지상에서의 물체운동은 상식적인 감각으로 잘 이해되지 않는다. 그러나 포물선 운동의 원리를 알게 되면 그 실체를 간파할 수 있다.
물체를 옆으로 던짐과 동시에 다른 물체를 자유낙하시킬 때 어느 물체가 먼저 땅에 떨어질 것인가? 옆으로 던진 물체는 옆으로 가려고 바쁘기 때문에, 아래로만 떨어지는 물체보다 느리게 떨어질 것 같은 기분이 든다.
그러나 자연은 우리의 기분대로 움직이지 않는다. 옆으로 가는 것은 가는 것이고 아래로 떨어지는 것은 옆으로 가는 것과는 무관하게 떨어진다. 그래서 자유낙하하는 물체가 1m 떨어지면 옆으로 던진 물체는 옆으로 가면서 1m 떨어진다. 자유낙하물체가 땅에 닿으면 옆으로 던진 물체도 역시 땅에 닿는다. 던진 위치에서 얼마만큼 멀리 가느냐 하는 것은 처음에 얼마나 빠른 속력으로 던졌느냐에 달려있다. 속력이 클 때는 멀리 가서 동시에 떨어질 것이고 속력이 작을 때는 가까이에서 동시에 떨어진다.
이를 정량적으로 분석하면 다음과 같다. 물체를 x방향으로 v라는 속력으로 던졌을 때, x방향으로는 등속직선 운동하고 y방향으로는 지유낙하하는데 그 두 방향이 서로 간섭없이 독립적으로 진행한다. 따라서 t초후에 x방향으로의 이동거리(x좌표)는 vt이며, y방향으로의 이동거리(y좌표)는 t초간 자유낙하한 거리이므로 -4.9${t}^{2}$이다. -는 아래로 운동했다는 뜻이다. 이제 x,y사이의 관계를 구해보면 그 물체가 지나가는 자취, 궤도방정식을 알 수 있고 이는 매개변수 t를 소거하면 된다. t＝x/v를 y＝-4.9${t}^{2}$에 대입하면 y＝-(4.9/${v}^{2}$)${x}^{2}$ 이는 x에 관한 2차함수이므로 포물선이다. 또 꼭지점은 원점이고 2차항의 계수가 음수인 것으로 보아 위로 볼록한 포물선이다. v가 크면 2차항의 계수가 작아지고 뚱뚱한 포물선이 될 것이고 v가 작으면 2차항의 계수가 커져(사실은 절대값이), 홀쭉한 포물선이 된다. 장난꾸러기 남자 아이가 다리 위에서 오줌을 눌 때 오줌의 속도가 크면 그 오줌이 그리는 포물선이 뚱뚱한 형태로 되고 속도가 작으면 바로 떨어지기 때문에 홀쭉한 포물선이 된다는 것은 우리 경험으로 알고 있다. 위에서는 이를 물리적으로 따져서 확인한 것이 된다.
포물선 운동의 응용
폭격을 하기 위해 수평으로 날고 있는 비행기가 목표물의 상공을 지날 때 폭탄을 투하하면 폭탄은 엉뚱한 곳에 떨어지게 된다. 왜냐하면 달리는 비행기에서 자유낙하시킨 물체는 비행기의 속도와 같은 수평방향의 속도를 가지고 있기 때문에 비행사의 입장에서는 자유낙하를 하지만 지상에 있는 사람에게는 포물선 운동하므로 목표물보다 훨씬 지나서 떨어지게 된다. 그래서 노련한 비행사는 비행기의 속도와 고도를 고려하여 목표물의 상공에 도달되기 전에 폭탄을 투하해야만 목적을 달성할 수 있다.
사격을 할 때도 총구와 목표점이 일직선으로 겨냥을 해서 방아쇠를 당겨도 명중하지 않는다. 총알이 날아오는 동안에 중력에 의해 떨어지기 때문이다. 총알이 너무 빨라서 떨어지는 느낌이 들지 않는데, 어디까지나 느낌일 뿐이다.
만약 총구에서 총알이 출발한 후 1초만에 목표물에 도착했다면 총알은 원래 겨냥했던 곳보다 4.9m나 아래로 빗나가 버린다. 1초간 자유낙하한 거리가 4.9m이기 때문이다. 따라서 제대로 맞추기 위해서는 맞추려는 곳보다 위를 겨냥해야 한다. 총알이 1초간 날아갈 거리라면 4.9m 위를 겨냥하고 총알이 2초간 날아갈 거리라면 19.8m 위을 겨냥해야 한다. 총알의 속도가 대략 1㎞/초라면, 목표물이 1㎞ 떨어진 곳에서는 4.9m 위를, 2㎞ 떨어진 곳에서는 19.8m만큼 위를 겨냥해야 한다는 뜻이다.
이와 관련된 유명한 문제 중에 '원숭이 문제'라는 것이 있다. 원숭이 사냥꾼이 나무에 매달려 있는 원숭이를 발견하고 정확하게 겨냥했다. 사냥꾼이 방아쇠를 당기는 순간 원숭이가 이를 발견하고 황급히 아래로 낙하하기 시작했다. 과연 이 원숭이의 운명은 어떻게 됐을까 하는 것인데, 그대로 있으면 총알이 발 아래로 지나갈 수 있었을텐데 총알은 사냥꾼이 애초에 겨냥한 원숭이에 정확하게 명중한다.
