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역제곱법칙은 두 물체를 직선으로 잇는 힘이 두 물체 사이 거리의 제곱에 반비례함을 의미한다. 우리가 익히 알고 있는 만유인력 법칙과 쿨롱법칙은 역제곱법칙을 이용하는 대표적인 예다.
역제곱법칙을 3차원 공간으로 확대해보자. 영향력 내지는 양(量)이 3차원 공간으로 균일하게 퍼져나간다고 할 때(퍼져가는 도중에 다른 형태로 전환하거나 소멸되지 않는다) 단위면적당 밀도는 역제곱에 비례한다. 어떤 지점에 도달하는 양은 그 지점에서 만들어지는 구의 표면적(4πr2)에 골고루 퍼지기 때문이다. 태양에너지의 분포도 같은 방법으로 설명할 수 있다. 단위시간당 태양에서 나오는 에너지의 양을 E, 태양으로부터 거리가 r인 지점에서의 단위시간당 단위면적당 에너지를 I(r)라고 하면, 에너지 보존법칙에 따라 E=4πr2×I(r)인 관계가 성립한다. 이를 정리하면 I(r)=E/4π 1/r2, 결국 I(r)은 r의 역제곱에 비례한다.
역제곱법칙의 이해를 묻는 문제는 자연계논술에서 많이 출제되기 때문에 활용할 수 있도록 반드시 정리해둘 필요가 있다. 지난 4월호의 말미에 소개된 서울대 예시문항을 살펴보자.
별의 등급과 역제곱법칙
(가) 사람의 감각기관은 외부의 자극에 로그함수로 반응한다. 예를 들어 밝기가 F1 과 F2 인 두 물체가 있다면, 사람의 눈은 그 밝기 차이를 log(F2/F1)로 지각한다. 별의 등급체계는 이러한 눈의 특성을 살려 만들어졌다. 별의 등급은 고대 그리스의 천문학자인 히파르코스가 고안했는데, 별의 밝기가 100배 차이가 나면 등급으로는 5등급의 차이가 난다고 정의했다. 이를 계산하면 1등급 간의 밝기 차이는 1001/5=2.512배다.
(나) 아래 그림은 밤하늘의 일부분을 대형 망원경으로 관측한 것이다. 등급이 m인 별이 있을 때, 이 별보다 밝은 별의 개수 N(＜m) 이 어떻게 변하는지 나타냈다. 별과 별 사이에 밝기를 감소시킬 물질이 없다고 하면, 별의 밝기는 거리의 제곱에 반비례해 감소한다. 즉, 별까지의 거리가 멀면 멀수록 m이 커진다.
[논제 1] 만약 밝기가 일정한 별들이 우주 공간에 균일하게 분포한다면 N(＜m)은 어떻게 될지 생각해보자. 또 이를 바탕으로 (나)의 결과를 설명하시오.
전문가 클리닉
이 문제는 복잡하지는 않지만 질문의 의도와 풀이 방향을 짚어내야 제대로 풀 수 있는 문제입니다. 주어진 그래프는 로그 그래프지만 거의 직선에 가까우므로 직선으로 가정하고 푸는 것이 수월합니다.
직선의 기울기는 다음과 같습니다.
예시답안
등급 m인 별의 밝기를 Im이라고 하자. 등급 간 별의 밝기 차이인 Im/Im+1를 k라고 하면, 1등급과 6등급의 간의 밝기 차이는 100배가 나므로 k5=100, k=102/5이다. 따라서 Im/Im+1=102/5가 된다.
따라서 별의 밝기가 모두 일정할 때, 별의 등급은 거리가 멀어질수록 증가한다(별의 등급이 클수록 별의 밝기는 어두워짐을 잊지 말 것). rm을 등급 m인 별들까지의 거리라고 하면, 이보다 가까운 거리에 있는 별들은 모두 m등급보다 밝은 별이라고 할 수 있다.
