스칼라와 벡터
운동하는 물체의 운동량과 충돌한 물체의 충격량을 포함한 역학적 시스템에 대해 알아보기에 앞서 물리량을 나타내는 스칼라와 벡터에 대해 알아보자. 통합과학에서는 스칼라와 벡터에 대한 정의나 언급은 따로 없다. 하지만 스칼라와 벡터에 대한 정의는 여러 가지 역학적 시스템을 이해하는 데 있어서 중요하다.
물체의 운동에서 이동 거리는 크기만으로 나타내는데, 이런 물리량을 스칼라라고 한다. 즉, 스칼라는 크기를 나타내는 물리량으로 질량, 시간, 이동 거리, 속력, 일, 에너지, 온도 등이 있다. 반면 물체의 변위는 크기와 방향을 같이 나타내는데, 이런 물리량을 벡터라고 한다. 벡터에는 위치, 변위, 속도, 가속도, 힘, 전기장, 자기장 등이 있다.
속도는 벡터로 나타내는 물리량으로 크기와 방향을 동시에 가지는 물리량이다. 이때, 속도의 크기를 속력이라고한다. 속력이 클수록 운동량이 커지는데, 이는 속도가 커지면 운동량이 증가한다는 말과 같은 의미다.
운동량과 충격량
운동량(P)이란 운동하는 물체의 효과를 나타내는 물리량으로, 크기와 방향을 가진다. 운동량의 크기는 물체의 질량과 속도에 비례한다. 이를 식으로 나타내면 아래와 같다.
오른쪽 위 그림은 질량이 동일한 경우 물체의 속력과 운동량의 관계를, 물체의 속도가 동일한 경우 질량과 운동량의 관계를 나타낸 그림이다. 그리고 두 경우 모두 운동량의 방향은 물체의 속도의 방향과 같다.
위와 같은 이유로 질량은 작지만 빠른 속도로 날아가는 총알은 큰 운동량을 가지고 있는 반면, 질량의 크기는 크지만 정지한 자동차의 운동량은 0이다. 그런데 운동량이 큰 총알이 사과를 산산조각냈다는 것은 총알이 가지고 있던 운동량이 정지돼 있던 사과에게 큰 충격을 가했다는 의미며, 그 충격으로 사과가 부서진 것이다.
사과가 총알에 의해 받은 충격처럼 물체가 받는 충격의 정도를 나타내는 물리량을 충격량(I)이라고 한다. 충격량은 물체의 운동을 변화시키는 물리량이기도 하다. 충격량 역시 크기와 방향을 가지는데, 충격량의 크기는 충돌하는 동안 물체에 작용한 힘과 작용한 시간에 비례한다. 이를 식으로 나타내면 아래와 같다.
충격량은 힘과 시간을 곱한 값으로, 힘만 방향을 가지므로 충격량의 방향은 물체에 작용한 힘의 방향과 같다. 또한 물체가 받는 힘을 시간에 따라 나타낸 힘-시간 그래프에서 그래프 아래의 면적이 충격량이 된다.
아래 그래프들은 힘이 일정하지 않을 때, 힘이 일정하게 증가할 때, 힘이 일정할 때 등 3가지 경우에 대해 힘-시간 그래프를 나타낸 것이다.
운동량과 충격량의 단위
가속도의 법칙(운동 제2법칙)은 ‘힘=질량×가속도’로 나타낼 수 있다. 이를 토대로 힘(F)을 단위로 나타내면 kg·m/s2으로 나타낼 수 있다. 시간의 단위는 s이므로, 결국 충격량(힘×시간)의 단위는 (kg·m/s2·) s이다. 그런데 이를 정리해 보면 (kg·m/s2·) s=kg·m/s로 운동량의 단위와 같아진다. 이는 운동량과 충격량이 동일한 차원의 물리량이라는 것을 의미하며, 결국 ‘충격량=운동량의 변화량’이라는 관계식이 성립한다. 뿐만 아니라 ‘충격량=운동량의 변화량=나중 운동량-처음 운동량’이므로 아래와 같이 설명할 수 있다.
위에서 언급한 충격량과 운동량의 변화량에 대한 관계를 토대로, 힘이 오랜 시간 작용하거나 같은 시간 동안 큰 힘이 작용하면 물체가 받는 충격량이 증가하고 결국 물체의 운동량의 변화량도 증가함을 알 수 있다.
이는 실제 생활에서 다양한 형태로 적용될 수 있다. 테니스나 야구, 골프에서 공을 멀리 보내기 위해서는 큰 힘으로 치거나(즉, F를 크게 만들거나), 스윙을 끝까지 유지 하면서 공이 힘을 받는 시간을 길게 만들어야(즉, ⊿t를 크게 만들거나) 한다.
대포를 쏘는 경우에도 포신을 길게 만들면 포탄에 힘이 작용하는 시간을 늘려 포탄을 멀리 보낼 수 있고, 총신이 긴 총일수록 총알이 힘을 받는 시간이 길어지므로 총알이 받는 충격량이 커져 총알이 멀리 날아간다.
충격량과 충돌 시간의 관계, 충격력
물체가 충돌할 때 받는 힘을 충격력이라고 한다. 그런데 일반적으로 충격력은 매순간 변하기 때문에 충격력은 충격을 가하는 동안의 평균적인 힘을 의미하며, 충격력을 ‘평균 힘’이라고 부르기도 한다. 충격력의 크기는 단위시간동안 운동량의 변화량과도 같다.
위의 그래프에서 볼 수 있듯이 물체에 작용한 힘이 일정할 때뿐만 아니라 힘이 변하는 경우에도 그래프 아래 부분의 면적이 충격량이 된다. 이때 충격량을 힘이 작용한 시간으로 나누면 물체가 받는 평균 힘(충격력)을 구할 수 있다.