보통은 사냥꾼과 원숭이 사이의 거리가 작아서 순식간에 목표물에 도달되므로 떨어지는 효과가 크지 않아서 가만히 있거나 떨어지거나 맞는 것은 마찬가지지만 충분히 멀리 떨어져 있어서 가만히 있었다면 발 밑으로 지나갈 것도 원숭이가 손을 놓았기 때문에 맞는다는 것이다.
물론 총알이 원숭이가 낙하한 지점까지 도달되지 못하면 원숭이를 맞출 수 없겠지만 원숭이가 떨어진 곳보다 멀리 도달되는 속도범위에서는 어떠한 속도에서도 원숭이는 명중하게 된다. 만약 총알이 1초동안 날아왔다면 원숭이는 4.9m 아래에서 명중하고, 총구를 떠난 2초 후에 명중했다면 그 지점은 원래 원숭이가 있던 위치보다 19.8m 아래다.
포물선 운동에 대한 일반적인 풀이는 다음과 같다. 즉 수평면에 대하여 θ의 각과 v의 속력으로 던져진 물체가 있다고 하자. 이 물체는 x방향으로는 vcosθ의 속력으로 등속운동하고, y방향으로는 vsinθ의 속력으로 던져 올려진 운동을 한다. 이 두 방향의 운동이 서로 독립적이므로 t초후에 x방향으로는 vcosθt 만큼 이동하고, y방향으로는 vsinθt-4.9${t}^{2}$만큼 이동한다. 이 물체가 지나가는 자취의 방정식은 매개변수 t를 소거하여 얻어진다.
t＝x/(vcosθ)을 y＝vsinθt-4.9${t}^{2}$에 대입하면 y＝tanθx-{4.9/${(vcosθ)}^{2}$}${x}^{2}$
y가 x에 대한 2차 함수이고 2차항의 계수가 음수이므로 역시 위로 볼록한 포물선이다. 그러나 꼭지점은 원점이 아니다. y＝0이 되는 두개의 x값을 찾으면 이 포물선이 x축을 끊는 점이 되며, 한개는 던진 점(원점)이고 다른 한 개는 물체가 땅에 떨어진 점이 된다. 이를 구하면
x＝${v}^{2}$sin2θ/g, g＝중력가속도＝9.8
멀리 던지기 하는 것은 이 x를 크게 하는 게임이다. sin함수는 1보다 클 수 없고 sin2θ＝1을 만족하는 θ는 45도이다. 이것이 같은 속력으로 던져서 가장 멀리 나가게 하는 방법이 수평면과 45도의 각이라는 물리적인 증명이다.
투수가 던진 공의 속력이 약 1백50㎞/시라고 할 때 이 선수가 45도의 각으로 던졌을 때 나가는 거리는 대략 1백70m가 넘는다.
그러나 이 모든 이론이 공기의 마찰을 무시했을 때이므로 실제로는 45도에서 가장 멀리 나가지 않는다. 올림픽의 창이나 원반 던지기에서 금메달을 따는 사람들의 던지는 각도를 분석하면 대략 39도에서 42도 사이라고 한다.
한편 2차세계대전 때 전세가 불리해진 독일군이 파리 시내를 공격하기 위한 장거리포의 기록에 따르면 52도로 발사하는 것이 42도로 발사하는 것보다 훨씬 많이 나간다는 기록이 있다. 이는 10-12㎞ 상공에 있다는 제트기류 때문인 것으로 밝혀졌다. 즉 52도 이상으로 발사를 해야만 폭탄이 제트기류를 탈 수 있는 고도가 되고 일단 그 기류를 타게 되면 포물선 운동과는 다른 운동으로 상당히 멀리까지 가는 것이 가능하다는 것이다.
함께 생각합시다
1. 고도 5백m에서 9백km/시의 속력으로 수평으로 날고 있는 비행기에서 지상을 폭격한다고 할 때 목표물에서 어느 만큼 떨어진 곳에서 폭탄을 낙하해야 하는가? 마찰은 무시하고 중력가속도는 10m/${초}^{2}$ 으로 한다.
2. 럭비선수가 럭비공을 공중으로 찬 후에 앞으로 50m를 달려가 자기가 찬 공을 6초만에 다시 잡았다. 공은 최대 몇 m까지 올라갔을까? 또 공을 찬 각도는 수평면에 대해서 몇도 이겠는가?
해설
1. 5백m를 자유낙하하는데 걸리는 시간은 5${t}^{2}$=500에서 약 10초이다. 그 10초간 수평방향으로 등속운동하므로 떨어지는 사이에 움직이는 거리는 900km/3600sx10s에서 약 2.5km 전방에서 폭탄을 낙하해야 한다.
2. 올라가는데 3초가 걸리고 내려오는데 3초가 걸렸다. 최고점에서 3초간 자유낙하하는 물체와 럭비공은 같은 높이만큼 올라갔을 것이므로 3초간 자유낙하한 거리가 최고점의 높이가 된다. 따라서 5${t}^{2}$에 3을 대입하면 45m가 된다.
또 수평방향으로 6초만에 50m을 갔고 등속운동하므로 수평방향의 속력은 50m/6 m/s이다. 수직방향의 처음 속력은 3초간 자유낙하한 후의 속력과 같아야 하므로 30m/s이다. 따라서 수평방향과 이루는 각을 θ라고 할때 tanθ=3.6이고 이 값을 삼각함수표에서 찾으면 약 75도가 된다.