논제에서 별의 분포밀도가 일정하다고 했으므로, m보다 밝은 별의 개수 N(＜m)은 공간의 부피에 비례한다. 이를 식으로 표현하면
식 ①과 식 ②를 함께 정리하면 N(＜m+1)/N(＜m)=103/5이 된다. 이는 별의 밀도와 밝기가 균일하다면 m+1보다 밝은 별의 개수는 m보다 밝은 별의 개수의 103/5배가 됨을 의미한다. 위 식의 양변에 로그를 취하면, logN(＜m+1)-log(＜m)=3/5
이다. 가로축을 별의 등급, 세로축을 logN(＜m)으로 하면, 가로축이 1등급 증가할 때마다 세로축은 3/5씩 증가하므로 그래프는 직선의 형태가 나타나야 한다. 논제에 제시된 그래프는 거의 직선의 형태를 띠고 있으므로 이론을 잘 반영하고 있다고 볼 수 있다.
하지만 자세히 살펴보면 m이 커질수록 그래프의 기울기는 약간씩 감소하고 있다. 등급이 커질수록 그래프의 기울기가 감소한다는 것은 거리가 먼 천체들일수록 거리가 가까운 천체들보다 더 많이 어두워지고 있음을 의미한다. 관측 값이 계산 값보다 어둡게 나오거나, 별의 분포 밀도가 감소할 때 나타나는 현상이다.
이는 우주의 팽창으로 설명할 수 있다. 우주가 팽창하면 별들이 멀어지는 속도는 그 거리에 비례한다. 먼 거리에 있는 별일수록 더 멀리 떨어지게 돼 분포밀도가 낮아지는 것이다.
[논제 2] 만약 사람의 눈이 지금보다 민감해 5등급의 차이를 100배가 아닌 10배로 구분할 수 있다면, (나)의 결과는 어떻게 달라졌을지 논술하시오.
전문가 클리닉
사람의 눈이 민감해지면 별의 밝기를 잘 구분할 수 있으므로 등급을 지금보다 세밀하게 나눌 수 있습니다. 등급이 세밀해지면 한 등급 안에 들어가는 별의 개수는 어떻게 될까요. 단순한 계산과정을 넘어 현상이 나타내는 의미를 짚어보고 관련 사항을 추론해볼 수 있도록 합시다.
예시답안
5등급 간에 별의 밝기가 10배 차이난다면 한 등급은 101/5배다. 별의 밝기는 거리의 제곱에 반비례하므로 별까지 거리가 101/10배 멀어지면 실시등급은 한 등급 커진다.
위 문제의 가정과 동일하다고 할 때, m등급보다 밝은 별의 개수 N(＜m+1)이 반지름이 r인 공간 내에 존재한다면 N(＜m+1)은 반지름이 r×101/10인 공간 내에 존재할 것이다. N의 비는 두 별이 차지하는 공간의 부피비가 되므로 N(＜m+1)/N(＜m)=(r×101/10)3/r3=10 3/10이다. 즉, 별의 밀도와 밝기가 균일하다고 가정하면 N(＜m+1)은 N(＜m)의 103/10배가 된다. 양변에 대수를 취하면, logN(＜m+1)=logN(＜m)+3/10, 그래프의 기울기는 관측자료의 절반이 된다.
따라서 눈의 민감도가 높아지면 원래 등급 간의 밝기 차이보다 감소하기 때문에 등급 간의 별의 개수도 크게 감소하게 된다.
[관련 기출] 2009학년도 고려대 수시 2-2 자연
[제시문] 태양은 단위시간당 일정한 에너지를 사방으로 균일하게 방출한다. 지구는 태양으로부터 빛의 속도로 달려도 8분이나 걸릴 정도로 멀리 떨어져 있다. 따라서 지구에 도달한 태양광선은 거의 평행하게 진행하고, 에너지는 태양이 방출한 에너지의 극히 일부분만 지구에 입사한다. 대기와 구름의 영향을 무시하면 지구 위 어느 지점의 해수면에 단위시간, 단위면적당 입사하는 태양에너지는 태양의 고도에 의해 결정된다. 한편 태양의 고도는 그 지점의 위도와 경도 그리고 계절과 시각에 따라 변한다.
