만들며 이해하는 다면체
<;수학동아>; 기자들이 전국에서 수학 체험 수업으로 난다긴다하는 선생님을 찾아가 여러분께 수업을 맛보여 드립니다. 오늘은 무늬가 있는 다면체를 만들 거예요.
수학 교육을 위한 연구 단체인 ‘사단법인 전국수학문화연구회’ 회장 손대원 진주외국어고등학교 선생님이 전수해주신 수학 체험인데요. A4용지 한 장만을 이용해 무늬가 있는 정사면체와 정팔면체를 모두 만들 수 있다고 해요. 그 방법을 지금 공개합니다.
“이번 시간에는 정다면체를 만들어 보며 수학 공식 없이도 스스로 수학적 원리를 깨닫는 능력, 즉 ‘수학적 감수성’을 키워보려고 해요.”
정다면체는 중학교 1학년 교육과정에서 배우지만, 수업시간에 실제 입체 도형을 만져볼 기회는 드물어요. 그러다 보니 학생들이 정다면체의 성질을 탐구하기보다는 공식을 외워 문제를 푸는 데에만 집중하지요. 그래서 손대원 선생님은 이 수업을 고안했어요. 정다면체를 만들며, 성질도 알아보지요.
한 모서리의 길이가 a인 정팔면체 부피는 ,
이라는 공식을 보면 정팔면체와 정사면체 부피 비가 4 : 1인 걸 알 수 있어요. 하지만 이렇게 배운 수학 개념은 금방 잊어버려요. 직접 만든 다면체를 관찰해보면서 정팔면체 부피가 정사면체의 4배라는 걸 자연스레 깨달으면 개념이 머릿속에 더 오래 남을 거예요.
정다면체를 만들기에 앞서 A4 용지를 접어 정사면체 전개도 8개를 만듭니다. 이 전개도만 있으면 다양한 다면체를 만들 수 있어요. 단, 정사면체는 모든 면이 정삼각형으로 이뤄져 있기 때문에 정삼각형으로 이뤄진 다면체만 만들 수 있지요. 정다면체 중에서는 정사면체, 정팔면체, 정이십면체가 여기에 해당합니다. 오늘은 이 중에서 정사면체와 정팔면체를 만들어 봅시다!
진주외국어고등학교 손대원 선생님
진주외국어고등학교에서 2012년부터 수석교사로 근무하고 있습니다. 체험수학에 관심이 많아서 종이로 끼워 만드는 ‘칼레이도 사이클’, ‘케플러 오목다면체’ 등 다양한 체험 교육 프로그램을 개발해 매년 전국 수학체험전에 참여하고 있습니다. 2021년부터 전국수학문화연구회 회장으로도 활동하고 있습니다.
수업 UP !
정사면체 전개도로 델타다면체도 만들어보자!
지금까지 정사면체 전개도를 이용해서 정사면체와 정팔면체를 만들어 봤어요. 그렇다면 정사면체 전개도로 또 어떤 다면체를 만들 수 있을까요? 바로 모든 면이 같은 크기의 정삼각형으로 이뤄진 ‘델타다면체’를 만들 수 있어요.
델타다면체는 정다면체처럼 한 꼭짓점에 모인 면의 개수가 같아도 되지만, 달라도 돼요. 그래서 델타다면체는 합동인 정삼각형으로 이뤄진 정사면체, 정팔면체, 정이십면체를 포함해 5개의 다면체가 더 있어서 총 8가지입니다.
델타다면체의 면의 개수는 모두 짝수인 특징이 있어요. 먼저 정삼각형 1개당 변의 개수는 3개예요. 이때 정삼각형의 변 2개가 모여서 다면체 모서리 1개가 되지요. 따라서 델타 다면체 모서리의 개수는 e= 3f/2 (e는 모서리의 개수, f는 면의 개수)가 됩니다. 식을 변형하면 2e=3f 가 되는데 3f가 짝수여야 하므로 f는 짝수입니다. 그러므로 델타 다면체는 모두 짝수개의 면으로 이뤄지는 걸 알 수 있습니다.
델타다면체에는 사면체부터 이십면체까지 짝수면을 가진 다면체로 이뤄져 있지만 십팔면체만 없는데요. 정사면체 전개도를 이용해 다양한 델타다면체를 직접 만들어 보며 왜 십팔면체가 없는지도 생각해 보세요.
