d라이브러리

2011년 한 해 동안 중·고교 교과과정의 수학을 넘어서지 않는 수준에서 해결할 수 있는 재미있는 수학 연구 주제들을 소개하고 있습니다. 이번이 마지막 과제입니다. 그동안 즐거운 경험이 되었기를 바랍니다. 이번 주제는 스토리를 넣어서 작은 소설처럼 꾸몄습니다. KAIST Cyber 영재교육센터에서 2001년 봄에 출제됐던 과제입니다.


지나치게 작은 수에 집착하는 수학자가 있었다. 그의 이름은 칸토(Canto). 물론 수학자인 만큼 모든 수를 다 좋아하기는 하였으나, 그는 (임의의 n에 대해) n 하나를 갖는 것이 n보다 큰 수들을 모두 갖는 것보다 차라리 낫다고 여겼다.

칸토에게는 항상 이런 고민이 있었다.
“수가 커지는 이유가 무엇일까?”
그러다가 그는 그 원인이 곱셈에 있다고 나름의 결론을 내렸다.
“그래, 자꾸자꾸 곱하니까 커지는 거야!”
“곱셈만 없애 버리면 적어도 커지는 속도를 늦출 수 있을 거야!”

그래서 그는 자연수로부터 곱셈을 없애 버리기로 작정하였다. 즉, 자연수 중에서 수들을 적당히 골라낸 어떤 집합 L을 만들고, 그 위에서 자신만의 수학을 추구하기로 하였다.

이 집합 L은 그에 속하는 어떤 두 수를 택하더라도 그 곱이 L에 포함되지 않아야 한다. 예를 들어, 모든 소수들을 모은 집합은 이런 성질을 만족시킬 것이다. 이런 성질을 갖는 집합들 중에서, 칸토는 “작은 수를 좋아하는” 자신의 취향에 가장 잘 어울리는 집합 L₀을 만들어 낼 수 있는 절차(algorithm)를 찾아내었다.


문제 1 

L₀을 만들어 내는 칸토의 절차는 어떤 것일까? 그 절차가 칸토의 취향에 꼭 맞는 것임을 증명하여라.

칸토는 위의 절차로 얻은 L₀의 자연수들이 공통적으로 어떤 아름다운 구조를 갖고 있음을 발견하였다. 그는 기쁨에 겨워 온 동네를 돌며 소리 지르고 뛰어다녔다.
“작은 것은 아름답다! 작은 것은 아름답다!”


문제2

L₀의 자연수들이 갖는 공통적인 구조는 무엇일까? 위의 절차로 얻어낸 L₀가 이런 구조를 갖고 있는 수를 모두 모은 것임을 증명하여라

그러나 이로부터 그리 오래지 않아, 그는 무슨 이유에서인지 정신병원에 수용되었고, 거기서 늘상 “작은 것은 아름다운데…. 작은 것은 아름다운데….”라고 중얼거리며 세상의 기억으로부터 사라져갔다고 한다.

수십 년이 흘러, 역시 작은 수에 지나치게 집착하는 수학자가 또 있었다. 그의 이름은 세큐(Sequr). 어느 날 그는 우연한 경로로 칸토의 작업 노트를 얻게 되었다. 노트의 내용에 흥미를 느낀 그는, 곧바로 역시 자신만의 집합 M을 만들고자 하였다. 세큐가 칸토와 다른 점은, 그는 유독 4를 특별히 가장 좋아한다는 것이었다.


문제 3 

세큐의 취향에 가장 어울리는 집합 M₀을 만들어 내는 절차를 설명하여라. 또, M₀의 원소들은 어떤 공통적인 구조를 갖는지 찾아내고, 그것을 증명하여라

미쳐버린 칸토와 달리 세큐는 M₀ 위에서 한동안 즐거운 수학을 할 수 있었고, 그리 오래지 않아 여기에 싫증을 느끼고는 다른 재미있는 수학을 찾아 연구하기 시작하였다.


문제4 

칸토는 미쳐버렸으나 세큐는 괜찮았던 이유를 그들의 취향과 L₀, M₀에 대한 수학적인 근거에서 설명할 수 있을까?