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Q

점이 1개부터 6개까지 찍혀 있는 보통의 주사위와는 다른 특이한 주사위 A, B, C가 있다. 주사위를 던졌을 때 더 큰 눈이 나오면 이기는 것으로 하자. 이 때 확률을 계산해 보니 A가 B를 이길 확률이 50%를 넘고, B가 C를 이길 확률도 50%가 넘었다. 그런데 놀랍게도 C가 A를 이길 확률 또한 50%가 넘는 것이 아닌가! 이런 일이 가능한 세 주사위에는 점이 어떻게 찍혀 있을까?

A

한 주사위가 다른 주사위를 이기는 것이 체조 경기 채점처럼 일렬로 줄을 세울 수 있는 일이라면 이런 일은 절대 불가능하다. 하지만 확률이 개입되면 상식과는 다른 일들이 일어날 수 있다. 이 문제의 답은 우선 이렇게 생각할 수 있다. B에 있는 모든 눈의 수가 다 똑같다고 가정하고 다른 두 주사위의 눈을 큰 순서대로 늘어놓아 보자. 단 B 앞에 오는 A의 개수가 B 뒤에 오는 A의 개수보다 많아야 하고, B 앞에 오는 C의 개수보다 B 뒤에 오는 C의 개수가 많아야 한다.

편의상 B 앞에 A 두 개와 B 뒤에 A 하나가, B 앞에 C 하나와 B 뒤에 C 두 개가 오는 A, A, C, B, A, C, C를 생각해보자. C가 A를 이길 확률이 50%를 넘으므로 C가 A보다 앞에 오는 경우를 찾아보면 C, A, A, B, C, C, A 정도면 충분히 만족한다.

이 때 A가 B를 이길 확률은 $\frac{2}{3}$, B가 C를 이길 확률도$\frac{2}{3}$가 되고, C가 A를 이길 확률은 $\frac{1}{3}$ + $\frac{2}{3}$ x $\frac{1}{3}$= $\frac{5}{9}$ 가 된다. 확률의 크기 순서만 중요할 뿐 구체적인 숫자가 무엇인지는 중요하지 않지만 굳이 써 보자면 A(1, 1, 4, 4, 4, 4), B(3, 3, 3, 3, 3, 3), C(2, 2, 2, 2, 5, 5)로 하면 된다. 약간 아쉽다면 C가 A를 이길 확률이 다른 경우보다 작다는 점이다.

세 경우 모두 똑같은 확률이 나오게 주사위의 눈을 결정할 수는 없을까? 그 중 한 경우로 A(8, 8, 1, 1, 6, 6), B(3, 3, 5, 5, 7, 7), C(4, 4, 9, 9, 2, 2)에서는 모든 경우의 확률이 $\frac{5}{9}$가 된다.

A, B, C를 구성하는 수들은 도무지 규칙성이 없어 보이지만 희한하게도 옆의 그림처럼 마방진을 이룬다. 여기서 가로뿐 아니라 세로로 숫자들을 골라 A(6, 6, 7, 7, 2, 2), B(1, 1, 5, 5, 9, 9), C(8, 8, 3, 3, 4, 4)로 해도 문제의 조건을 만족한다. 이 문제는 주사위가 4개인 경우, 주사위 모양이 정육면체가 아니라 정팔면체인 경우 등 여러 사람들이 다양하게 변형해 풀기도 했다.
 

참고로 원래 문제에서 각각의 주사위가 이기는 세 확률이 모두 0.618…보다 클 수는 없다. 위의 두 예에서는 $\frac{5}{9}$(=0.555…)가 그에 해당한다.

그리고 신기하게도 0.618…이라는 값은 황금비의 역수다. 놀랍지 않은가?

지난달 정답 _ 6