[논제 1] 태양이 단위시간당 방출하는 에너지를 P라고 할 때, 단위시간동안 지구 전체에 입사하는 태양에너지를 구하시오.
[논제 2] 지구의 자전주기를 T라고 할 때, 적도에 위치한 단위면적의 해수면에 춘분 하루 동안 입사한 태양에너지 σ를 구하시오.
[관련 심화 학습]
[제시문 1] 요하네스 케플러(1571-1630)는 티코 브라헤가 30여 년에 걸쳐 얻은 관측 자료를 통해 지구가 원을 그리며 태양 주위를 돈다는 코페르니쿠스의 주장이 잘못됐다는 것을 알게 됐다. 태양과 지구 사이의 거리는 일정하지 않았다. 일정한 점으로부터 지구는 타원을 그리며 태양 주위를 돌고 있었다. 지구와 태양과의 거리가 변하면 그 거리가 멀수록 지구의 속력이 점점 느려졌고, 행성의 공전 주기와 궤도 장반경의 관계를 조사해 공전 주기의 제곱이 궤도 장반경의 세제곱에 비례한다는 것도 알아냈다. 이 세 가지 결과를 케플러의 법칙이라고 한다.
- 고등학교 『과학』교과서
[제시문 2] 아이작 뉴턴(1642-1727)은 경험적 사실에 바탕을 둔 케플러의 법칙을 이론적으로 설명하는 과정에서 만유인력의 법칙을 발견했다. 그 후 과학자들은 뉴턴의 운동 법칙과 만유인력의 법칙을 이용해 우리 주위에서 접하는 여러 가지 운동과 현상, 나아가서는 우주에 있는 거대한 은하들의 구조와 운동까지도 이해할 수 있게 됐다.
- 서울대 예시문항
[논제 1] 행성의 공전속도는 태양으로부터 거리의 제곱근에 반비례하고 구심력은 회전속도의 제곱과 질량에 비례하며 거리에 반비례한다. 이러한 사실을 참고해 태양계의 질량 분포를 추론하시오.
예시답안
회전 중심으로부터 반지름이 r인 태양의 질량 M(r)이 있다고 하자. 태양의 질량분포는 회전중심에 대해서 방향에 대한 편이가 없는 대칭이다. 한편 거리 r에서 공전하는 행성의 회전속도 v는 회전운동이 구심력인 만유인력과 원심력의 균형으로 정리할 수 있다.
그런데 행성의 공전속도는 태양 중심으로부터의 거리의 제곱근에 반비례하므로, 식 ①과 비교하면 M(r)이 일정하다는 것을 확인할 수 있다. 거리가 증가해도 그 내부의 질량은 변화가 없다는 것은 회전 중심에 거의 모든 질량이 몰려있음을 의미한다. 물론 행성의 질량도 작은 값은 아니겠지만, 태양의 질량은 상대적으로 높다. 따라서 태양계의 질량은 태양이 대부분을 차지하고 있음을 알 수 있다.
[논제 2] 아래그림은 은하의 회전 속도를 측정한 결과이다. 은하의 원반 가장자리에 있는 별들은 중심으로부터의 거리가 멀지만 일정한 공전속도를 갖는다. 하지만 케플러의 법칙으로는 이를 설명할 수 없고 구심력의 개념을 이용하면 은하의 질량 분포가 태양계와 매우 다름을 알 수 있다. 이러한 사실을 바탕으로 은하의 질량분포를 추론하시오.
예시답안
만유인력과 원심력이 균형을 이뤄 회전운동을 한다는 사실은 동일하기 때문에 [논제 1]의 ①식을 그대로 적용할 수 있다.
그런데 논제의 조건에서 은하에서는 거리에 상관없이 별의 회전속도 v가 일정하다고 했으므로, v가 상수가 되려면 M(r)∝r이다. 즉 은하중심으로부터 거리가 증가할수록 별 내부의 질량도 거리에 비례해 증가함을 의미한다. 중심으로부터의 거리가 멀어질수록 그에 비례해 고리의 부피도 증가하므로 질량의 밀도 ρ(r)∝1/r이다.
