체험을 통해 자연스럽게 수학을 배우고 싶다고요? <;수학동아>; 기자가 전국에서 수학 체험 수업으로 소문난 선생님을 찾아가 여러분에게 소개합니다. 이번엔 전북 익산에 있는 원광고등학교의 안승석 선생님을 찾았어요. 안 선생님의 지도에 따라 원 컬러링 아트에 도전했는데요. 어느새 정다각형 작도까지 해냈네요! 지금 바로 그 비결을 공개합니다.
원 25개 그리며 작도의 재미 느껴봐!
오늘 그릴 컬러링 도안에는 기준이 되는 원 하나를 포함해 무려 원이 25개나 들어갑니다. 원은 모두 합동인데요. 이걸 눈금 없는 자와 컴퍼스만을 이용해서 직접 그려 볼 거예요. 기준 원을 중심으로 일정하게 거리를 둔 원을 여러 개 겹쳐서 만드는 것이 특징입니다.
이렇게 원을 계속해서 그리다 보면 정다각형을 작도할 수 있어요. 작도란 눈금 없는 자와 컴퍼스만을 이용해 주어진 조건에 맞는 선이나 도형을 그리는 거예요. 어떤 도형을 작도할 수 있는지 묻는 ‘작도 문제’는 고대 그리스 시대부터 단골 기하학 문제랍니다.
안 선생님은 “문제 풀이로 원의 성질을 익힐 때보다 원의 성질을 더 잘 익힐 수 있다”면서,이번 체험 활동의 의미를 설명했습니다. 중학교 2학년 ‘삼각형의 내심과 외심’ 단원에서는 삼각형의 외접원의 특징을 알려줘요. 세 변의 수직이등분선이 한 점에서 만나고, 그 점이 삼각형에 외접하는 원의 중심, 즉 외심과 같다는 내용이지요. 그 성질을 무작정 외우는 것보다 실제로 작도해보면 삼각형 세 변의 수직이등분선을 찾아야 외심을 찾을 수 있다는 것을 자연스럽게 알 수 있어요.
그런데 오늘 체험할 컬러링 도안은 불교 미술 중 하나인 만다라와 매우 닮았어요. 그래서 안 선생님은 여기에 ‘원 만다라’라는 이름을 붙였어요. ‘만다라’는 고대 인도어인 산스크리트어로 원을 뜻하고, 윤회를 상징하지요. 스위스 심리학자 칼 융이 환자의 심리 치료를 위해 만다라를 그리게 하면서 만다라의 심신 안정 효과가 널리 알려졌답니다.
수업 UP!
정다각형으로 원주율 구한 아르키메데스
지금까지 원 25개로 이뤄진 컬러링 도안을 그려보며, 정3각형, 정6각형, 정12각형부터 정24각형까지 작도를 할 수 있었어요. 안 선생님은 이번 활동을 반복해 정96각형을 작도해 볼 것을 제안했어요. 왜 정96각형 일까요?
안 선생님은 “고대 그리스 수학자 아르키메데스가 원에 내접하는 정96각형을 작도해서 원주율의 근삿값을 구했다는 이야기가 전해진다”면서, “정96각형을 작도하면 아르키메데스가 왜 이 방법으로 원주율을 구했는지, 그 이유를 알 수 있다”고 설명했어요.
아르키메데스는 정다각형으로 원주율(π)의 소수점 아래 둘째 자리까지 알아냈다고 전해져요. 원주율은 원의 지름에 대한 원의 둘레의 비율(원의 둘레/지름)을 뜻하고, 그 값은 3.141592...입니다. 그는 지름이 1인 원에 내접하는 정다각형과 외접하는 정다각형을 하나씩 그려서 원주율을 구했다고 해요. 원의 둘레가 외접하는 정다각형의 둘레보다는 짧고, 내접하는 정다각형의 둘레보다는 길다는 점을 이용했지요.
그 정다각형의 변의 개수를 정6각형, 정12각형, 정24각형과 같이 2배씩 늘리다가 정96각형에 이르면 원주율에 아주 가까운 값을 구할 수 있습니다. 한마디로 말해 정96각형이 원이랑 굉장히 형태가 비슷하다는 건데, 진짜인지 직접 작도하며 확인해 보세요.
