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전하의 세계에서도 해준 일과 에너지는 상호 전환된다.

일과 에너지, 힘과 일의 관계를 잘 이해하면 전하의 에너지(전위)를 예측할 수 있을 뿐만 아니라 물리 전체를 폭 넓게 이해할 수 있다.

Q1 다음 제시문을 읽고 물음에 답하라.

(가) 에너지라는 단어는 그리스어의 en(‘안’이란 뜻)과 ergon(‘일’이란 뜻)으로부터 유래됐다. 갈릴레오(1638년)가 energia란 말을 사용하긴 했으나 과학적 의미의 에너지 개념이 세워진 것은 불과 200년 전의 일이다. 일반적으로 에너지는 4가지 힘의 작용과 관련된 계의 상태를 말한다. 그것은 속도, 질량, 위치 등과 같은 물리량의 변화를 통하여 간접적으로 관찰된다. 직접적으로 에너지를 측정할 수는 없지만 계의 물리적 변화를 측정하면 계의 에너지 변화를 실험적으로 알 수 있다.

에너지는 아주 작고 질량이 없는 소립자에서부터 거대하게 선회하는 은하계까지, 존재하는 모든 사물과 관련된 스칼라 양이다. 에너지는 스스로 존재하지 않는다. 우리는 물질이 변화하는 과정을 관찰함으로써 에너지가 어떤 형상으로 존재할지 추론할 수 있다. 우리는 에너지의 양과 변화의 정도를 연관시킨다. 이때 에너지의 가장 중요한 특징은 에너지의 총량이 항상 일정하게 유지되면서 다른 형태로 변한다는 것이다. 열에너지는 전기에너지로 전환될 수 있으며, 전기에너지의 일부를 빛으로 바꿀 수 있다. 이때 에너지는 보존된다.

- 물리학(Eugene Hecht 저), 물리학교재발간위원회

(나) 전기장이 균일하게 주어지는 상태에서 한 일은 주어진 경로에 무관하다. 때문에 한 점 Pi 에서부터 임의의 점 Pf까지 갔다가 다시 Pi 로 움직이는 물체가 한 일은 0이다. 이렇게 닫힌 경로를 따라 움직여 한 일이 0일 때, 그 힘을 보존력(conservative force)이라고 한다. 보존력이 작용하는 상황에서는 입자가 점 Pi 에서부터 임의의 점 Pf까지 움직일 때 든 에너지 만큼이 점 Pf에서 Pi 로 움직이는 경우 방출된다. 중력장과 전자기장은 가장 기본적인 보존력이다. 마찰은 원자 수준에서 작용하는 정전기력(보존력)의 거시적인 현상이다. 원자와 접촉하는 물질이나 표면의 원자들 사이에 작용하는 각각의 상호작용은 보존적이다. 마찰은 무수히 많은 미시적 상호작용이 복합된 효과다.

마찰력이 없고 중력장도 작용하지 않는 공간에서 물체가 가속이 되도록 일을 하거나 일을 공급받는다고 생각해 보자. 물체에 한 일은 물체의 운동에너지의 변화와 같으며, 이것을 일-에너지 정리(Work-Energy theorem)라고 한다. 단, 일-에너지 정리는 물체가 변형이 일어나지 않는 강체일 경우에만 적용할 수 있다.

계에 한 일은 결국 운동에너지로 바뀐다. 하지만 그 반응이 항상 즉각적으로 일어나지는 않는다. 높은 곳에 있는 물체는 낙하하는 순간에 운동에너지가 나타난다. 물체를 높은 곳에 올린 일은 물체가 낙하하는 순간까지 계에 저장돼 있다. 이렇게 저장된 에너지, 즉 위치 혹은 힘에 관한 배치 때문에 만들어지는 에너지를 위치에너지(Potential Energy, PE)라고 한다.

계의 모든 부분에서 역학적 에너지(E)는 운동에너지와 중력-위치에너지의 합으로 정의한다. 물체에 보존력만 작용하는 경우 보존력이 일을 한 만큼 위치에너지는 감소하고 같은 양만큼 운동에너지는 증가해 역학적 에너지가 보존된다. 에너지 상호작용을 보면 계가 거친 중간상태를 보지 않고도 계의 처음 상태로부터 마지막 상태를 예측할 수 있다.

1)속도 v0로 움직이고 있던 물체가 운동마찰계수 μk인 표면에서 일정거리 x를 움직이고 정지했다. 정지하기까지 진행한 거리를 에너지 보존법칙과 운동 방정식을 세워서 풀어라.

2)어떤 별의 궤도속력이 v, 주기는 T일이고 질량 m1은 태양질량 Ms의 6배다. 이 별은 보이지 않는 별과 짝을 이뤄 원 궤도를 돌고 있다. 보이지 않는 별의 질량은 태양 질량의 몇 배가 되는가? (보이는 별에 작용하는 구심력은 =m1r1w2, r1은 보이는 별과 원 궤도 중심사이 거리)

전문가 클리닉
운동방정식을 이용하면 시간에 따른 물체의 운동을 예측할 수 있다. 물체에 보존력이 작용하는 경우에는 보존력이 물체에 해준 일을 이용하여 임의의 위치에서 물체의 운동을 아는 방법도 있다.

