널이 결정되고, 입력한 인터넷 주소에 따라 연결 홈페이지가 결정되는 원리가 바로 함수인 셈이죠.
선생님, 그래프가 너무 어려워요!
함수 단원에는 새로운 용어가 한꺼번에 많이 등장합니다. 그래서 학생들이 더욱 어렵게 느끼죠. 하지만 함수는 주어진 식을 보고 규칙을 찾거나, 값을 구하는 문제가 많기 때문에 정의역, 치역, 공역과 같은 새 개념을 정확히 이해하지 못해도 문제를 푸는 데 큰 어려움은 없습니다. 오히려 그래프를 해석해야 하는 문제나 이를 이용해 기울기나 절편을 구하는 문제가 큰 걸림돌이 되곤 하죠.
사실 학생들에게 그래프는 늘 ‘익숙하지 않은 대상’입니다. 중학생이 되기 전까지는 스스로 그래프를 그려야 할 이유가 없었을 테니까요. 그렇기 때문에 익숙해지기까지 꽤 많은 시간을 투자해야 합니다.
그래프와 친해지는 방법 중 가장 원시적인 방법은 식을 그래프로, 그래프를 식으로 고치는 연습을 꾸준히 많이 하는 것입니다. 그런데 만약 시간이 부족한 친구들이라면, 컴퓨터 프로그램을 이용하길 추천합니다. 컴퓨터 프로그램의 도움을 받으면 기울기의 값에 따라 일차함수 그래프가 어떻게 변하는지, 이차함수 그래프의 볼록한 정도가 어떻게 달라지는지를 한눈에 볼 수 있거든요. 상상하기 어려웠던 그래프의 모양을 손쉽게 살펴볼 수 있으니, 그래프의 성질을 이해하는 데 큰 도움이 될 거예요.
최경식 선생님의 특별 처방전!
“수는 왜 아름다운가? 그것은 베토벤의 9번 교향곡이 왜 아름답냐고 묻는 것과 같다. 당신이 이유를 모른다면, 아무도 그 답을 말해 줄 수 없다. 나는 수가 아름답다는 사실을 안다. 이것이 아름답지 않다면, 세상에 아름다운 것은 없다.”
헝가리의 수학자 폴 에르되시의 말입니다. 수학은 세상을 바라보는 또 하나의 관점을 선물합니다. 좋아하는 가수나 연예인이 생기면 생활의 중심이 변화되듯, 수학을 사랑하게 되면 세상 곳곳에 숨어 있는 ‘수학적인 아름다움’을 관찰할 수 있게 되죠. 실제로 많은 수학자들이 수의 규칙성이나 배열, 그래프의 대칭 등 안정적인 모습에서 아름다움을 이야기하곤 한답니다.
만약 수학실력을 좀 더 키우고 싶다면, 여러분도 ‘수학의 아름다움’을 발견해 보는 연습을 해 보세요. 쉬는 시간에 즐기는 앵그리 버드 게임에서 볼 수 있는 이차함수 곡선이나 등하굣길에 만나는 쭉쭉 뻗은 도로를 보며 말이죠.
수학이 좀 더 친숙해지면, 거기에 각 단원 별 정복 비법을 더하면 여러분의 수학실력이 더욱 단단해질 것입니다. 오늘은 ‘함수 정복 비법’을 소개할게요.
함수 정복 비법, 이것만은 꼭!
1. 대응표 만들기, 식 구하기, 그래프 그리기는 무한 반복 연습!
2. 실생활 문제는 문장을 식으로 바꾸는 훈련을 하라!
3. 일차함수 그래프를 그릴 때는 반드시 절편과 기울기를 표시하는 습관을 들여라!
4. 이차함수는 공부하기 전에 인수분해와 이차방정식을 한 번 더 복습하라!
5. 이차함수는 되도록 완전제곱꼴로 고쳐라!
6. 이차함수 그래프를 그릴 때는 반드시 꼭짓점, 최댓값, 최솟값을 표시하는 습관을 들여라!
어때요? 자신이 그린 이차함수 곡선이 아름답게 보이나요? 앞으로 교과서나 문제집뿐만 아니라 수학공부에 도움이 되는 다양한 방법과 도구를 적극적으로 활용해 ‘수학의 아름다움’을 발견하는 여러분이 되길 바랄게요!