충격력과 충돌 시간의 관계는 충격량이 같을 때 충돌 시간이 짧을수록 충격력은 증가하며, 반대로 충돌 시간이 길수록 충격력은 작아진다.
아래 그림은 동일한 유리컵을 같은 높이에서 콘크리트와 방석에 자유 낙하시키는 것이고, 그래프는 유리컵이 받는 힘의 변화를 시간에 따라 나타낸 것이다.
충돌과 안전장치
시간에 따라 충격력이 다르다는 점을 이용해 일상생활에서는 의도적으로 충격력을 줄여 안전장치를 만들거나, 안전사고를 예방한다. 대표적인 예로 자동차의 에어백을 들수 있다. 에어백은 자동차가 충돌 시 승객의 신체가 충돌할때까지 걸리는 시간을 연장함으로써 신체가 받는 충격력을 줄여 승객을 보호한다.
자동차의 안전벨트는 충돌 시간을 길게 만들어 충격력을 줄이기도 하지만, 충격력을 분산시키기도 한다. 또 운동하던 자동차가 급정거할 경우 운전자가 관성에 의해 진행하던 방향으로 이동해 유리창 등에 부딪히는 현상도 방지한다. 이외에도 아래 표처럼 다양한 형태로 충격력을 줄이는 방법들이 사용되고 있다.
컬링에 들어 있는 운동량과 충격량
올해 2월 평창 동계올림픽에서 컬링이 큰 인기를 끌었다. 컬링은 중세 스코틀랜드의 얼어붙은 호수에서 무거운 돌덩이를 맞추는 놀이에서 시작됐다고 한다. ‘스톤’이라고 부르는 무겁고 넓적한 돌을 번갈아 던지며, ‘하우스’라는 원으로 된 표적에 얼마나 가까이 보내는지에 따라 게임의 승패가 갈린다.
그런데 이렇게 스톤을 움직이거나, 스톤을 다른 스톤으로 쳐내 이동시키는 과정에는 운동량과 충격량이 들어 있다. 조금 더 정확하게 말하자면 ‘운동량 보존 법칙’이 숨어있다. 운동량, 충격량에 대한 이야기에서 더 나아가 운동량 보존 법칙에 대해 알아보자. 이는 통합과학 교과의 내용은 아니지만 한번쯤 알아두면 다양한 운동 경기를 더욱 재미있게 관람할 수 있을 것이다.
운동량 보존 법칙
운동량 보존 법칙은 외부에서 힘이 작용하지 않으면 계의 전체 운동량의 합은 변하지 않고 보존 된다는 것이다. 운동량 보존 법칙을 설명할 때 가장 많이 사용되는 예는 당구공의 충돌이다.
위 그림에서처럼 운동을 하는 당구공이 있다. 이때 왼쪽에 있던 당구공 A가 오른쪽의 당구공 B와 충돌하고, 충돌 뒤 두 당구공 A와 B는 진행하던 방향으로 운동을 계속한다.
두 당구공이 충돌하는 과정을 조금 더 자세히 살펴보자. 두 당구공은 충돌 시 작용과 반작용의 법칙에 의해 서로 반대되는 힘을 같은 시간동안 받게 된다. 그리고 두 물체의 충돌 시간은 동일하다. 그렇다면 ‘충격량=힘×시간’에 따라 A와 B가 받은 충격량은 동일하며, 방향은 반대가 된다.
이처럼 두 당구공은 충돌과 함께 운동량이 변한다. 왼쪽에서 다가온 A는 B와 충돌 뒤 운동 방향과 반대 방향의 충격량을 받았기 때문에 충돌 시 받은 충격량만큼 운동량이 감소한다. 반면 B는 A와 충돌 시 A로부터 받은 충격량에 더해져 운동량이 증가한다. 이때 A와 B가 받는 충격량은 같다는 사실을 우리는 이미 알고 있다. 따라서 외부에서 어떠한 힘도 가해지지 않은 상황이라면 아래와 같은 식이 성립한다.
(가)와 (나)의 충격량은 크기는 같고 방향이 반대이기 때문에 식을 더하면 다음과 같다.
이는 다음과 같이 일반화해서 나타낼 수 있다. 이를 운동량의 보존 법칙이라고 한다.
컬링에서도 이와 마찬가지로 스톤끼리 부딪혀 서로 밀고 밀리는 과정에서 작용과 반작용에 의한 힘을 주고받는다. 그리고 밀리는 스톤의 운동량이 변한 만큼(작용) 미는 스톤의 운동량도 그 반대 방향으로 동일하게 변한다(반작용). 운동량의 총합은 각각의 운동량 증가와 감소가 서로 상쇄되는 효과를 나타내기 때문에 변하지 않는데, 이는 운동량 보존 법칙에 의한 것이라고 할 수 있다. 물론 실제 경기에서는 마찰력 등에 의한 운동량 손실이 존재한다. 또 상황에 따라서는 충돌하는 두 스톤이 위의 당구공 충돌처럼 언제나 동일한 충돌 면적을 가지지 않을 수도 있다. 실제로 스톤과 스톤이 어느 정도의 두께로 충돌하는가에 따라 스톤과 스톤 사이에서 전달되는 운동량이 달라진다. 스톤과 스톤이 두껍게 충돌할수록 많은 양의 운동량이 전달되며, 반대로 스톤과 스톤이 얇게 충돌할 수록 운동량은 적게 전달되는 것이다. 선수들은 이런 물리법칙을 잘 활용해 다양한 전략과 전술을 구사한다.