그러므로 은하의 질량 분포는 누적적으로는 중심으로부터의 거리에 비례해 증가하고, 밀도는 거리가 멀어질수록 그에 반비례해 감소한다.
역제곱법칙을 3차원 공간으로 확대해보자. 영향력 내지는 양(量)이 3차원 공간으로 균일하게 퍼져나간다고 할 때(퍼져가는 도중에 다른 형태로 전환하거나 소멸되지 않는다) 단위면적당 밀도는 역제곱에 비례한다. 어떤 지점에 도달하는 양은 그 지점에서 만들어지는 구의 표면적(4πr2)에 골고루 퍼지기 때문이다. 태양에너지의 분포도 같은 방법으로 설명할 수 있다. 단위시간당 태양에서 나오는 에너지의 양을 E, 태양으로부터 거리가 r인 지점에서의 단위시간당 단위면적당 에너지를 I(r)라고 하면, 에너지 보존법칙에 따라 E=4πr2×I(r)인 관계가 성립한다. 이를 정리하면 I(r)=E/4π 1/r2, 결국 I(r)은 r의 역제곱에 비례한다.
역제곱법칙의 이해를 묻는 문제는 자연계논술에서 많이 출제되기 때문에 활용할 수 있도록 반드시 정리해둘 필요가 있다. 지난 4월호의 말미에 소개된 서울대 예시문항을 살펴보자.
별의 등급과 역제곱법칙
(가) 사람의 감각기관은 외부의 자극에 로그함수로 반응한다. 예를 들어 밝기가 F1 과 F2 인 두 물체가 있다면, 사람의 눈은 그 밝기 차이를 log(F2/F1)로 지각한다. 별의 등급체계는 이러한 눈의 특성을 살려 만들어졌다. 별의 등급은 고대 그리스의 천문학자인 히파르코스가 고안했는데, 별의 밝기가 100배 차이가 나면 등급으로는 5등급의 차이가 난다고 정의했다. 이를 계산하면 1등급 간의 밝기 차이는 1001/5=2.512배다.
(나) 아래 그림은 밤하늘의 일부분을 대형 망원경으로 관측한 것이다. 등급이 m인 별이 있을 때, 이 별보다 밝은 별의 개수 N(＜m) 이 어떻게 변하는지 나타냈다. 별과 별 사이에 밝기를 감소시킬 물질이 없다고 하면, 별의 밝기는 거리의 제곱에 반비례해 감소한다. 즉, 별까지의 거리가 멀면 멀수록 m이 커진다.
[논제 1] 만약 밝기가 일정한 별들이 우주 공간에 균일하게 분포한다면 N(＜m)은 어떻게 될지 생각해보자. 또 이를 바탕으로 (나)의 결과를 설명하시오.
전문가 클리닉
이 문제는 복잡하지는 않지만 질문의 의도와 풀이 방향을 짚어내야 제대로 풀 수 있는 문제입니다. 주어진 그래프는 로그 그래프지만 거의 직선에 가까우므로 직선으로 가정하고 푸는 것이 수월합니다.
직선의 기울기는 다음과 같습니다.
예시답안
등급 m인 별의 밝기를 Im이라고 하자. 등급 간 별의 밝기 차이인 Im/Im+1를 k라고 하면, 1등급과 6등급의 간의 밝기 차이는 100배가 나므로 k5=100, k=102/5이다. 따라서 Im/Im+1=102/5가 된다.
따라서 별의 밝기가 모두 일정할 때, 별의 등급은 거리가 멀어질수록 증가한다(별의 등급이 클수록 별의 밝기는 어두워짐을 잊지 말 것). rm을 등급 m인 별들까지의 거리라고 하면, 이보다 가까운 거리에 있는 별들은 모두 m등급보다 밝은 별이라고 할 수 있다.