일-에너지 정리와 더불어 역학적 에너지의 보존을 잘 이해할 수 있다면 물체의 운동을 예측할 수 있을 뿐만 아니라 물리 전체를 폭넓게 이해하는 데 큰 도움이 될 것이다.

예시답안
1) 물체가 지면에 수직인 방향으로 받는 힘은 중력과 수직항력이 서로 상쇄돼 0이다. 물체는 지면에 수평방향으로 작용하는 마찰력에 의해 감속되고 마찰력의 크기는 운동마찰계수와 수직항력의 곱이므로, ma=-μkmg를 이용하면 a=-μkg가 된다.

물체가 등가속도 운동을 하므로 물체가 정지하기까지 소요된 시간은 v_f=0=v₀+at에서 t=v₀/μ_kg이다. (v_f는 최종속도, v₀는 처음속도, a는 가속도, t는 시간)

2) r=r₁+r₂은 두 별 사이의 거리, ω=는 각속력이고, r₁ω²은 보이는 별의 질량중심을 향한 구심가속도이다. 또한 질량중심을 기준으로 원 궤도의 반지름들은 m₁r₁=m₂r₂을 만족하므로 r은 r₁으로 표현할 수 있다.

Q2다음 제시문을 읽고 물음에 답하라.

(가) 정전기력(쿨롱힘)의 수학적인 형태는 중력과 동일하다. 따라서 정전기력도 중력처럼 보존력이다. 위치에너지는 이러한 상호작용과 관련이 있다. 전하가 전기장에 대항해 움직이면, 전기적 위치에너지(electrical-PE)가 변한다. 전자에 양전하로 대전된 물체를 가까이 대면 전자는 양전하를 향해 끌려간다. 전기장이 전자에 일을 하기 때문이다. 전자는 끌려가면서 운동에너지를 얻는 반면 전기적 위치에너지(PEE)는 잃는다. 양성자는 음으로 대전된 물체로 끌려가고 전자는 양으로 대전된 물체에 끌린다. 같은 위치에 있는 물체라도 질량이 클수록 중력에너지가 큰 것처럼 같은 전기장 속에서도 양전하로 많이 대전된(양전하가 큰) 물체는 양성자 하나의 경우보다 더 큰 전기적 위치에너지를 갖는다.

(나) 대전된 물체가 있다고 가정하자. 대전된 물체가 주위 환경에 미치는 영향을 알고자 이 물체의 전하를 기본전하라 정한다. 정전기력은 우리가 관찰할 시험전하(q0)와 관련이 있으므로 시험전하(q0)로 나눠 그 연관성을 제거했다. 이렇게 생긴 전기장(E)은 오직 기본전하에만 관계돼 주변 공간에 작용하는 힘의 분포를 알려 준다. 우리는 시험전하의 독립적 에너지 척도를 알고자 하므로 먼저 기본전하가 만들어 내는 전기장 내의 모든 점에서 시험전하의 전기적 위치에너지를 구해 각각을 시험전하의 전하량 q0로 나눈다. 이렇게 하면 각 점이 양수 또는 음수로 표시되며 단위 전하 각각의 위치에너지를 알게 된다. 이 스칼라 양을 전기퍼텐셜(electric potential), 또는 전위라 한다.
전기퍼텐셜(전위) = 전기적 위치에너지/전하

1)한 변의 길이가 각각 R(m)인 정삼각형의 두 꼭짓점에 점전하 Q가 존재할 때 나머지 한 꼭짓점의 전위와 그 지점에 전하 q0를 가져오는데 필요한 일을 구하라.

2)전기력과 전기에너지의 관계를 설명하고 전기장의 세기와 전기퍼텐셜(전위)사이의 관계에 대하여 서술하라.

전문가 클리닉
힘은 벡터지만 에너지는 스칼라이므로 계산이 편하다는 장점이 있다. 에너지는 해준 일의 양과 같으므로 해준 일을 모두 더하면 구하려는 지점의 전위를 구할 수 있다.

예시답안
1) 한 꼭짓점에 있는 전하 Q에 의한 전위는 시험전하 q를 무한대에서 최종위치 R에 가져다 놓을 때 해줘야 할 일을 모두 더해주면 된다.

전위는 단위시험전하를 옮길 때 필요한 에너지이므로, 점전하 q의 전위는

이다. 또 다른 꼭짓점에 있는 전하의 전위도 동일하므로 전위는 중첩의 원리에 의해 더한다(전위는 스칼라양이라 덧셈이 가능하다).

2) 전기에너지는 전기력에 대하여 외부에서 해준 일의 크기이고 동시에 전기력이 전하 q에 일을 하는 만큼 전하 q의 전기에너지는 감소한다. 따라서 전기에너지는 전기력이 한 일만큼 감소하므로

전위는 스칼라량이고, 전기장은 벡터량이므로 부호를 주의한다. 전위를 구하기 위해 전기장을 적분했으므로, 전기장을 구하기 위해서는 전위를 미분한다.