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서강대 이학부를 졸업하고 제일학원, 광주대성학원에서 학생들을 지도하고 있으며 메가스터디 통합논술연구소 연구위원으로 활발한 연구와 집필 활동을 하고 있다. 학생들에게 자연계 통합논술에 대한 부담을 덜어주고자 분주한 나날을 보내고 있다.
Q 1
다음 제시문을 읽고 물음에 답하라.
집합 G가 이항연산 *에 대해 다음 세 가지 공준을 만족시킬 때 G를 군이라 한다.
G1. G의 모든 원소 a, b, c에 대해 (a*b)*c = a*(b*c)이다.
G2. G의 모든 원소 a에 대해 a*i=a를 만족시키는 G의 원소 i가 존재한다. 이때 원소 i를 이 군의 항등원이라 한다.
G3. G의 각 원소 a에 대해 a*a-1=i를 만족시키는 G의 원소 a-1이 존재한다. 이때 원소 a-1를 원소 a의 역원이라 한다.
이에 덧붙여 다음 공준을 만족하면 그 군을 가환군 또는 아벨군이라 부르고 그렇지 않은 군은 비가환군 또는 비아벨군이라고 한다.
G4. G의 모든 원소 a와 b에 대해 a*b =b*a이다.
군을 이루는 집합 G가 서로 다른 유한 개의 원소를 포함하면 그 군을 유한군이라 부르고 그렇지 않으면 그 군을 무한군이라 부른다.
공준 G1만을 만족시키는 이항연산 *이 정의된 집합을 반군이라 한다. 공준 G4를 만족시키는 반군을 아벨 반군이라 부른다.
대수적 체계에는 이외에도 환, 가환 환, 단위원을 가진 환, 정역, 나눗셈 환, 체가 있다. 덧셈과 곱셈이 정의된 집합 S에 대해 ▲항등원 0과 함께 덧셈에 관한 아벨 군이고 ▲S가 곱셈에 관한 반군이며 ▲덧셈에 관한 곱셈의 두 가지 분배 법칙이 성립한다.
1) 실수 h와 k에 대해 좌표평면 T: (x, y)→(x+h, y+k) 꼴의 이동 전체의 집합을 G라 하고, 이동 T1이 시행된 뒤에 이동 T2가 시행된 결과를 T2*T1라고 하자. G가 무한 아벨군인지에 대해 논하라.
2) 다음의 정리가 성립함을 증명하라.
① a, b, c가 G의 원소이고 a*c=b*c이면 a=b이다.
② G의 모든 a에 대해 i*a=a*i이다.
③ 하나의 군은 단 하나의 항등원을 갖는다.
전문가 클리닉
새롭게 정의한 기본 연산을 문제에 적용할 수 있는지를 묻고 있습니다. 낮선 용어에 부담 갖지 말고 제시문의 내용을 충분히 이해한 뒤 답안을 작성해 봅시다. 2)는 군의 기본 성질에 대한 정리를 증명하는 문제입니다.
Q 2
다음 제시문을 읽고 물음에 답하라.
1) 제시문 (다)의 밑줄 친 부분에서 세 번째 정리 ⓒ를 증명하라.
2) 제시문 (마)를 이용해 “모든 삼각형은 이등변삼각형이다”를 증명하라.
3) “원 내부의 모든 점은 그 원의 중심이다”를 증명하라.
전문가 클리닉
p-진체라는 새로운 함수를 정의한 뒤 이것을 이용해 주어진 명제를 증명할 수 있는가를 묻는 문제입니다. 군, 환, 체의 개념을 이용해 p-진체의 성질을 추론하고 p-진체에서 삼각형의 성질과 원의 성질을 생각해 봅시다.
Q 1
다음 제시문을 읽고 물음에 답하라.
집합 G가 이항연산 *에 대해 다음 세 가지 공준을 만족시킬 때 G를 군이라 한다.
G1. G의 모든 원소 a, b, c에 대해 (a*b)*c = a*(b*c)이다.
G2. G의 모든 원소 a에 대해 a*i=a를 만족시키는 G의 원소 i가 존재한다. 이때 원소 i를 이 군의 항등원이라 한다.
G3. G의 각 원소 a에 대해 a*a-1=i를 만족시키는 G의 원소 a-1이 존재한다. 이때 원소 a-1를 원소 a의 역원이라 한다.
이에 덧붙여 다음 공준을 만족하면 그 군을 가환군 또는 아벨군이라 부르고 그렇지 않은 군은 비가환군 또는 비아벨군이라고 한다.
G4. G의 모든 원소 a와 b에 대해 a*b =b*a이다.
군을 이루는 집합 G가 서로 다른 유한 개의 원소를 포함하면 그 군을 유한군이라 부르고 그렇지 않으면 그 군을 무한군이라 부른다.
공준 G1만을 만족시키는 이항연산 *이 정의된 집합을 반군이라 한다. 공준 G4를 만족시키는 반군을 아벨 반군이라 부른다.
대수적 체계에는 이외에도 환, 가환 환, 단위원을 가진 환, 정역, 나눗셈 환, 체가 있다. 덧셈과 곱셈이 정의된 집합 S에 대해 ▲항등원 0과 함께 덧셈에 관한 아벨 군이고 ▲S가 곱셈에 관한 반군이며 ▲덧셈에 관한 곱셈의 두 가지 분배 법칙이 성립한다.
1) 실수 h와 k에 대해 좌표평면 T: (x, y)→(x+h, y+k) 꼴의 이동 전체의 집합을 G라 하고, 이동 T1이 시행된 뒤에 이동 T2가 시행된 결과를 T2*T1라고 하자. G가 무한 아벨군인지에 대해 논하라.
2) 다음의 정리가 성립함을 증명하라.
① a, b, c가 G의 원소이고 a*c=b*c이면 a=b이다.
② G의 모든 a에 대해 i*a=a*i이다.
③ 하나의 군은 단 하나의 항등원을 갖는다.
전문가 클리닉
새롭게 정의한 기본 연산을 문제에 적용할 수 있는지를 묻고 있습니다. 낮선 용어에 부담 갖지 말고 제시문의 내용을 충분히 이해한 뒤 답안을 작성해 봅시다. 2)는 군의 기본 성질에 대한 정리를 증명하는 문제입니다.
Q 2
다음 제시문을 읽고 물음에 답하라.
1) 제시문 (다)의 밑줄 친 부분에서 세 번째 정리 ⓒ를 증명하라.
2) 제시문 (마)를 이용해 “모든 삼각형은 이등변삼각형이다”를 증명하라.
3) “원 내부의 모든 점은 그 원의 중심이다”를 증명하라.
전문가 클리닉
p-진체라는 새로운 함수를 정의한 뒤 이것을 이용해 주어진 명제를 증명할 수 있는가를 묻는 문제입니다. 군, 환, 체의 개념을 이용해 p-진체의 성질을 추론하고 p-진체에서 삼각형의 성질과 원의 성질을 생각해 봅시다.