논제에서 별의 분포밀도가 일정하다고 했으므로, m보다 밝은 별의 개수 N(＜m)은 공간의 부피에 비례한다. 이를 식으로 표현하면
식 ①과 식 ②를 함께 정리하면 N(＜m+1)/N(＜m)=103/5이 된다. 이는 별의 밀도와 밝기가 균일하다면 m+1보다 밝은 별의 개수는 m보다 밝은 별의 개수의 103/5배가 됨을 의미한다. 위 식의 양변에 로그를 취하면, logN(＜m+1)-log(＜m)=3/5
이다. 가로축을 별의 등급, 세로축을 logN(＜m)으로 하면, 가로축이 1등급 증가할 때마다 세로축은 3/5씩 증가하므로 그래프는 직선의 형태가 나타나야 한다. 논제에 제시된 그래프는 거의 직선의 형태를 띠고 있으므로 이론을 잘 반영하고 있다고 볼 수 있다.
하지만 자세히 살펴보면 m이 커질수록 그래프의 기울기는 약간씩 감소하고 있다. 등급이 커질수록 그래프의 기울기가 감소한다는 것은 거리가 먼 천체들일수록 거리가 가까운 천체들보다 더 많이 어두워지고 있음을 의미한다. 관측 값이 계산 값보다 어둡게 나오거나, 별의 분포 밀도가 감소할 때 나타나는 현상이다.
이는 우주의 팽창으로 설명할 수 있다. 우주가 팽창하면 별들이 멀어지는 속도는 그 거리에 비례한다. 먼 거리에 있는 별일수록 더 멀리 떨어지게 돼 분포밀도가 낮아지는 것이다.
[논제 2] 만약 사람의 눈이 지금보다 민감해 5등급의 차이를 100배가 아닌 10배로 구분할 수 있다면, (나)의 결과는 어떻게 달라졌을지 논술하시오.
전문가 클리닉
사람의 눈이 민감해지면 별의 밝기를 잘 구분할 수 있으므로 등급을 지금보다 세밀하게 나눌 수 있습니다. 등급이 세밀해지면 한 등급 안에 들어가는 별의 개수는 어떻게 될까요. 단순한 계산과정을 넘어 현상이 나타내는 의미를 짚어보고 관련 사항을 추론해볼 수 있도록 합시다.
예시답안
5등급 간에 별의 밝기가 10배 차이난다면 한 등급은 101/5배다. 별의 밝기는 거리의 제곱에 반비례하므로 별까지 거리가 101/10배 멀어지면 실시등급은 한 등급 커진다.
위 문제의 가정과 동일하다고 할 때, m등급보다 밝은 별의 개수 N(＜m+1)이 반지름이 r인 공간 내에 존재한다면 N(＜m+1)은 반지름이 r×101/10인 공간 내에 존재할 것이다. N의 비는 두 별이 차지하는 공간의 부피비가 되므로 N(＜m+1)/N(＜m)=(r×101/10)3/r3=10 3/10이다. 즉, 별의 밀도와 밝기가 균일하다고 가정하면 N(＜m+1)은 N(＜m)의 103/10배가 된다. 양변에 대수를 취하면, logN(＜m+1)=logN(＜m)+3/10, 그래프의 기울기는 관측자료의 절반이 된다.
따라서 눈의 민감도가 높아지면 원래 등급 간의 밝기 차이보다 감소하기 때문에 등급 간의 별의 개수도 크게 감소하게 된다.
[관련 기출] 2009학년도 고려대 수시 2-2 자연
[제시문] 태양은 단위시간당 일정한 에너지를 사방으로 균일하게 방출한다. 지구는 태양으로부터 빛의 속도로 달려도 8분이나 걸릴 정도로 멀리 떨어져 있다. 따라서 지구에 도달한 태양광선은 거의 평행하게 진행하고, 에너지는 태양이 방출한 에너지의 극히 일부분만 지구에 입사한다. 대기와 구름의 영향을 무시하면 지구 위 어느 지점의 해수면에 단위시간, 단위면적당 입사하는 태양에너지는 태양의 고도에 의해 결정된다. 한편 태양의 고도는 그 지점의 위도와 경도 그리고 계절과 시각에 따라 변한다.
[논제 1] 태양이 단위시간당 방출하는 에너지를 P라고 할 때, 단위시간동안 지구 전체에 입사하는 태양에너지를 구하시오.
