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중학교 1, 2학년 도형 단원에서는 다각형에 관한 여러 성질을 배웁니다.

이 성질을 논리적으로 차근차근 설명하는 것을 증명이라고 하지요. 두 평행선과 한 직선이 만날 때 생기는 동위각의 크기가 같다는 성질(평행선의 성질)은 중학교 1학년 때 배웁니다.

이것은 다각형에 관한 가장 기본적인 성질입니다. 삼각형의 세 내각의 합이 180°인 것도 바로 이 평행선의 성질을 이용해서 증명하지요 .

그러나 이렇게 도형에 관한 기본적인 디딤돌 역할을 하는 평행선의 성질을 대부분의 교과서에서는 증명하지 않습니다. 교과서에서는 평행선의 성질을 다음과 같이 삼각자를 옮기며 평행선을 그었을 때 각 a와 각 b가 삼각자의 같은 부분이기 때문에 두 각의 크기가 같다고 설명합니다. 하지만 이것은 증명이 아닙니다.
 

그렇다면 평행선의 성질은 증명할 수 없을까요? 그렇지 않습니다. 다음과 같이 증명할 수 있습니다.
 

두 평행선 l, m과 직선 n이 만나는 점을 각각 A, B라고 합시다. 두 점 A, B에서 각각 평행선에 수선을 그었을 때, 두 직각삼각형 ABH와 ABI는 빗변 AB가 공통이고, 변 AH와 BI는 평행선 사이의 거리로 길이가 같아 합동이 됩니다. 따라서 각 a와 각 ABH는 같고, 각 ABH와 각 b는 맞꼭지각으로 크기가 같습니다. 결과적으로 두 각 a와 b의 크기는 같게 되지요. 교과서에서 평행선의 성질을 증명하지 않는 이유는 증명에 필요한 삼각형의 합동을 배우기 전이기 때문입니다. 증명할 수 없다거나 삼각자 설명만으로 충분하기 때문이 아닙니다.