[논제 2] 지구의 자전주기를 T라고 할 때, 적도에 위치한 단위면적의 해수면에 춘분 하루 동안 입사한 태양에너지 σ를 구하시오.
[관련 심화 학습]
[제시문 1] 요하네스 케플러(1571-1630)는 티코 브라헤가 30여 년에 걸쳐 얻은 관측 자료를 통해 지구가 원을 그리며 태양 주위를 돈다는 코페르니쿠스의 주장이 잘못됐다는 것을 알게 됐다. 태양과 지구 사이의 거리는 일정하지 않았다. 일정한 점으로부터 지구는 타원을 그리며 태양 주위를 돌고 있었다. 지구와 태양과의 거리가 변하면 그 거리가 멀수록 지구의 속력이 점점 느려졌고, 행성의 공전 주기와 궤도 장반경의 관계를 조사해 공전 주기의 제곱이 궤도 장반경의 세제곱에 비례한다는 것도 알아냈다. 이 세 가지 결과를 케플러의 법칙이라고 한다.
- 고등학교 『과학』교과서
[제시문 2] 아이작 뉴턴(1642-1727)은 경험적 사실에 바탕을 둔 케플러의 법칙을 이론적으로 설명하는 과정에서 만유인력의 법칙을 발견했다. 그 후 과학자들은 뉴턴의 운동 법칙과 만유인력의 법칙을 이용해 우리 주위에서 접하는 여러 가지 운동과 현상, 나아가서는 우주에 있는 거대한 은하들의 구조와 운동까지도 이해할 수 있게 됐다.
- 서울대 예시문항
[논제 1] 행성의 공전속도는 태양으로부터 거리의 제곱근에 반비례하고 구심력은 회전속도의 제곱과 질량에 비례하며 거리에 반비례한다. 이러한 사실을 참고해 태양계의 질량 분포를 추론하시오.
예시답안
회전 중심으로부터 반지름이 r인 태양의 질량 M(r)이 있다고 하자. 태양의 질량분포는 회전중심에 대해서 방향에 대한 편이가 없는 대칭이다. 한편 거리 r에서 공전하는 행성의 회전속도 v는 회전운동이 구심력인 만유인력과 원심력의 균형으로 정리할 수 있다.
그런데 행성의 공전속도는 태양 중심으로부터의 거리의 제곱근에 반비례하므로, 식 ①과 비교하면 M(r)이 일정하다는 것을 확인할 수 있다. 거리가 증가해도 그 내부의 질량은 변화가 없다는 것은 회전 중심에 거의 모든 질량이 몰려있음을 의미한다. 물론 행성의 질량도 작은 값은 아니겠지만, 태양의 질량은 상대적으로 높다. 따라서 태양계의 질량은 태양이 대부분을 차지하고 있음을 알 수 있다.
[논제 2] 아래그림은 은하의 회전 속도를 측정한 결과이다. 은하의 원반 가장자리에 있는 별들은 중심으로부터의 거리가 멀지만 일정한 공전속도를 갖는다. 하지만 케플러의 법칙으로는 이를 설명할 수 없고 구심력의 개념을 이용하면 은하의 질량 분포가 태양계와 매우 다름을 알 수 있다. 이러한 사실을 바탕으로 은하의 질량분포를 추론하시오.
예시답안
만유인력과 원심력이 균형을 이뤄 회전운동을 한다는 사실은 동일하기 때문에 [논제 1]의 ①식을 그대로 적용할 수 있다.
그런데 논제의 조건에서 은하에서는 거리에 상관없이 별의 회전속도 v가 일정하다고 했으므로, v가 상수가 되려면 M(r)∝r이다. 즉 은하중심으로부터 거리가 증가할수록 별 내부의 질량도 거리에 비례해 증가함을 의미한다. 중심으로부터의 거리가 멀어질수록 그에 비례해 고리의 부피도 증가하므로 질량의 밀도 ρ(r)∝1/r이다.
그러므로 은하의 질량 분포는 누적적으로는 중심으로부터의 거리에 비례해 증가하고, 밀도는 거리가 멀어질수록 그에 반비례해 감소한다.
